книги из ГПНТБ / Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины

Для устранения апериодичности равновероятных символов ис­ пользуется буферный регистр-накопитель В Р г, управляемый по входу последовательностью {у}.

Извлечение информации из ^-разрядного регистра В Р г про­ изводится с постоянной частотой /вых, которая по крайней мере не превышает среднюю частоту появления единиц в последова­ тельности {у}, равную р (х) q (х) /кв. Естественно, что для син­ хронизации работы буферного регистра обеспечивается соотно­ шение 2/вых = /кв/т, где т = 2, 3, 4, . . .

Рис. 106. Граф переходов буферного регистра

Всилу случайного характера процессов передачи информации

всхеме, может оказаться, что в момент считывания буферный регистр будет пуст. Тогда в выходную последовательность {К) передается соответствующий этому моменту символ входной не­ равновероятной последовательности {х}. В этом случае выпол­ няется равенство

где Р (0) — вероятность нулевого заполнения буферного регистра.

т. е. неравновероятность выходной последовательности пропор­ циональна вероятности отсутствия информации в буферном реги­ стре.

Отождествляя состояние буферного регистра с количеством записанных в него символов, рассмотрим граф переходов, изобра­ женный на рис. 106.

220

Анализируя условные вероятности переходов для стационарлого режима, можем записать:

P ( n ) = p ( x ) ( i — L ) p ( n - t ) + [ J ^ l

+ ^ ± Р ( п + 1), 0 < п < 1 ,

]P(Z ).

Применяя к этим выражениям метод математической индукции, нетрудно, как и ранее, доказать, что

Р { 0), 0 ^ п ==£ I.

Поскольку все п от 0 до I включительно составляют полную группу событий, суммируя по п, имеем

Ь - 2 Д „ М

Последняя формула позволяет выбрать разрядность регистра и соотношение тактовых частот, обеспечивающие заданный уро­ вень неравновероятности символов в опорной последовательно­ сти {/г}.

Как самостоятельный способ выравнивания вероятностей в ли­ тературе [5, 25] предлагается попеременное использование пря­ мых и инверсных значений символов неравновероятной последо­ вательности. Однако с точки зрения логики преобразования, это есть не что иное, как сложение по модулю 2 исходной случайной последовательности с регулярной, обладающей средним значением 0,5 и автокорреляционной функцией вида

К у {х) = \ { - 1 ) \

221

Результирующая последовательность {h} характеризуется ве­ роятностью

Р{Щ —Р (х) + 0,5 — 2-0,5р (х) = 0,5,

Др (h) — 0

и автокорреляционной функцией

^ ( т) = { й:,( т) + - ^ ^ } ( - 1 Г .

Таким образом, существует большое число способов уравнять вероятности появления нуля и единицы в опорной последователь­ ности, однако в каждом случае либо приходится считаться с по­ явлением дополнительной корреляции, либо применять допол­ нительные источники шума, увеличивая объем оборудования.

34. Способы декорреляции случайных последовательностей

и единицы в результирующей последовательности, но и рандо­ мизировать ее, если математические ожидания входных после­ довательностей близки к 0,5.

В и. 6 установлено, что автокорреляционная функция на вы­ ходе сумматора по модулю 2 при независимости входных после­ довательностей определяется выражением

К г (т) = 4К х (т) К у (т) - Ы 1 - 2 М (x)f К у (т) + [ 1 - 2 М (г/)]2 К х (т).

222

Для опорных последовательностей М (х) ^ М (у) 0,5. Поэтому

Kh( t ) ~ i K x(x)Ky(%.

Если автокорреляция в последовательностях {я} и {у} выз­ вана их выравниванием с помощью триггера со счетным входом, то после сложения по модулю 2 получим

K h (*) = j [1 — 2р (ж)Г [1 —2p(y)\x = j [4 Ар (х) Ар (у)]\

Таким образом, схемы, изображенные на рис. 103, а, б, могут применяться как для выравнивания вероятностей, так и для ран­ домизации опорных последовательностей. Более подробно при­ менение таких схем анализируется в следующей главе.

Свойство альтернативы выравнивать вероятности препятствует использованию этого способа для декорреляции последовательно­ стей с математическим ожиданием, отличным от 0,5.

Из способов декорреляции, сохраняющих величину математи­ ческого ожидания исходной последовательности, можно назвать циклическое и случайное ее перемешивание. На рис. 107 показана одна из возможных схем, выполняющих эту операцию. Схема состоит из шестиразрядного сдвигающего регистра и коммутатора, производящего поочередное считывание информации из первого, третьего и шестого разрядов. При опросе третьего или шестого разрядов в него одновременно переписывается содержимое пер­ вого разряда. Кроме того, в каждом такте производится сдвиг информации в регистре на один разряд вправо.

Пронумеруем символы последовательности в порядке возра­ стания номеров разрядов регистра и рассмотрим положение этих символов в к последовательных тактах, заключая в скобки номера считываемых символов (табл. 16).

тельно считываемых в каждом такте символов отличаются внутри цикла на четыре, одиннадцать, десять. Следовательно,

К г (т = 1) = К г (1) = \ [Кх (4) + К х (10) + К х (11)1.

Рассматривая аналогичным образом разности номеров симво­ лов, считываемых через такт, через два такта и т. д. можно об­ наружить, что

к г (2) = | [Кх (1) + К х (7) + К х (14)],

Кг (3) = К х(3),

Кг (4) = { [Кх (7) + К х (8) + Кг (13)1,

223

Т а б л и ц а 16

И т . д .

Эффект декорреляции на интервалах, некратных числу точек считывания, основан на знакопеременное™ автокорреляционной функции исходной последовательности, в связи с чем при переме­ шивании происходит ее частичная компенсация и перенос с одних

224

интервалов времени на другие. Таким образом, имеется принци­ пиальная возможность с помощью циклического перемешивания значительно уменьшить автокорреляцию на определенных вре­ менных интервалах, что может оказаться полезным при реализа­ ции стохастических операций посредством логических схем с ог­ раниченной памятью. Например, при возведении стохастической переменной в целую степень к (рис. 28) важно отсутствие авто­ корреляции на интервалах т < к, в то время как за пределами этого

ствами отсутствует.

Естественным развитием идеи перемешивания является ис­ пользование ограниченной памяти со случайной выборкой. Такая память может иметь вид Z-разрядного регистра, поразрядные входы и выходы которого коммутируются случайным образом

свероятностью доступа к каждому разряду, равной 1//. Запись

исчитывание символов производится аналогично циклическому рандомизатору, т. е. вновь поступающие в регистр символы запи­

сываются в каждом такте на освобождающееся место. Однако, поскольку выбор разрядов случаен, величина корреляционной функции выходной последовательности для некоторого значения аргумента т, теоретически является взвешенной суммой значений этой функции на входе во всем диапазоне изменения аргумента О < т < со.

Полный анализ рандомизирующих свойств этой схемы для произвольного I сильно затруднен теоретически бесконечным числом ее возможных состояний. Поэтому эффективность метода оценим на простейшем примере, когда регистр состоит всего из двух разрядов, а вероятность доступа к каждому из них равна

0,5 (рис. 108).

Рассмотрим сложное событие, состоящее из к последователь­ ных обращений к одному из разрядов с последующим переходом

к — 1 будут соответствовать интервалам такой же длительности на входе, а один — входному интервалу величиной к + 1. Таким образом, средневзвешенное значение автокорреляционной функции

т. е. автокорреляционная функция на единичном интервале умень­ шается почти на порядок. С увеличением числа разрядов регистра эффект будет еще большим.

Однако способы, основанные на перемешивании, по-видимому, не могут найти широкого применения в генераторах случайных последовательностей, так как реализующие их схемы довольно громоздки. В то же время они являются единственно возможными для декорреляции последовательностей на выходах операционных блоков и стохастических констант.

35. Некоторые практические схемы ГСДП

Рассмотрим несколько известных схем, в которых в той или иной степени нашли применение изложенные выше принципы построения генераторов случайных двоичных последовательно­ стей (ГСДП).

Функциональная схема датчика равномерно распределенных случайных чисел, предложенная Р. М. Акчуриным 1 (рис. 109),

1 Авт. свидетельство СССР № 210471. Бюллетень «Изобретения, промышл. образцы и тов. знаки», 1968, № 6.

226

по существу представляет собой схему Z-канального генератора случайных последовательностей с математическим ожиданием М (h) = 0,5. В каждом канале имеется самостоятельный источник шума ГШ . По сигналу У1 квантованный шум подается на счетные входы триггеров Т1 . . . Т1, которые выполняют функцию вырав­ нивания вероятностей. Каждая из полученных таким образом

Рис. 109. Функциональная схема датчика случайных чисел, предложенная Р. М. Акчуриным

последовательностей складывается по модулю 2 с последователь­ ностью, вырабатываемой (Z+ 1)-м аналогичным каналом. Это преобразование осуществляется логической схемой, состоящей из набора конъюнкторов и дизъюнкторов и выполняющей задачу декорреляции последовательностей.

Несмотря на то, что для декорреляции всех I последовательно­ стей используется одна и та же (I + 1)-я вспомогательная последо­ вательность, при независимых первичных источниках выходные последовательности оказываются между собой некоррелирован­ ными.

В этом можно убедиться следующим образом:

K h.ht - Р (Kb,;) —М (ht) М (hj) = Р \(xz \J xz) (yz \Jуz)\ —

— P (xz\ J xz) P (yz \Jyz) = P (xyz) + P (xyz) —

— [P (xz) -j- P (xz)) [P (yz) + P (yz)].

Поскольку по условию x, у и z независимы и ранее установлено, что на выходе триггера со счетным входом/? (х) = р (у) = р (z) = = q (х) — q (у) = q (z) = 0,5, имеем

Khihj = Р И Р (у) Я (z) ч (ж) q (у) Р (z) —

— [Р (х) q(z) + q (х) р (z)] [р (у) q(z) + q (у) р (z)] =

=0,125 + 0Д25 - (0,25 + 0,25) (0,25 + 0,25) = 0,

т. е. взаимная корреляция на выходах схемы отсутствует. Выдача в каждом такте мгновенных значений выходных после­

довательностей осуществляется по сигналу У2.

Рис. 110. Функциональная схема блока формирования опорных последо­ вательностей генератора «GENAP-2»

Другой характерный пример — схема блока формирования опорных последовательностей (рис. 110) чехословацкого генера­ тора «GENAP-2» [86]. Она состоит из двух идентичных каналов, управляемых общим источником шума. В схеме использован

Работу одного из каналов иллюстрирует рис. 111. Другой канал работает аналогичным образом со сдвигом на один такт.

Шум первичного источника ГШ подвергается усилению и огра­ ничению с помощью формирователя телеграфного сигнала Ф.

2 2 8

Дифференцирующая цепочка R — С — Д вырабатывает импульсы, соответствующие по времени переходу шумового сигнала через нуль в одном из направлений. Полученная таким образом случай­ ная нетактированная последовательность импульсов поступает на счетный вход триггера Т1 незаблокированного канала. В течение

Рис. 111. Временная диаграмма работы блока форми­ рования опорных последовательностей генератора

«GENAP-2»

времени, равного полупериоду следования блокирующих импуль­ сов (периоду тактовой частоты), этот триггер осуществляет подсчет поступивших на его вход импульсов, выравнивая вероятности своих состояний в конце цикла пересчета.

При заблокировании канала, с помощью управляющего сиг­ нала У1 производится исследование состояния триггера Т1, в соответствии с которым вырабатывается символ выходной после­ довательности 0 или 1. Этим же сигналом с задержкой, вносимой элементом D, триггер Т1 устанавливается в 0, и схема оказывается подготовленной к следующему циклу пересчета. Время задержки

229