книги из ГПНТБ / Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины

По мнению ряда зарубежных специалистов, например Б. Гейнса [82], В. Поппельбаума [92], СтВМ хорошо приспособлены для реализации алгоритмов адаптации и обучения, так как принципы, на которых они основываются, и структура машин этого типа наиболее адекватны алгоритмам статистического моделирования случайных процессов.

Как известно, главными характеристиками вычислительных машин являются точность и скорость вычислений, надежность и стоимость, размер и диапазон решаемых задач. Между этими характеристиками существует прямая взаимосвязь и невозможно, чтобы какой-то тип вычислительных машин был оптимальным во всех отношениях.

Оценим некоторые из названных характеристик примени­ тельно к СтВМ и сравним их с другими типами ВМ.

Точность и скорость вычислений. Хотя вероятность является непрерывной величиной, способной представлять аналоговые данные без ошибки квантования, она не может быть измерена точно и является величиной, оцениваемой с дисперсией. Причем, для передачи аналогового сигнала с шагом квантования по уровню равным е в СтВМ необходимо образовать п = с/е2 двоичных символов (коэффициент с учитывает влияние случайных откло­ нений).

В то же время для передачи аналогового сигнала в ЦДА требуется п = с/е двоичных символов, а в ЦВМ — п = log2 с/е [82] (в двух последних случаях коэффициент с учитывает возмож­

где F — тактовая частота.

Приведенные данные указывают на наиболее низкую из трех рассматриваемых случаев эффективность статистического пред­ ставления. Однако эти выводы справедливы лишь при обработке сигналов с нулевой дисперсией.

Рассмотрим случай статистического кодирования при пере­ даче информации о характеристиках стационарного случайного процесса A (t) [18]. Если дисперсия кодируемого сигнала D (А) не равна нулю, то, используя теорему о дисперсии суммы [8], получим

D ( ± ) = D ( A ) + M (A )[i-M (A )].

3 2 0

Величина М (4) [1 — М (Л)] характеризует ту погрешность, которая дополнительно вносится статистическим кодированием.

Если для получения состоятельной оценки математического ожидания случайного процесса выбирается первичный массив чисел объемом п, то для достижения той же ошибки е, получаемой в отсутствии составляющей М (Л) [1 — М (А)], требуется уве­ личенный объем массива п'. Причем

откуда

Для получения той же точности на ЦДА требуется образовать п' = пс/г' двоичных символа, а на ЦВМ — п' = п log2 с/е\ где б' — шаг квантования входного непрерывного сигнала по уровню. (На практике обычно е' ^ 2®—212 [18].)

М U ) [\ — М (А )]

D (А)

Таким образом, в известной области значений применение СтВМ для получения информации о вероятностных характери­ стиках процесса с точки зрения быстродействия может оказаться предпочтительным в сравнении с другими типами ВМ.

Надежность. Существенными достоинствами СтВМ в сравне­ нии с иными типами ВМ является их проетота и надежность. Это обусловлено чрезвычайной простотой технической реализа­ ции ряда математических операций. При этом к повышению надежности приводит не только упрощение схемы, но и малое влияние случайных сбоев на получаемые результаты. Сбои в ка­ налах передачи стохастических последовательностей могут быть

то это не приводит к дополнительным ошибкам. В то же время последовательности двоичных символов в ЦДА и ЦВМ чувстви­ тельны к позиции сбоя.

Рассмотрим ситуацию, когда присутствуют сбои одного вида ( или |2). Тогда допустимое число сбоев за интервал n/F равно

пР

F21+1 ’

где l — количество разрядов накопленного результата, учиты­ ваемых в дальнейших расчетах.

При выполнении этого условия ошибка представления ре­ зультата интегрирования в СтВМ не превысит 0,5 единицы млад­ шего разряда.

Допустимую частоту потока сбоев определим как

®доп — F2~<-1+1'> [сбоев/с].

Например, при I = 10 и F = 10 мГц получаем соЛОПя»

?«5000 [сбоев/с].

Такая интенсивность сбоев недопустима ни для одного из су­ ществующих типов ВМ. Указанная особенность весьма существенна для ряда управляющих и вычислительных устройств, например для бортовых.

Отметим еще две особенности СтВМ, выгодно отличающие данный тип ВМ от всех остальных: устойчивость к ошибкам округ­ ления или их накоплению, возможность широкого применения

тельное число научно-технических задач связано с решением систем линейных алгебраических уравнений. Так, например, исследование стационарных процессов в разветвленных электри­ ческих цепях приводит к решению уравнений Кирхгофа, пред­ ставляющих собой систему линейных алгебраических урав­ нений.

Подобные задачи встречаются также в прикладной механике, химии, при обработке экспериментальной информации по методу наименьших квадратов, при определении коэффициентов корре­ ляции и т. д.

Особенностью большинства таких задач является небольшое

шения оказывается неэкономичным и предпочтение отдается спе­ циальным АВМ.

322

Решение системы алгебраических уравнений

« 1 1 - ^ 1 + « 1 2 - ^ 2 ~ Ь - • - + « 1 т Х -т — Ъ ^

вычислительными устройствами аналогового типа возможно раз­ личными методами: итерацией по формуле Зейделя, методом об­ ратной матрицы, приведением системы алгебраических уравнений к системе линейных дифференциальных уравнений, минимиза­ цией и т. д.

Подобные же методы могут быть реализованы средствами сто­ хастической вычислительной техники. В частности, в п. 22 по­ казан способ решения системы уравнений (9.1), заключающийся в нахождении корней характеристического уравнения соответст­ вующей системы дифференциальных уравнений, где решается ди­ намическая задача. При этом система дифференциальных уравне­ ний должна описывать устойчивый процесс, т. е. корни характе­ ристического уравнения системы должны иметь отрицательные вещественные части. Тогда предельные значения (при t -> оо) переменных системы дифференциальных уравнений совпадают с корнями соответствующей системы алгебраических уравнений.

Системы уравнений (9.1) часто решаются на СтВМ в явном виде, когда моделируется решение системы (9.1) относительно неизвестной X t (i = 1, 2, . . ., т):

dj_ d ’

где

« п «12 h « 1 m

Определитель d L получается заменой в определителе d i - го столбца столбцом из свободных членов системы уравнений (правило Кра­ мера).

При небольших т (т ^ 6 ) вычисления значений неизвестных переменных X t систем (9.1) реализуются сравнительно простыми логическими структурами. В таких структурах (рис. 132), как правило, следящие интеграторы образуют выходы схемы и од­ новременно используются в качестве делительных элементов. Несовпадающие коэффициенты, вырабатываемые для управления суммирующими ячейками, должны быть статистически незави­ симы между собой. Элементы задержки осуществляют размноже­ ние и статистическую развязку последовательностей, представля­ ющих входные величины аГг

Рис. 132. Решение системы двух линейных алгебраических уравне­ ний при ОЛС кодировании информации

Обращение матриц. В СтВМ, используемых для решения си­ стем линейных алгебраических уравнений и для реализации не­ которых алгоритмов распознающих автоматов, особое место за­ нимает метод обратной матрицы. Поясним сущность этого метода. Обозначим через

матрицу из коэффициентов системы (9.1), через

h

324

—столбец ее свободных членов и через

Хг

X 2

Х =

X т

— столбец из неизвестных. Тогда система (9.1) может быть запи­ сана в виде матричного уравнения

Если матрица А — неособенная, т. е.

то система (9.1) имеет единственное решение.

Умножая обе части равенства (9.2) на обратную матрицу, по­

Существует много методов обращения матриц: приведением исходной матрицы к произведению треугольных матриц, исполь­ зованием клеточных матриц, приближением Гаусса и т. д.; но лишь немногие из них удобны для реализации на стохастических вычислительных машинах. По-видимому, наилучшей реализуе­ мостью на СтВМ будут обладать те алгоритмы, в которых доми­ нируют операции сложения, умножения и интегрирования и со­ держится минимум операций деления. Рассмотрим два таких алгоритма.

матрица, имеет все собственные числа (нормы) меньше единицы, то существует обратная матрица [26]

Очевидно, что точность вычислений по формуле (9.4) зависит от выбранного к.

3 2 5

Пример. Обратить матрицу

I 0,5 - 0 ,2

Решение задачи начнем с определения матрицы В

Определим нормы матрицы В :

max 2 |o-ij |= max (0,7; 0,9) = 0,9 < 1 , i 1

max 2 |o-ij |= max (0,8; 0,8) = 0,8-<l>

/i

|at{ |2 = У 0,25 + 0,04 + 0,09 + 0,36 « *0 ,8 5 < 1 ,

Если принять точность вычисления коэффициентов матрицы А 1 не выше 3-го знака, то результат

2,86 1,43

2,14 3,57

будет получен после вычисления шестнадцати членов ряда (9.5). Выражение (9.5) включает лишь операции сложения и умноже­ ния и поэтому может быть реализовано при помощи набора вен­ тилей И и ИЛИ, если все коэффициенты atj представлены в виде

бернуллиевских последовательностей.

На рис. 133 показана часть устройства, реализующего зависи­ мость (9.5), а именно: схема для возведения матрицы В в квадрат. Для элементов матрицы В 2 имеем

Для представления всех входных и выходных величин в схеме на рис. 133 использованы ОЛС кодирующие устройства.

В большинстве практических случаев сумма (9.5) медленно сходится к точному результату, а это сказывается на усложнении устройства. С увеличением степени матрицы В пропорционально растет разрядность регистров сдвига, используемых для генери­ рования и статистической развязки к последовательностей а1г Так, для рассматриваемого примера, где потребовалось принять

32 6

к = 15, устройство, реализующее зависимость (9.5), помимо ло­ гических схем включает четыре пятнадцатиразрядных регистра сдвига.

В работе [19] описан другой способ реализации процесса об­ ращения матриц в соответствии с выражением (9.5), основанный на эквивалентных алфавитных преобразованиях вероятностных автоматов.

где А — независимая переменная, называют характеристической матрицей, а ее определитель

det (ХЕ — А) = Am-j- г1Ат~1 -{-. . . -f- гт _хА -\~Гт

называют характеристическим полиномом матрицы А.

Согласно теореме Гамильтона — Кели [41], каждая матрица является корнем своего характеристического многочлена, а потому

А" + М "*-1 + . . . + гт_гА + гтЕ = 0.

Умножая это равенство слева на А"1, получим

Ат-1 4- Г1Ат-2 + . . . + гт^ Е + гтА-' = 0.

3 2 7

(т — 1) включительно, то обратная матрица легко вычисляется

В данном случае необходимо определить только матрицу Л 2,

Заметим, что мы получили результат значительно быстрее, чем при решении той же задачи по методу матричных рядов. При этом требуемое количество оборудования также резко сокращается.

Многие другие задачи линейной алгебры могут быть решены путем реализации соотношения

матрицы; akUj — постоянные коэффициенты.

Выражение (9.8) можно считать линейной частью разложения в ряд произвольной функции по аргументу X . Следовательно, система выходов Yk[ описывает с помощью то4 коэффициентов akUj {к, I, ь 7 = 1, 2, 3, . . т) различные преобразования (кон­ формные, Фурье), вращения векторов и т. д.

В работе [92] предлагается построение графического преобра­ зователя, основанного на реализации зависимости (9.8). Входные случайные сигналы X {j устройства генерируются фотодиодами, причем характеристики этих сигналов изменяются в зависимости от уровня освещенности. Используя схемы И и ИЛИ, можно

получить выходной рисунок в виде системы точек Ykl. Конкрет­ ный тип графического преобразования устанавливается с помощью коэффициентов akUj, задание которых входит в функции устрой­ ства управления.

Вычисление значений рациональных дробей. При исследовании различных систем автоматического управления часто возникает необходимость вычисления значений дробных рациональных функ­ ций вида

Такие вычисления могут быть реализованы при помощи сле­ дящего стохастического интегратора (рис. 73, а), если на вход конъюнктора в цепи обратной связи интегратора подать последо­ вательность с математическим ожиданием <p" (X), а на суммиру­ ющий вход интегратора — последовательность с математическим ожиданием ф' (X).

В тех случаях, когда нет необходимости получать значения Ф (X) в виде двоичного кода, для решения аналогичной задачи может быть использована схема (рис. 134, б), реализующая вы­ числения по формуле

V ( X ) Os________£s___________________Os

Ф ( Х ) =

h - x s+ 4 }- x s-l + . . . + i bs bs

329