книги из ГПНТБ / Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины

Два функциональных преобразователя вероятность — вероят­ ность выполняют вычисления значений функций ф' (X) и ф" (X) и, кроме того, содержат элементы статистической развязки. Ядром структуры является итеративная схема на рис. 134, а. Определим математическое ожидание последовательности на выходе этой схемы для каждого i-ro момента времени при условии, что на входе присутствует стационарная последовательность без последействия с математическим ожиданием р (X,) = р.

Для процесса на выходе схемы справедливо

Раскрывая выражение (9.9) и переходя к вероятностям, полу­ чим

p(zi) = p { i — p [ l - p ( i - p . . . ) ] }

или

p(zt) = p ( l —р + р2 —P3 + Pi — •••).

Полученный ряд сходится при всех значениях р Ц= 1 и в пре­ деле имеет сумму

Р Ы = ~[Тр 1 1~Р" ( — 1 ) " Ь

которая для больших п может быть заменена на

Р ( z <) = •

Характерной особенностью процесса на выходе z является то, что за исключением некоторого начального временного интервала он ведет себя почти как стационарный и эргодический на больших интервалах времени (интервалах квазистационарности), значи­ тельно превосходящих интервал корреляции. Хотя математиче­ ское ожидание процесса z и не постоянно во времени, а корреля­ ционная функция зависит не только от разности аргументов т, но и от времени t, изменение этих характеристик на протяжении интервала стационарности весьма мало.

Последнее обстоятельство позволяет использовать зависимость (9.10), реализуемую ячейкой на рис. 134, а, для образования значений правильных дробей, минуя разложение этих дробей по степеням двойки. Такой способ генерирования постоянных коэффициентов может быть использован при решении задачи син­

Тогда для реализации зависимости (9.11) используется схема, представленная на рис. 135, а. Конкретная схема для образования дроби 1/11 приведена на рис. 135, б.

33 0

Известно [9], что любое целое число, которое больше единицы, разлагается на прозведения простых сомножителей и притом, единственным способом. Таким образом, для получения любой правильной дроби 1 /т 2достаточно иметь набор схем, вычисляющих дроби die', d~e‘, . . ., d~es, где

de1'd%...dess= m2

—каноническое разложение числа т 2 на сомножители. Заметим, что в схемах на рис. 135 используется несколько

последовательностей с математическим ожиданием 1/2. Число

а)

oft)’ j

I

6)

Рис. 135. Вычисление правильных дробей

таких последовательностей с ростом знаменателя дроби m1/m2 может оказаться значительным. Поэтому в ряде случаев можно воспользоваться иным способом образования 1/т 2: последователь­ ным соединением схем рис. 134, а. Действительно, если такая цепочка, управляемая стационарной последовательностью с р (1)= = 1/2, состоит из к ячеек, то на выходе к-й схемы получим

Вместе с тем нужно констатировать, что в таких многокаскад­ ных схемах потребуется большое количество запоминающих эле­

где g — целое число.

3 3 1

51.Применение стохастических блоков

вкомбинированных ВМ

Несмотря на большие достижения в области использования ЦВМ и АВМ, ни один из этих типов машин в отдельности не обеспечивает полного решения проблем, выдвигаемых совре­ менной наукой и техникой. В особенности это касается систем управления, где непрерывно повышаются требования к точности, оперативности и общей надежности вычислительных устройств.

Вто же время точность цифровых вычислительных машин на практике ограничена скоростью вычислений. Аналоговые вы­ числительные машины, наоборот, ограничены по точности, но могут работать со скоростью, значительно превосходящей ско­ рость вычислений ЦВМ. Эта высокая скорость получается как за счет способа представления информации, так и за счет параллель­ ной организации вычислений.

ВЦВМ, как правило, используется единственное арифмети­ ческое устройство, которое во время работы машины загружается последовательно, т. е. вырабатывает каждую из требуемых функ­ ций одну за другой поочередно. Поэтому время, затрачиваемое для вычислений на цифровой вычислительной машине, увеличи­ вается, вследствие чего допустимый объем решаемой на ней

задачи ограничен, особенно если требуется получать решение

внатуральном масштабе времени.

Вкомбинированной системе из АВМ и ЦВМ основные характе­ ристики этих машин могут взаимно дополнять друг друга. По­ этому появление таких гибридных ВМ, связывающих достоинства арифметических и аналоговых методов решения задач, явилось важным шагом на пути повышения эффективности средств вычи­ слительной техники.

Вряде случаев [45] в таких комбинированных системах вместо АВМ могут быть применены цифровые дифференциальные анали­ заторы (ЦДА), обеспечивающие требуемую непрерывность задачи, но в то же время большую точность вычислений, чем АВМ. В этом смысле СтВМ, составляющие подкласс ЦДА, также могут являться частью таких комбинированных систем. Распределение функций между ЦВМ и СтВМ для решения конкретной задачи производится по различным соображениям.

Водних случаях вычисления с относительно низкой скоростью и большим объемом обработки данных в системе управления пере­

часто возлагаются задачи по выполнению логических операций, операций передачи управления, подготовки исходных данных для СтВМ и т. д., а на СтВМ — задачи по вычислению негипертрансцендентных функций, элементарных функций и т. д.

В других случаях стохастические вычислительные машины могут имитировать поведение управляемого объекта, находящегося

33 2

под воздействием детерминированных или случайных возмущений, а ЦВМ — работу управляющей вычислительной машины. Такая система была бы очень полезной на этапе проектирования вычи­ слительного комплекса.

Предполагают, что стохастические вычислительные устройства уже сейчас могут эффективно использоваться в системах автома­ тического контроля. Действительно, современные системы авто­ матического управления представляют собой сложные объекты, характеризующиеся помимо множества взаимосвязей случайностью изменения параметров. Поэтому анализ качественного состояния таких объектов должен выполняться на основе анализа стати­ стических оценок некоторых экспериментальных реализаций слу­ чайных процессов. Причем эти оценки должны выполняться опе­ ративно, т. е. в темпе поступления информации. В то же время система статистических оценок должна быть получена с опреде­ ленной доверительной вероятностью и точностью. Это позволяет быстро менять условия эксперимента и добиваться оптимизации характеристик системы автоматического управления за более короткие сроки.

Применение ЦВМ экономически не всегда оправдывается при простых алгоритмах обработки (например, определении дисперсии входного процесса). В таких случаях эти функции могут быть возложены на специализированное устройство, работающее сов­ местно с ЦВМ в единой системе. Стохастические решающие блоки могут оказаться здесь наиболее подходящим звеном.

Покажем это на примере разработки дисперсиометра — уст­ ройства для определения оценки дисперсии стационарного слу­

центрированного случайного процесса X (t) определяется формулой

1

Для определения этой оценки дисперсии необходимо сначала вы­ числить оценку М * (X), а затем центрировать процесс X (t). Поэтому вначале .на интервале времени 1 — пх {пх < п) опре­ деляется

м * ( * ) = 4 2 * (*<}- t=i

а затем на интервале п — пх измеряется оценка дисперсии

Л, Л

D *(X ) = D [X Sti) ~ M * ( X ) ] ^ l r ^ ^

1=1 WT

(9.12)

зза

Эта формула является алгоритмом для схемной реализации дис-

£=1

Схема дисперсиометра, реализующего алгоритм (9.13), пред­ ставлена на рис. 136 [18]. Квантованные значения входного про­ цесса поступают параллельно на две схемы сравнения ССХи СС2.

Если датчики случайных чисел ДСЧХи Д СЧ 2 работают со ско­ ростью поступления чисел входного процесса, то за п тактов в счет­ чиках Сч1 и Сч2 накопятся соответствующие оценки М * (X ) и

ДС Ч — датчики случайных чисел

М* (X 2). Счетчик Сч2 определяет объем выборки п (модуль пере­ счета Сч2 равен п). Для образования величины [М * (X )]2 исполь­ зуется вторая часть схемы, изолированная от основной вентилями В . Результат вычислений оценки D* (X) накапливается в ревер­ сивном счетчике PC. Первый и последующие результаты образу­ ются с задержкой относительно процесса на п тактов. Оценки D* (X) могут выдаваться с задержкой на один такт, если для упра­ вления регистром Рг используются ДСЧ, работающие с частотой в п раз большей, чем у ДСЧ преобразователя входного сигнала X (t).

Аналогичные схемы можно построить для определения корре­ ляционной функции процесса X (t) и моментов более высокого порядка.

Стохастические решающие блоки в комбинированных системах могут использоваться не только для вычислений, но и для целей статистического моделирования. Например, в некоторых таких задачах возникает необходимость генерирования последователь­ ностей с определенным типом зависимости, например марковской

-334

цепи. Генерирование бинарного процесса этого типа по существу сводится к реализации стохастической матрицы вида

где Poo + Рог = Р ю + Р п = 1-

В схеме на рис. 137 для образования одной последовательности марковского типа используются две независимые бернуллиевскиепоследовательности с математическими ожиданиями р г и р 2. Обе пары конъюнкторов управляются взаимно инверсными вы­

Моделируем i-ю строку матрицы с соответствующими вероят-

П

ностями перехода (р{1, p i2, . . p in), причем 2 Рц = 1- Ввиду i=1

того, что на выходе ЛПКВ можно получить лишь два результата с вероятностью типа Р и (1 — Р), решение поставленной задачи необходимо распределить на несколько шагов.

ющие состояния являются вероятностями г-й строки матрицы. Разделим все возможные состояния на две приблизительно рав­

335-

появившегося символа (0 или 1) к группе S x или S 2- При реализа­

Таким же образом продолжаем разложения до тех пор, пока не получим конкретный результат, т. е. реализацию только од­ ного определенного состояния Е г После этого осуществляется переход на моделирование следующей строки. Указанная про­ цедура практически применима для небольшого количества шагов.

Логическая схема с переключением двух независимых каналов на рис. 21 может быть использована для генерирования после­ довательностей с заданным коэффициентом взаимной корреляции. Для выходной переменной z имеем

z = xk1\J ук±.

Следовательно,

xz = x (кг V ykt)

и

Р (х = 1, z = l) = p1[p8 + pB( l —рл)],

где р! = р(х), Рг = Р (у), p» = p(kj).

Теперь можно легко определить нормированную корреля­

■функции двух последовательностей можно изменять, устанавливая

3 3 6

с гауссовым распределением вероятностей. Как известно, вероят­ ность р к, п появления к единиц в последовательности Бернулли можно выразить соотношением

(9.14)

Для получения случайных чисел с нормальным распределением необходимо использовать два счетчика. На первом из них реги­ стрируется полная длина последовательности п, а на втором — количество единиц к в полном цикле п. При этом содержимое второго счетчика для больших п представляет случайную вели­ чину, распределенную примерно по закону Гаусса с парамет­ рами М = пр, D = npq.

Асимптотическое выражение (9.14) справедливо при значе­ ниях р и q, близких к величине 0,5. В случаях, когда р (или q) достигает малых значений (р -+ 0), а число испытаний п неогра­ ниченно увеличивается, применяется асимптотика Пуассона

lim P*,n = -ri-e-\

где

X = lim пр.

Таким образом, используя ЛПКВ с малыми значениями уста­ навливаемой выходной вероятности (например, р = 2-10), можно реализовать значения случайной переменной с приблизительна пуассоновским распределением вероятностей.

22 В. Р. Яков-Fft

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

▼

1. Автоматизация производства и промышленная электроника в 4-х т. Под ред. А. И. Берга и В. А. Трапезникова. Т. 4. М., «Сов. энциклопедия».

8.В е н т ц е л ь Е . С. Теория вероятностей. М., «Наука», 1969. 576 с.

9.В и н о г р а д о в И. М. Основы теории чисел. М., Физматгиз, 1965. 172 с.

с. 131—141.

20.Г н е д е н к о Б . В. Курс теории вероятностей. М ., «Наука», 1969.

400 с.

21.Г о л е н к о Д. И. Моделирование и статистический анализ псевдо­ случайных чисел на ЭВМ. М., «Наука», 1965. 227 с.

3 3 8

356с.

25.Д а н и л ь ч е н к о И. А. Выравнивание вероятностей появления

двоичных цифр совмещением прямых и инверсных представлений. — В кн.: Вопросы теории математических машин. М., Вып. 2 ., 1962, с. 226— 231.

№25, с. 28.

28.Д о б р и с Г. В. О некоторых свойствах генератора псевдослучай­

ных чисел с регистром сдвига.— В кн.: Применение электронных вычислитель­ ных машин при решении железнодорожных задач. — «Труды ЛИИЖТа», 1972, вып. 335, с. 76—86.

29. Д о б р и с Г. В. Метод синтеза генератора псевдослучайных чисел для стохастических вычислительных машин на основе двух регистров

105с.

32.Е р у х и м о в и ч В .М . Интегрирование в вероятностно-импуль­

сных АВМ. — «Известия вузов СССР. Электромеханика», 1971, № 12,

с. 1294— 1297 с ил.

33.К а л я е в А. В. Введение в теорию цифровых интеграторов. Киев, «Наукова Думка», 1964. 291 с.

34.К а л я е в А. В. Теория цифровых интегрирующих машин и струк­ тур. М., «Сов. радио», 1970. 472 с.

35.К и р ь я н о в Б. Ф. Вопросы теории и проектирования многока­

нальных генераторов псевдослучайных последовательностей на одном сдви­ гающем регистре. — В кн.: Вероятностные автоматы и их применение. Рига, 1971, с. 103— 116.

36. К и р ь я н о в Б. Ф. К вопросу построения вычислительных схем стохастического типа. — В кн.: Прием и обработка информации в струк­ турно-сложных информационных системах. Казань, 1969, с. 88— 96.

№4, с. 107— 110.

38.К о г а н Б. Я. Электронные моделирующие устройства и их при­ менение для исследования систем автоматического регулирования. М ., Физ­ матгиз, 1963, 510 с.

39. К о р н Г. А. Моделирование процессов на аналоговых и аналогоцифровых машинах. М., «Мир», 1968. 315 с.

42.Л а т х и Б . П. Системы передачи информации. Пер. с англ. М ., «Связь», 1971. 320 с .'

43.Логика. Автоматы. Алгоритмы. М., Физматгиз, 1963. 556 с. Авт.: