книги из ГПНТБ / Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины

В левой части графа (п (t — к) < 0)

An = p(x)p(y) — q(x)q(y).

Объединяя эти два соотношения и усредняя по всем ге, полу чаем

+ p (x )p (y ) — q (x )q (y )= 0.

t

Рис. 80. Граф переходов схемы, изображенной на рис. 79

Решая последнее уравнение относительно р (z), получаем

p ( z ) = р М + р М - '

2р (у) — 1

При симметричном однолинейном кодировании

Р ( * ) = ~ ( 1X) и р(у) у (1 + П

1 7 0

С помощью простой подстановки нетрудно убедиться в том, что рассматриваемая схема действительно выполняет операцию деле­ ния переменных

Для определения условий устойчивости найдем распределение вероятностей состояний счетчика. Вновь обращаясь к графу переходов (рис. 80), можем записать:

Р (п) = р (х) q {у) Р (п —1) + [р (ж) p{y) + q (ж) q (у)] Р (в) +

по всем п от п до оо. После приведения подобных членов получим:

(4.17)

Эти рекуррентные соотношения позволяют определить вероят­ ность любого состояния счетчика, если известны Р (0) и Р (—1):

Для того чтобы найти оставшиеся неизвестными вероятности, необходимо еще раз обратиться к графу переходов (рис. 80):

Р(0) = р (ж) р (у) Р (—1) + [р (ж) р (у) + q (ж) q(y)]P (0) +

+ q(x)p(y)P (i),

(4.18)

P ( - i ) = p ( x )p ( jy ) P ( - 2 ) +

г [р (х) q (у) + q (ж) р(у)\р (—1) 'Г q (ж) р (у) Р (0).

Подстановкой

171

которую мы имеем право сделать в соответствии с формулами (4.17), неопределенность разрешить не удается, так как оба урав­ нения (4.18) при этом оказываются тождественными.

Обращаясь теперь к соотношению (4.19), находим

Р= (у)— р (х)]1р (х)+ Р (у)—1]

'p(x)p{y)[2p(y) — l\

Итак, распределение состояний счетчика в стационарном ре­ жиме имеет вид

172

Вторая сумма в квадратных скобках накладывает дополнитель­ ное условие на обеспечение устойчивости:

Ч(s) Ч(V) < 1 или р(х) + р ( у )> 1 .

Р (®) Р (У)

Наконец, общее выражение математического ожидания п, полученное после очевидных преобразований

определяет третье необходимое условие

2р(у) — 1ф0 или р ( у ) ф 0,5.

При переходе к нормированным переменным X и Y условия устойчивости приобретают вид

Y — Х > 0 , X + F > 0 , Y=h0

или, что то же самое,

|X |<У , Г > 0.

Первое из этих условий является следствием того, что стохасти­ ческая переменная М (z) определена лишь на интервале (0,1), и выполняется масштабированием. Требование знакоопределенно­ сти делителя объясняется непрерывной формой представления информации в стохастических ВМ, а то, что делитель должен быть положительным, является особенностью схемы. Для отри­ цательного делителя необходимо инвертировать представляющую его последовательность или заменить в обратной связи эквивалент­ ность альтернативой.

Вероятность положительного переполнения счетчика при ко­ нечном числе I его разрядов:

Автокорреляционную функцию выходной последовательности, как и ранее, можно рассчитать с помощью модели, реализующей на ЦВМ граф переходов (рис. 80), по формуле

К г {т) = \\ — p(z)][p(z) — P(nSaO, 11тг<0, t —т)].

173

Расчет вероятностей использования вершин графа в последу­ ющие моменты времени производится по рекуррентным соотно­ шениям:

Р ( —п, t —k) = p { x ) p ( y ) P ( —n — 1, t — к — 1) +

к —0, 1, 2, . . ., ( т - 1 ) .

Начальные условия для последней формулы:

Р (п ^ 0, t — т) = 0 .

Результаты моделирования (рис. 81) свидетельствуют о том, что корреляционная функция возрастает при р (у) —> 0,5 и не за­ висит от знака Z [кривые для р (z) = 0,25, Z — —0,5 и р (z) = = 0,75, Z = 0,5 совпадают при различных р (у)]. Представление

1 7 4

об инерционных свойствах схемы дает рис. 82, соответствующий режиму удвоения масштаба переменной Z = 2Х, р (у) = 0,75. Кривые, показанные на этом рисунке, рассчитаны на той же

l&p(z)l

Р ( - ! ) = !• 2Р (у) »

1 7 5

По результатам моделирования можно судить о том, что пере­ ходный процесс замедляется при возрастании Z по абсолютной величине и для |Z |= 1 \р (z) = 0 и р (z) = 1] ошибка составляет 0,0617 при t = 60, уменьшаясь в дальнейшем на порядок при­ мерно через каждые 250 тактов.

Схема сохраняет свои свойства, если вместо инверсного выхода знакового разряда использовать прямой, а в обратную связь вместо элемента, реализующего эквивалентность, включить сум­ матор по модулю 2. Существуют также эквивалентные преобразо­ вания схемы, связанные с переменой местами входов счетчика.

25. Реверсивный счетчик в режиме сложения стохастических переменных

Рассмотрим схему (рис. 83), состоящую из реверсивного счет­ чика PC и нескольких логических элементов, управляющих зане­ сением информации в счетчик и формирующих выходной сигнал z.

Рис. 83. Схема стохастического сумматора на основе реверсивного счетчика

Выходная последовательность в каждый момент времени (такт) определяется логической функцией

где ж и у — мгновенные значения входных сигналов, s — значение знакового разряда счетчика,

Занесение единицы в счетчик осуществляется в соответствии с ло­ гической функцией

п+1 = ху,

а вычитание единицы

n_x = x\/y\Js.

176

Для определения Р (—1) посмотрим, как изменяется в среднем содержимое счетчика в такте t. Если в (t — 1)-м такте было п =

— —1, то Дп = р (х) р (у). Если п (f — 1) За 0, или, что то же самое, п (t — 1) =f= —1, то Ап = р (х) р (у) — q (х) q (у). Усред­ няя Ап по всем возможным значениям п и приравнивая прираще­ ние нулю, получаем

0 = р {х) р {у) Р (—1) + \р {х) p(y) — q (x ) q ( y ) ] [ l — P (—1)].

Отсюда находим

Таким образом, рассматриваемая схема выполняет функцию сложения стохастических переменных без изменения их масштаба.

Подставляя (4.23) в (4.22), можно получить распределение ве­ роятностей состояний счетчика в стационарном режиме

Для выяснения условий устойчивости найдем математическое ожидание содержимого счетчика

сводится к сумме второго вида. Таким образом обе суммы конечны,

если р (х) р (y)Jq (х) q (у) < 1 или р (х) + р (у) < 1.

1 7 8

Продолжим преобразования, считая это условие выполненным,

ОО

0000

р (у) — 0. Следовательно, в схеме устанавливается стационарный

Автокорреляционную функцию выходной последовательности можно определять, пользуясь соотношением

К г (т) = М (zzT) —М 2 (z) = Р (zzx) — [1 —р (z)]2.

Переменная z является логической функцией переменных s, х и у. Поэтому

Р (zzx) = P[(s V x V У) (sx У xx \J Ух)\= Р (sxysxxxyr).

В последнем выражении случайные переменные х и у не зависят