книги из ГПНТБ / Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины

При линейной интерполяции погрешность метода аппроксима­ ции определяется величиной остаточного члена R (А) в интерполя­ ционной формуле Ньютона [55]

где Ф" (Q — вторая производная функции Ф (А) в точке с абсцис­ сой Ai <; £ A l+ ц где погрешность наибольшая; A t, A i + 1 — начало и конец шага аппроксимации hi. Обозначив

получим А — А { = уhi и А — A i + 1 = А — A t — hi = ht (у — 1).

Тогда формула (3.30) примет вид

Я ( Л ) = - ^ Л ? у ( у - 1 ) .

Так как при интерполяции 0 <( у <[ 1 и при этих значениях у

т. е. абсолютная ошибка линейной интерполяции не превосходит

аппроксимации увеличивается в ]/2 раз, т. е.

hi — 4

Ф'(£)1

На рисунке показан способ построения приближающей функции Ф (Л), при которой ошибка не превышает 8.

Уравнение для каждого отрезка аппроксимирующей линии Ф (^4) можно записать в виде

где фг и ki — соответственно свободный член и коэффициент наклона аппроксимирующего отрезка, являющиеся постоянными величинами в пределах шага аппроксимации.

110

В более удобном для моделирования виде уравнение (3.31) можно записать так

с равномерным и переменным шагом. Метод разбиения по аргу-

Код функции

Рис. 50. Стохастический кусочно-линейный аппроксиматор:

П З У — постоянное запоминающее устройство; СС — схема сравнения; ГСЧ — генератор случайных чисел

менту в основном определяет сложность детерминированной части ФПКВ. Она получается наиболее простой в случае равномерного разбиения по А , когда ht = 2~s = const.

Разделим преобразуемое число А = 0, a lf а 2. . ,at на две части а 1а 2- • •as as+1- ■-at по s и i—s разрядов в каждой из них. Пусть

зуются для кодирования дискретных значений аргумента, принад­ лежащих шагу аппроксимации /г,-.

На рис. 50 представлена структура детерминированной и ве­ роятностной части кусочно-линейного аппроксиматора, реализу­ ющего зависимость (3.32).

Структура вероятностной части блок-схемы должна обеспечи­ вать вычисление значений функции ф (А).

Уравнение, описывающее работу вероятностной части, имеет вид

Р (z) = Р и + Р иРв — Р п Р а Р з = Р и + P biP b d — P ith (3 -33)

111

Таким образом, уравнения (3.32) и (3.33) тождественны, и уравнение (3.33) является уравнением аппроксимирующей лома­ ной линии.

Основу детерминированной части аппроксиматора составляет постоянное запоминающее устройство П З У , в котором хранятся начальные значения участков аппроксимации ф (At) и коэффи­ циенты наклона

По первым s разрядам исходного числа А , определяющим номер участка аппроксимации, из П ЗУ производится выборка начального значения ф (А{) участка и коэффициента наклона

112

представления функции принимается равной точности задания аргумента, а потому п = I. Тогда

Лф (^)max = h max A^max = (1 ~ Pit) 2S •2"S 1 - Pll,

ф ( A ) = P u + Аф (^)max = P i t + 1 — P i t = 1,

т. e. соотношение между kimax, s и Pll таково, что для любого значения ф (At) = p lt при максимальном приращении аргумента

Количество разрядов s аппроксиматора определяется исходя из требуемого числа участков аппроксимации. Принимая за основу второй метод аппроксимации (рис. 49, б), можно записать

ААтау Akt «£ 2е;

При кусочно-линейной аппроксимации функций часто возни­ кает задача получения прямолинейных отрезков с отрицатель­ ными коэффициентами наклона (рис. 53). Для этой цели исполь­ зуется инверсный выход устройства р (у). Схема выходного блока аппроксиматора представлена на рис. 54. Управление выдачей вероятностей р (у) = р (z) или р (у) = 1 — р (z) осуществляется

114

сигналом от п + т + 1 разряда П ЗУ , используемого для коди­ рования знака наклона. Если состояние этого разряда 0, то функ­ ция является возрастающей на данном участке аппроксимации, если состояние разряда 1, то воспроизводится убывающая функ­ ция.

То, что действительно реализуются коэффициенты наклона с отрицательными значениями, видно из следующих рассуждений:

*/= “ Ра/

Следовательно, выводы относительно /с* аналогичны тому, что было уже показано для к[.

Точность преобразования. Вследствие дискретности входной переменной выходная непрерывная случайная переменная — час­

от р (Л), так как для точного преобразования необходимо прово­ дить бесконечное число испытаний.

Допустим, что дискретные значения ф (А,) и ф (Лг + 1) аппрок­ симирующей функции заданы с той же точностью, что и входная переменная А . При этом возможны два случая:

В первом случае ошибка представления равна нулю. Во втором случае возникающая ошибка представления не превышает зна­

Итак, если ф (А) задана с точностью в I разрядов, то

Если под ф (Aft понимать частоту события со (И,), то действи­ тельная ошибка может возрасти до 2~1. Таким образом, сохране­ ние точности выходной переменной (равной точности входной переменной) происходит только в идеальном аппроксиматоре, так как в реальном устройстве невозможно выполнить условие

Р [и (^ ) - Ф (4 ,)^ 2 - « + » 1 = Рд,

где р д — доверительная вероятность (см. стр. 21).

Поэтому в реальном ФП можно потребовать: если преобразуе­ мое число задано /-разрядным двоичным кодом, необходимо, чтобы

Таким образом, процесс синтеза кусочно-линейного аппроксиматора можно представить в виде следующей последовательности операций:

1) определение количества участков линейной аппроксимации зависимости Ф (И). Т. е. нужно выбрать такое s, чтобы А ^

^ 2~ (1+ 2);

для возрастающих функций:

,,Ф(Лр — ф(Л,ч-1)

заносимая в ячейку ЗУ.

Пример. Определить основные параметры кусочно-линейного аппроксиматора, реализующего зависимости вида:

Фг (А) = e~iA, Ф2 ( A ) = s m ± A , АЕ (0, 1).

Погрешность представления етах^ 0 ,5 % .

116

1 1 7

1 1 8

Исходя из (3.39), определим разрядность регистра Рг1 emax sg ^ 2-(п+1), откуда п = 7. Но для того, чтобы на выходе аппроксиматора етах не превышала 0,5% (при ограничении выборки выходя­

Для функции Ф2 (А) после аналогичных вычислений найдем

Итак, длина разрядной сетки П ЗУ равна 8 + 8 + 1 = 17. Инфор­ мация, которая должна быть записана в ячейках памяти, пред­ ставлена в табл. 10 и 11. Число участков аппроксимации равно 32. Знаковый разряд Зн представляет п + т + 1-й разряд ЗУ и используется для кодирования положительных и отрицательных коэффициентов наклона аппроксимирующих отрезков.

16.Преобразователи вероятность — вероятность

Вобщем случае на входы ах, а 2,. . .,a t преобразователя код — вероятность (рис. 37) могут подаваться не только детерминиро­ ванные сигналы, но и случайные последовательности. Тогда мы приходим к случаю преобразования вероятность — вероятность. На рис. 55 представлена блок-схема устройства, осуществляющего такое преобразование в условиях, когда все входные и выходные переменные представлены в одинаковой вероятностной форме.

Воспользовавшись выражением для функции алгебры логики

(3-13)

+ = ХуйуХ/х^ {xi(i^\/xya^\jx3a3 {хуйуУхуау) (x2az\J

V +a2)V • • -V++ {хуйуУхуау) . .. (+-i+~iV+-i+-i),

1 1 9