книги из ГПНТБ / Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины

Стационарные и эргодические случайные процессы. Случайные процессы, статистические характеристики которых не зависят от текущего времени, называют стационарными.

Реальные физические процессы в большей или меньшей степени приближаются к стационарным процессам. Многие из них, на­ пример, тепловые шумы, шумы радиоэлектронных приборов, можно с большой точностью считать стационарными. Практически анализу подвергаются только обладающие конечной длитель­ ностью отрезки реализаций, и если на этих отрезках времени исследуемые процессы мало отличаются от стационарных, то к ним можно применять теорию стационарных процессов.

Различают стационар­ ность в узком и широком смысле. У стационарного в узком смысле процесса | (t) его н-мерная плот­

интервалов в области изме­ нения аргумента t. Стаци­ онарным в широком смы­ сле называют процесс £ (t), м. о. которого постоянно во времени

м\ т \ = м ^ ) = м а ) = .

=const,

акорреляционная функ­ ция К\ (tx, t2) зависит

На рис. 1, а м. о. для стационарного случайного процесса показано в виде прямой М (£) = const (в отличие от общего случая, приведенного на рис. 1,6).

Математический аппарат стационарных функций относительно несложен. Поэтому допущение о стационарности иногда целесо­ образно делать также и для случаев, когда за время переходного процесса в системе статистические характеристики сигналов не успевают сколько-нибудь существенно измениться.

9

Для некоторых стационарных процессов характерно свойство эргодичности, проявляющееся в том, что статистические характе­ ристики, полученные осреднением по времени одной реализации, приближенно совпадают с характеристиками, полученными осред­ нением по множеству реализаций.

Иными словами, отдельная реализация процесса на бесконеч­ ном промежутке времени полностью определяет весь случайный процесс с его бесчисленными реализациями. Стационарная слу­ чайная функция | (<) эргодична, если ее корреляционная функ­ ция K i (т) неограниченно убывает по модулю при |т |-> оо. Необ­ ходимо иметь в виду, что не всякая стационарная случайная функция является эргодической. Например, случайная функция, каждая реализация которой постоянна во времени (рис. 1, в), является стационарной, но не эргодической.

Основные статистические характеристики стационарной слу­ чайной функции £(£), обладающей эргодическим свойством, опре­ деляются следующими соотношениями.

М. о. или среднее значение

где \т(t) — реализация стандартного случайного процесса, взя­ того в интервале —Т ^ t ^ Т.

Дисперсия случайной функции

Для оценки свойств корреляционной функции иногда вводят понятие времени корреляции. Интервал времени между двумя

Взаимная корреляционная функция двух случайных и вза­ имозависимых процессов определяется по формуле

Корреляционные функции и спектральные плотности. Под спектральной плотностью случайной функции S (0 понимают выражение [3]

10

X t (<o) — амплитудная спектральная плотность. Корреляционная функция и спектральная плотность связаны

между собой преобразованием Фурье. Эта связь позволяет по

Рис. 2. Блок-схема анализатора спектральной плотности: Ф — на­

страиваемый узкополосный фильтр с полосой пропускания Дсо; Р У —

решающее устройство

заданной корреляционной функции определить спектральную плотность и наоборот: по заданной спектральной плотности — корреляционную функцию. Эти соотношения имеют вид

о

т. е. это уравнение позволяет по спектральной плотности случай­ ной функции %(t) определить среднее значение квадрата случай­ ной функции. Ввиду важности характеристики S% (со) большое значение приобретают методы экспериментального определения этой функции. На рис. 2 представлена блок-схема фильтрующего устройства для оценивания спектральной плотности реализа­

ции £ (t) по формуле [3]

т

о

где £ (t, со, Дсо) — часть процесса \ (t) на выходе узкополосного фильтра с полосой пропускания Дсо и резонансной частотой со.

11

Другими словами, спектральная плотность определяется при помощи следующих операций:

1)фильтрации сигнала по частоте;

2)возведения в квадрат значений отфильтрованного сигнала;

3)усреднения этих значений в пределах интервала времени Т;

4)деления последнего на ширину полосы Аю.

2.Дискретные случайные процессы

Дискретные случайные процессы имеют большое прикладное значение. Такими процессами можно описывать моменты случай­ ных отказов радиоэлектронного оборудования, текущие состояния сложных электронных систем в процессе их эксплуатации, работу систем массового обслуживания и т. д. В СтВМ они выступают в роли носителя информации и интерпретатора управляющих цепей.

Из всего многообразия дискретных случайных процессов мы выделим наиболее важные.

Марковские цепи. Марковскими цепями [60] называют случай­ ные процессы, у которых дискретно число возможных состояний, причем переход из одного состояния в другое зависит от пред­ шествующего, но не более раннего состояния. Время t здесь может быть как дискретным, так и непрерывным. Пусть время дискретно и p t (t) обозначает вероятность состояния E t (i = 0, 1, 2, 3, . . .) в момент t. Совокупность этих вероятностей может быть пред­ ставлена вектором в пространстве с числом измерений, равным числу возможных состояний системы. Этот вектор, называемый стохастическим, ограничен по величине и направлению условием, что все его компоненты неотрицательны и в сумме равны единице:

стема будет находиться в состоянии E s в момент t + 1 при условии,

сумма элементов каждой строки которой равна единице. Эта матрица называется стохастической, а вероятности p tj — вероят­ ностями перехода. Таким образом, марковская цепь полностью

12

определяется стохастической матрицей |р ц | и 'совокупностью начальных вероятностей состояний p t (0).

Аппарат марковских цепей широко используется при изучении поведения вероятностных автоматов [57]. При этом множество возможных переходов обычно представляется графом, т. е. схемой, образованной вершинами (соответствующими состояниями E t),

Рис. 4. Реализация случайного по­ тока

соединенными между собой ориентированными дугами (соответ­

и таблицей начальных вероятностей состояний

На рис. 3 показан граф переходов этого автомата.

Для определения вероятности каждого из состояний E t в любой момент t через начальные вероятности состояний формулу (1.16) преобразуют к виду

Случайные потоки. Случайным потоком, следуя [40], назы­ вают случайный процесс, реализации которого представляют ступенчатые неубывающие функции (рис. 4), принимающие цело­ численные значения при произвольном t. Число к реализаций

13

(например, выпадания к точек внутри интервала длиной т) является случайной величиной N. Вероятность того, что N = к обозначим p k (т).

Если: 1) p k (т) зависит только от т и не зависит от начального момента t0; 2) N (т) не зависит от числа реализаций события, происшедших в предшествующие интервалы; 3) вероятность того, что событие произойдет более одного раза в интервале времени dt, есть величина бесконечно малая но сравнению с dt, то говорят, что такой поток событий обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Если поток событий обладает всеми этими свойствами, то он называется стационарным пуассоновским потоком, причем вероят­ ность того, что за время т произойдет к событий, равна

например, поток с ограниченным последействием (поток Пальма или рекуррентный поток), где промежутки времени между сосед­ ними событиями — независимые величины, потоки Эрланга, обра­ зующиеся просеиванием простейшего потока, поток Бернулли, характеризующийся тем, что в фиксированный промежуток вре­ мени (О, Т) случайным образом реализуется заданное число собы­ тий, например, к (т. е. вероятность появления любого из к собы­ тий в бесконечно малом промежутке времени dt интервала равна

(со безразмерна).

Если параметры последовательностей являются случайными величинами, то такие последовательности называют импульсными случайными процессами. В зависимости от вероятностных харак­ теристик моментов появления импульсов эти процессы могут быть разделены на две группы. В одной из них сдвиг каждого импульса

14

вызывает смещение всех последующих (случайный телеграфный сигнал). В импульсных случайных процессах второй группы импульсы появляются на детерминированных, периодически по­ вторяющихся тактовых интервалах времени. Такие процессы обычно получаются из непрерывных стационарных процессов при помощи квантования по уровням и периодического квантования по времени.

К ним может быть также отнесен процесс, известный в лите­

испытаний Бернулли, если в каждом из них имеется только два

полученному из этой последовательности путем замены символов 0 и 1 на вероятности р и q (например, для последовательности

число к (единиц или нулей), выпавших в последовательности из п испытаний независимо от порядка их следования. Если к рас­ сматривать как некоторую случайную величину, то ее распределе­ ние может быть задано функцией

называемой биномиальным законом распределения. Биномиальное распределение легко обобщается на случай п

независимых испытаний, каждое из которых может иметь не­

к г = к, к 2 = п — к.

Распределение (1.20), являющееся общим членом разложения многочлена (рх + . . . -f p s)n, называют полиномиальным.

Биномиальное и полиномиальное распределения и схемы реализующие их составляют основу одного класса СтВМ, к изуче­ нию которого мы и переходим.

15

3.Принципы представления информации вероятностью

ВСтВМ для представления машинных переменных и констант могут быть использованы различные случайные процессы. На­ пример, дискретные процессы, представляющие собой пуассонов­ ские потоки, применяются в так называемых «нетактированных» стохастических вычислительных машинах. В «тактированных» СтВМ случайное появление импульсов возможно лишь в строго фиксированные моменты времени (такты). Примером такого про­ цесса служит уже упоминавшаяся нами последовательность Бер­

мы, характерные для время-импульсных вычислительных устройств (заторможенный мультивибратор, фантастрон, санатрон и т. д.). Схема совпадения И вырабатывает импульсы только в моменты совпадения входных сигналов.

Процесс совпадения импульсов характеризуется временными параметрами. Это позволяет форму импульсов каждого входного потока (по отношению к схеме И) считать прямоугольной, а их амплитуду — единичной. Если к тому же оба потока стационарны, то в произвольно взятый момент времени ty равенство \ (ty) = 1

выполняется с вероятностью р (£) == cojX|, где — средняя

частота потока совпадений, a tg — м. о. длительности импульсов выходящего стохастического потока.

В работе [62] впервые найдена формула для определения средней частоты следования импульсов потока совпадения для случая п входящих потоков

ПП

Применительно к случаю п = 2 имеем

со-=со1о)2 (q -f-т.,).

При условии, если т2 > тх,

сое^ с 1т2 = с2Х 0 (q, с2 —константы).

Отметим, что количественные соотношения, определяемые этими зависимостями, охватывают случаи любых потоков, в том числе и детерминированных, при условии, если они стационарны и не­ зависимы. В частности, если генераторы Г 1 и Г 2 синхронизиро­ ваны так, что выполняется со­

ляются зависимыми. Это приво­ дит к появлению на выходе схе­ мы регулярной последователь­

ТГ = ^ Г '

Вэтой книге мы будем в основном касаться устройств преобра­ зования, характерных для «тактированных» СтВМ. Одна из воз­

в другое (например, из Х 2 в Х 3). В любой момент времени t она может находиться только в одном из них с вероятностью ру (t).

Очевидно, что для любого t 2 Р (О — 1. При заданных вероят­

ностях Pj (t) распределение случайных чисел может быть задано плотностью вероятности

2 в. В . Яковлев

Гос. публичная

научно-техническая библиотека С С С Р

— распределение фиксированной величины1 Ху, определяемое функцией Дирака. Причем, из свойств данной функции

ХуД £о

J б (Х — Xy)dX = l при любом е0> 0

Xу-8о

И

ХуД £о

/ф ( Х ) б ( Х - Х /)йХ = ф(Х/)

х'г е„

Рассмотрим событие a: (f), заключающееся в том, что появляется хотя бы одно из состояний Ху, удовлетворяющих условию Д,- 5=г 3s X s. Тогда вероятность этого события р (х) согласно [11]

множества Д,- вероятность р (ж) в каждый тактовый момент по­ стоянна и определяется лишь законом распределения дискретной случайной величины X.

В частности, если р }- = 2_/, где I — разрядность регистров Рг1 и Рг2, то распределение состояний регистра Рг2 равномерно и, используя (1.22), получим р (х) = s*2~1. Так реализуется линейное преобразование.

Последовательность событий х во времени образует случайную последовательность Бернулли, которая обращается в регулярную при р (х) = 1.

Зададимся задачей определения вероятности p kt „ появления события х (t) в п испытаниях точно к раз. Пусть некоторая слу­ чайная величина уп представляет собой сумму п независимых случайных величин xt

18