книги из ГПНТБ / Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины

Разобьем системы (3.23) на четыре группы уравнений 1, 2, 3, 4. Для каждой группы характерно то, что первые два члена всех уравнений группы одинаковы и известны из решения систем (3.21)

и (3.22).

Группа 1 уравнений системы (3.23) имеет точное и единственное

100

В общем виде подсистема (3.23) может быть записана так!

PW zW P = p it,

P W M l>= P 'k

Несложно показать, что при таких условиях передаточная функция ФПКВ представляется в виде суммы s членов геометри­ ческой прогрессии, т. е.

Однако в большинстве практических случаев условия, опре­ деляемые уравнениями (3.20), (3.22), (3.23) и им подобными, не выполняются, а поэтому системы (3.20), (3.22), (3.23) не имеют единственного решения. Тогда целесообразно прибегнуть к кусочно­ нелинейной аппроксимации, характеризующейся тем, что в некото­ рых следующих подряд точках функция ср (X ) будет вычислена точно, а в других — с определенной погрешностью е.

101

Допустим, имеется система вида (3.20):

p Pi-iPi = p a,

причем

^*11 + Р 22, + ^33 Н Р и = Р >

==± е, Р 33 = Рз ± 6,

Р22 ~ Р2— ®» Ри = Рi — ®-

и оно единственное.

Таким образом, если исходная система уравнений (3.20), пред­ назначенная для моделирования функции <р (Я), не имеет един-

102

функция задана аналитически, то коэффициенты рассчиты­ ваются.

2. Составляем систему (3.21) и определяем точное значение р 1т. Полученное значение вероятности записываем в виде двоичной

нения (3.26) определяется ошибка аппроксимации е' и сравни­ вается с заданной погрешностью едоп.

Если еДоп > -8', то заданную функциональную зависимость можно считать аппроксимированной с заданной точностью и при­

проксимацию этой подсистемы и определяем, используя (3.26),

определены все I переменные системы уравнений (3.20). Отметим, что использование той или иной переменной из ряда

qlu, <?;2\ Ф3\ . . ., по существу, определяется участком аппрокси­ мации, т. е. в конечном счете, значением кода преобразуемого

ющими и использовать их для перестройки вероятностной части

103

Значения функции q> {А) заданы таблицей (табл. 9). Используя рекомендованную последовательность вычислитель­

ных операций, найдем, что в данном случае необходимо иметь

р^1’, р£2), р (3). Из них только пять переменных имеют различные значения вероятностей, одна из которых равна 0,5.

Для рассматриваемого примера решения, т. е. величины р 15 Рг1’, . . ., получены в виде двоичной дроби. Следовательно, полу­ чение этих вероятностей возможно с помощью соотношения (3.1). Применяя (3.1), получим четыре ФАЛ, на основе которых может

104

быть синтезирована вероятностная часть ФПКВ, реализующего зависимость <р{А) = V A :

zn = Xj_ (х2\/х3х4хь),

z12 = xe [ХтУxsx9a-^\Ja^(xs\Jx9\Jх1г)],

(3.27)

Z13 — x l 0 l^ 'llV ^ '12^'13‘^'14^3V ^"2 {X 1 2 \ / X 1 3) ] f l l V f l A o ,

Z14 “ ^16 [‘^'leV'^'17^18^2V ^ 2 (•^•17V^'18V^'X4)] ®lV ® 1® 1fi.

При ЭТОМ

P(zu )= P u

p (z12) = p$\ если аг = 0, я2= 0(1),

p(z12) = p^), если ах = 1, а2= 0(1),

Р (21з) = Рз\ если ах = 0, а2 = О,

Р (21з) == Рза)> если а1 = 0, а2 = 1,

P(zi3)= P s8), если а, = 1, а2 = 0(1),

р (zi4) = p41J, если ах = 0, я2 = 0,

P(zu )= P (*\ если ах = 0, а2 = 1,

Р (zi4) = Р48): если = 1, а2 = 0 (1).

Последний столбец таблицы 9 показывает способ разбиения аппроксимируемой кривой на три участка.

Таким образом, техническая реализация ФПКВ, осуществля­

значения реальных ошибок аппроксимации. Видно, что эти ошибки не превышают величины 0,018.

105

Система (3.20), вообще говоря, имеет решение, но не единствен-

1г-1

мых переменных в левой части равно 2‘ — 1. Метод решения этой системы аналогичен изложенному:

Яг= Pi + Р%+ • • • +

и т. д.

Следовательно, рассмотренный метод кусочно-нелинейной ап­ проксимации позволяет сократить необходимое число переменных в сравнении с 2( — 1 решениями системы (3.20) за счет внесения ошибки аппроксимации. При уменьшении 8Д0П число переменных, необходимых для аппроксимации, естественно, возрастает.

В некоторых случаях, когда допустима аппроксимация нели­ нейной зависимости небольшим количеством отрезков, можно

интегральная функция (1.1) имеет постоянный наклон. Количе­ ство участков аппроксимации s получим, исключая из системы уравнений (3.28) тавтологии, т. е.

ЯгЯг ■■•Як-i2k~l~x= Pi,

?i?2- ■•Pk-i2‘k~l~1 = P 2i-k+i+2i

k-i-i

P iP 2 - ■ ‘ P k-12

Таким образом, получаем

2 г k-1

Особенностью такой аппроксимации является гот факт, что с чис­ лом участков аппроксимации связана и крутизна реализуемой устройством функции. Действительно, ни одно из уравнений системы (3.28) не может превзойти по абсолютной величине значе­ ния 2k~l~1.

Таким образом, при рассматриваемом подходе к воспроизведе­ нию функций определяющим для выбора s является наибольшее значение производной функции ф (А). Если ф (А) воспроизводится

ственно упрощено. В частности, если удастся аппроксимировать функцию ф (А) двумя отрезками, то для построения ФПКВ потре­ буется лишь один входной ЛПКВ /7Х, который генерирует после­ довательность с математическим ожиданием р х. На все остальные случайные входы схемы сравнения подаются последовательности с р (1) = 0,5. Если требуется четыре участка аппроксимации, то нужно добавить еще один ЛПКВ, при восьми участках в схеме уже будет три преобразователя с р (1) =£= 0,5 и т. д.

Определение значений p t при большом s вызывает затруднения, так как оно производится методом последовательных приближе­ ний. На практике это часто осуществляется путем графического построения. Аппроксимирующая кривая изображается на листе миллиметровой бумаги размером не менее 0,5 х 0,5 м, при этом графическая ошибка в 0,5 мм составляет 0,1% . Задаются некото­ рой величиной 8Д0П. Из соотношения (3.29) определяют sh предель­

участка и из начала рабочего интервала аппроксимации проводят секущую до пересечения с вертикалью s = 1, ордината которой равна qxq2. . . qk-x• При этом отклонение прямой от аппроксими­ рующей функции не должно превышать 8Д0П.

Используя точку пересечения в качестве исходной, строим следующий участок ломаной с наклоном ф1д2- ••P k-x• Этот про­ цесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнут конец рабочего интервала. Если в ходе процесса ошибка аппроксимации превысит едоп, то следует вернуться к началу, изменить значения переменных р х, р 2, . . ., p k - х и повторить указанную процедуру снова.

Очень важна предварительная оценка области допустимых

107

аппроксимации образуют монотонные функции дискретного аргумента.

1.Условие монотонности функции при аппроксимации двумя

отрезками. В этом случае система (3.28) приводится к виду

=Рг21~1 = Р,;

отсюда условие выпуклости функции: q i > p 1 или р г > 0 ,5 . При р х < 0,5 реализуется модель вогнутой функции.

p(z)

Рис. 48. Аппроксимация функции ф (А)2~г (— ) четырьмя отрез­ ками:

2. Условие монотонности функции при аппроксимации че­ тырьмя отрезками. Учитывая (3.28), получим^

9i?a22 1= Pi, P\Q2^2 1= Ра,

qiPt%** = р 2, P iP i^ 4 = p i.

Пользуясь аналогичным методом, получим следующие соотноше­ ния: р г ^ 0,5 (знак > определяет вогнутость и знак < — выпук­ лость функции).

108

Для случая к — 1 переменных условия вогнутости (выпук­ лости) получаем в следующем виде [75]:

i - i

П р / + П 9/

/'=1 1=1

С соблюдением этих условий на рис. 48 показан процесс при­ ближения аппроксимирующей ломаной линии к исходной функции Ф (А) при четырех участках аппроксимации.

15. Стохастические кусочно-линейные аппроксиматоры

Метод кусочно-линейной аппроксимации функций заключается в представлении воспроизводимой функции Ф (А) отрезками пря­ мых линий. Основной задачей кусочно-линейной аппроксимации является определение такой длины шага аппроксимации, чтобы

Рис. 49. Два способа кусочно-линейной аппроксимации функции Ф (А)

разность между функцией Ф {А) и аппроксимирующей кусочно­ линейной функцией ф (А) не превышала наперед заданной по­ грешности. При этом желательно иметь величину шага максималь­ ной, а число шагов минимальным, что позволяет упростить струк­ туру функционального преобразователя.

Известны два основных способа практической реализации ку­ сочно-линейной аппроксимации [10].

1. Допустим, необходимо аппроксимировать функцию Ф (А) кусочно-линейной функцией ф (А ) с погрешностью не более ±8. Тогда ломаная линия ф (А) должна располагаться между кривыми Фх (И) = Ф (И) -f в и Фа (И) = Ф (И) — е. С целью минимизации

(рис. 49, а). Выбор величины шага аппроксимации производится из условия обеспечения требуемой точности аппроксимации.

109