книги из ГПНТБ / Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины

няя или нижняя линия. По верхней линии, например, передаются только положительные значения переменной, по нижней — только отрицательные.

Оба регистра преобразователя: регистр хранения мантиссы Х 0

и Рг2 хранения случайного кода — имеют одинаковую разряд­ ность.

Положительные (или отрицательные) величины могут пере­ даваться и по двум линиям, если используется разностная форма записи исходных или промежуточных значений вида Х 0 =

= Х'в — X q. Количество JVX различных возможных разностных форм определяется соотношением

N x = 2l (2 — aj) — ax— 2а2 — 4а3— . . . — 2l~1a l_x,

где I — количество разрядов мантиссы Х 0; а£ — значения разряд­ ных коэффициентов мантиссы.

Отсюда, в частности, вытекает, что единица может быть пред­ ставлена лишь в одной разностной форме, ноль имеет 2l + 1 воз­ можных форм.

Все значения переменной Х 0 6 (—1» + 1) могут быть переданы и по одной линии, если воспользоваться соотношением

вольной серией, состоящей из нулей и единиц, следующих с рав­ ной вероятностью р = 0,5, число — 1 — серией импульсов с веро­ ятностью р = 0. В более общем случае, когда истинная переменная

29

Такую кодирующую схему будем называть симметричной одно­ линейной (ОЛС) [82].

Схема устройства, реализующего зависимость (1.38), предста­ влена на рис. 13. От схемы, осуществляющей двухлинейное сим­ метричное кодирование (рис. 12), она отличается увеличением раз­ рядности регистра Рг2 на единицу и способом кодирования исход­ ных чисел Х 0, которое производится по круговой системе (рис. 14), широко распространенной в цифровых интегрирующих маши­

ляются дополнительными кодами. Максимальному отрицатель­ ному числу соответствует код 0.000...0. На рис. 14 приведены коды некоторых чисел в принятой двоичной системе.

Логическая схема ЛС на рис. 13 осуществляет передачу на схему сравнения прямого или дополнительного кода мантиссы Х 0 в зависимости от содержимого знакового разряда.

Основной недостаток однолинейного симметричного кодирова­ ния заключается в том, что ноль представляется с максимальной дисперсией. Это вытекает из анализа функции (1.25), достига­ ющей максимума при р (х) = q (х) = 0,5.

Отметим, что обе кодирующие схемы допускают взаимное преобразование. Так, схема на рис. 15 осуществляет переход от двухлинейного к однолинейному симметричному представле­ нию.

Учитывая, что преобразуемое число может существовать только на одной из двух линий, можно составить следующие соотношения

30

Г л а в а II

РЕШАЮЩИЕ БЛОКИ СтВМ НА ОСНОВЕ ЛОГИЧЕСКИХ СХЕМ

6. Свойства последовательностей на выходе логических элементов

Вглаве I на нескольких примерах было показано, каким образом с помощью логических схем можно выполнять преобразо­ вания стохастических переменных. При этом предполагалось, что исходные стохастические переменные представлены независи­ мыми последовательностями Бернулли. Можно показать (и в этом мы убедимся несколько позже), что при таких ограничениях выходная последовательность тоже является бернуллиевской.

Вбольшом числе случаев схема испытаний Бернулли служит достаточно точной моделью стохастических вычислений. Однако, обеспечить в реальном устройстве даже так называемую практтческую независимость испытаний удается далеко не всегда. На­ пример, многократное использование одной и той же последова­

тельности в процессе вычислений, применение схем с памятью и, наконец, неидеальность датчиков случайных чисел — все это может быть причиной появления автокорреляции в последова­ тельностях или статистической зависимости между ними.

Для того чтобы выяснить, как влияет корреляция на результат вычислений, рассмотрим свойства последовательностей на выходе логических схем, реализующих некоторые элементарные булевы функции. Вполне естественным при этом является предположение о стационарности и эргодичности входных процессов.

Инверсия: z = x. Поскольку в данном случае функциональное преобразование сводится к замене события х дополнительным к нему событием х, математическое ожидание выходной перемен­ ной z определяется равенством

32

Используя свойства математического ожидания [201, фор­ мулу (2.2) можно привести к следующему виду:

Арифметическое и логическое произведения двоичных пере­ менных численно равны. Поэтому

Для статистически связанных событий г и г , имеем

Р (х \ /x J = p (х) + р k ) —Р (жж,) =

происходит вычитание стохастической переменной из единицы, а корреляционная функция остается без изменения.

Конъюнкция: z = xy. Математическое ожидание выходной последовательности в этом случае определяется вероятностью пересечения событий хш у

М (z) = Р (ху) = р (х )р (у) + К ху = М (х) М (у) + К ху, (2.7)

где К ху — взаимный корреляционный момент входных перемен­ ных:

Кху = М {[х —М (х)][у —М (у)]}.

Всоответствии с (2.3) автокорреляционная функция на выходе конъюнктора равна

Для того чтобы определить М (хухгух), рассмотрим взаимно­ смешанный центральный момент четвертого порядка (рис. 16)

Кху (хху) = М {[х М (х)] \у — М (у)] k - М (х)} [у,- М(у)]}. (2.9)

Перемножая двучлены в правой части и вынося постоянные коэф­ фициенты за знак математического ожидания, получаем

Кху (хху) = М ( x x jy ) - М (х) [М (хуу) + М (ххуу)] —

—М (у) [М (xxjy) + М (ххху)\ + М (х )М (у) [М (ху) + М (хху) +

К ху (хху) - М (хххуу ) — М (х) (Кху (ту) + К у (хху)\ —

—М (у) [КХу (хх) + К х (хХу)] — М (х)М (у) [М (ху) + М (хху) +

+М (ху) + М (хху)\ — М 2 (х) М (уу ) —

3 4

Рис. 17. Схема образования взаимносмешанных моментов третьего порядка

Подставляя (2.7) и (2.16) в формулу (2.8), находим выражение автокорреляционной функции на выходе конъюнктора в общем виде]

к г (т2) — К ху (тху) + М (х) [К ху (ту) + К у (тху)] + + М (у) \Кху (т,) + Кх (т,„)] + М (х) М (у) [Ку (т,) + к х (т,)1 +

Можно таким же способом убедиться в том, что для независи­ мых х т у

Ку {Хху) — К х (ХХу) = К Ху (Гд) — К Ху (Ху) = К х (ту) — К у (Тд) = К Ху = 0.

К г (тг) = К х (т,) Ку (ху)+М * (х) К у (ху) + М2 (у) К х (хх). (2.21)

Рассмотрим также случай, когда во входных последователь­ ностях отсутствует автокорреляция. При этом по формуле полной вероятности находим

Подставим последнее выражение в первое уравнение системы (2.12) и после преобразования правой части получим:

Воспользуемся аналогичным приемом для определения вза­ имносмешанного момента четвертого порядка

М (ааую,) = Р (xxpjyj = р (х )Р (ххуух|х) =

м(ху) М (xzy) М (xyz) М (ххух)

М* (х) М * (у)

1М ( х ) М М + Кху}* [М (х) М (у ) + К х (Ху)] [М (х) М ( у ) + К у (хх)]

М а (я) М * (у)

•36

Подставляя (2.22) и (2.23) в (2.17), находим выражение авто­ корреляционной функции на выходе конъюнктора при стаци­ онарно связанных последовательностях Бернулли на его входах

Что касается математического ожидания выходной последова­ тельности, то оно в этом случае определяется общим выражением

Если же выполняются оба рассмотренных ограничения, что имеет место при независимых последовательностях Бернулли на вхо­ дах, то, как можно видеть из формул (2.20), (2.21) и (2.24), конъюнктор реализует функцию умножения стохастических перемен­ ных, а корреляция в выходной последовательности отсутствует.

Дизъюнкция: z = х \/ у. По формуле вероятности объединения событий имеем:

М (z) = Р (х V У) = р (х) + Р (у)—Р(ху) =

М (zzx) = Р (zzx) = Р [(х V У) (ххV Ух)\ = Р (хххV хутV X 1JV уух) = = Р (xxx) + Р (ху,) + Р (хху) + Р (уух) - Р \(ххх) (ху,)] —

— Р ](ххх) (хху)] — Р [(sag (уух)\- Р [(хух) (хху)\ —Р ](хух) (уух)\ —

- р \{хху) (УУХ)] + Р [(ххх) (хух) (хху)1 + Р [(ххх) (ху,) (уух)\+

+ Р [(ххх) (хху) (уух)\+ Р [(ху.) (хху) (уух)] —Р[(ххх) (хух) (хху) (уух)\.

Исключая тавтологию под знаком вероятностей и приводя подоб­ ные члены, получаем

М (zzx) = Р (хх,) + Р (ху,) + Р (хху) + Р (уух) — Р (хххух) —

— Р (ххху) - Р (хуух) — Р (Хху у х) + Р (хххуух).

37

Для дальнейших преобразований воспользуемся формулами (2.12)

и (2.13):

М (zzt) = АР (х) + К х (хх) + 2М (х) М (у) + К х (ху) + К у (хх) ■;

- 2М (х) М 2 (у) + АР (х) АР (у) + АР (х) К у (ху) + М 2 (у) К х (хх) + + К ху (тху) + М (х)М (у) [К у (хх) + К х (ху) + 2К ху] +

+ М (х) [Кху (ту) + К у (тху)\+ М (у) [Кху (хх) + К х (тху)\.

Из обеих частей последнего равенства вычтем М г (z). В резуль­ тате получим выражение автокорреляционной функции на выходе дизъюнктора в общем виде

К 2(х2) = Кху (тху) + [1 - М (у)\2 К х (тД + (1 - М (х)\2 К у (ху) + + [1 -М (х )\ Ц - М (у)] \КХ(ту) + К и (хх)\ -

Справедливость последней формулы можно доказать, подставляя

(2.22) и (2.23) в (2.27). _

Альтернатива: z = ху V ХУ■ Поскольку в данном случае логи­ ческая функция предполагает выбор одного из несовместных исходов, то математическое ожидание выходной последователь­ ности определяется следующей зависимостью:

M(z) = P (ху \J ху) = Р (ху) + Р (ху).

3 8