книги из ГПНТБ / Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины

При соответствующем выборе коэффициентов а,- последователь­ ность двоичных символов ак, генерируемая устройством, может иметь максимально возможный (для данного т) период М = 2т —

— 1. Такая последовательность характеризуется равновероят­ ностью и случайностью появления нулей и единиц [63] подобно

<*)

Рис. 116. Генератор двоичной последовательности максималь­ ной длины (а) и граф последовательности состояний регистра сдвига (б)

истинно случайной последовательности, и поэтому она получила название псевдослучайной последовательности максимальной длины.

Получение такой последовательности можно показать на при­ мере генератора с четырехразрядным регистром сдвига (рис. 116, а). Произвольный к-й символ двоичной последовательности, гене­

240

дулю 2. Если исходное состояние регистра (xlt х 2, х3, ж4) = (1 ,0 , 0, 0), то на выходе цепи обратной связи будет генерироваться по­ следовательность с периодом М = 15 ...111010110010001...

Последовательность состояний регистра сдвига приведена на рис. 116, б. Из шестнадцати возможных состояний отсутствует только одно состояние (0,0,0,0), которое является запрещенным. Если регистр сдвига установить в нулевое состояние, то генери­ руемая им последовательность будет состоять только из одних нулей.

Последовательность двоичных чисел, формируемых разрядами регистра сдвига на рис. 115, может обладать свойствами последо­ вательности случайных чисел с равномерным распределением. Изучение этого вопроса начнем с исследования свойств псевдослу­ чайных последовательностей максимальной длины.

38. Условия генерирования и свойства псевдослучайных последовательностей максимальной длины

Поведение схемы на рис. 115 можно описать в виде следующей матрицы:

где значения коэффициентов a i , a 2, . . ., а т £ (0,1) определяются видом обратной связи регистра сдвига. Элементы первой строки матрицы ||Л|| определяют операцию, осуществляемую суммато­ рами по модулю 2 цепи обратной связи, а единичные элементы

бивается на ряд подмножеств или циклов, каждый из которых может генерироваться схемой, если первоначальное состояние регистра будет соответствовать какому-либо вектору X из данного подмножества. При этом каждому циклу соответствует своя по­ следовательность двоичных символов с периодом, равным периоду цикла.

В зависимости от свойств матрицы ||М|| генератор последова­ тельностей на основе регистра сдвига с линейной обратной связью может иметь один нулевой — тривиальный цикл с периодом М = = 1 и некоторое число нетривиальных циклов одинаковой или разной длины. Генератору последовательности максимальной длины соответствует предельный случай, когда вся совокупность нетривиальных циклов состоит только из одного цикла макси­ мальной длины М = 2т — 1.

Циклические свойства генератора последовательностей пол­ ностью определяются характеристическим многочленом

ф(х) = х"1 + а1хт_1 + а2хт -2+ . . . + а т ,

которым является определитель матрицы |А + х^Ц, образо­ ванной прибавлением переменной х к диагональным элементам матрицы |^41|. Так для схемы, изображенной на рис. 116, а, ха­ рактеристический многочлен запишется в виде

схемой, связаны с понятиями приводимости и примитивности многочлена ф (х). Если многочлен ф (х) степени т не делится ни на какой другой многочлен от х пониженной степени, то такой многочлен называется неприводимым. Примитивность ф (х) озна­ чает, что он не является сомножителем к многочлену xs + 1 для любого s меньшего, чем (2т — 1). Если характеристический много­ член ф (х) неприводим и примитивен, то схемой генерируется по­

1 Необходимо пояснить, что действия над многочленами производятся по правилам арифметики по модулю 2, в которой сложение равносильно вы­ читанию, т. е. х* + х* = 0.

подставив значения коэффициентов а,- многочлена <р(х) в рекур­ рентное соотношение (7.2) и решая его для каждого к (к = 0, 1,

ной последовательности равен числу различных состояний регистра в данном цикле, а сумма периодов всех последовательностей — полному числу состояний (24 — 1).

Таким же образом можно показать, что непримитивный много­

М= 5.

Итак, основной задачей синтеза генератора псевдослучайной

последовательности максимальной длины М = 2т — 1 является нахождение многочлена т-ж степени, удовлетворяющего назван­ ным условиям. Расстановка связей от разрядов регистра сдвига к сумматорам по модулю 2 цепи обратной связи (рис. 115) произ­ водится в соответствии с коэффициентами а, этого многочлена.

Известно, что для данного т существует точно Ф (М} = 2т —

— 1 )]т различных многочленов, являющихся неприводимыми и примитивными. Функция Ф (М), называемая функцией Эйлера, представляет количество положительных целых чисел меньших или равных М и взаимно простых с М . Так как число Ф (М) с ро­ стом т очень быстро растет, то число многочленов степени т , порождающих последовательности максимальной длины, с ростом т также быстро увеличивается. Если при т = 8 оно равно 16, то при т = 16 это число уже равно 2048. Среди множества много­ членов заданной степени можно отыскать многочлен, имеющий минимальное число ненулевых коэффициентов а,-. Этому случаю будет соответствовать технически простейшая реализация генера­ тора, так как при этом цепь обратной связи регистра сдвига будет

стей максимальной длины с одним сумматором в цепи обратной связи, соединенным с т-м и i-м разрядами регистра сдвига. Если один из входов сумматора подключить не к i-му, а к (т — £)"МУ разряду регистра, то устройство будет генерировать последова­ тельность максимальной длины с обратным порядком следования двоичных символов.

Исчерпывающую таблицу всех неприводимых многочленов любой степени вплоть до т = 34 можно найти в [52], а в [97] приводится таблица многочленов, порождающих последовательно­

1.В последовательности максимальной длины {ак} все воз­ можные выборки по т смежных символов образуют 2т — 1 раз­ личных двоичных наборов. Единственным отсутствующим является запрещенный набор, состоящий из т нулей.

Данное свойство очевидно, поскольку М = 2т — 1 пред­ ставляет период последовательности {ак}. Это означает, что в ре­ гистре сдвига произойдет смена ровно 2т — 1 состояний прежде, чем эти состояния начнут повторяться в новом цикле. Следова­ тельно, вид последовательности {ak} и ее свойства не зависят от исходного состояния схемы генератора.

2.Число единичных символов в периоде последовательности

{ak} равно 2т~1, а число нулевых символов — (2т~1 — 1), т. е. в периоде любой последовательности максимальной длины число символов 1 всегда на единицу больше числа нулей. Это зна­ чит, что, увеличивая число разрядов т регистра сдвига, можно

числа 2т~1 серий следующих друг за другом одинаковых символов серии из одного символа (0 или 1) встречаются 2т-2 раз, из двух символов (00 или И) — 2т-3 раз, из трех символов (000 или 111) — 2т~4 раз и т. д., серии из т — 1 нулей и т единиц встречаются по одному разу. у

244

Данное свойство интересно сравнить с аналогичным свойством случайной последовательности равновероятных символов, для которой вероятность встретить серию из I одинаковых символов равна 2~1. Если число появлений серий различной длины в после­ довательности {аД разделить на общее число серий, то станет видно, что по повторяемости серий случайные и псевдослучайные последовательности также близки друг другу.

Рассмотрим еще два интересных свойства, раскрывающих кор­ реляционную структуру последовательностей максимальной длины.

Данное свойство получило название свойства «сдвига и сложения» [44]. Оно представляет особый интерес по той причине, что именно им обусловлено подобие корреляционных свойств последователь­ ности максимальной длины и случайной последовательности двоич­ ных символов. Известно [63], что если случайную последователь­ ность равновероятных символов { ЕД почленно сравнивать с той же, но сдвинутой на любое число s позиций последовательностью {^/г-sb т0 разность между числом (п — d) позиций, на которых символы совпадают, и числом d позиций, где они отличаются, в вероятностном смысле будет равна нулю, т. е.

где п — длина последовательности {£Д. Если последовательность { £Д состоит из символов 1 и —1, то выражение (7.5) совпадает с выражением

(7.6)

определяющим автокорреляционную функцию (АКФ) последова­ тельности { £Д, значение которой будет равно 1 для^ s = 0 и нулю — для любого другого s.

Сравним выражение (7.6) с АКФ последовательности макси­ мальной длины. Обозначим через {аД последовательность из 1 и —1 с периодом М — 2т — 1, полученную из {аД преобразова­ нием а'и = 1 — 2ак. Тогда выражение

М-1

(7.7)

245

/

последовательности достаточно большим, можно получить зна­ чение К а’ (s) для любого s Ф 0 (mod М) сколь угодно близким к нулю. Следовательно, можно считать, что АКФ последователь­ ности максимальной длины и идеальной случайной последователь­ ности практически совпадают. Поэтому последнее свойство псевдо­ случайных последовательностей часто называют свойством «иде­ альной автокорреляции».

Таким образом, рассмотренные статистические свойства после­ довательностей максимальной длины свидетельствуют об их ана­ логии с действительно случайными последовательностями равно­ вероятных символов.

Следует отметить важное обстоятельство, отличающее псевдо­ случайную последовательность от случайной. Если для случайной последовательности рассмотренные числовые характеристики ре­ ализуются асимптотически в зависимости от объема выборки, то для псевдослучайной последовательности гипотетические харак­ теристики практически достигаются на интервале равном периоду последовательности. Это свойство псевдослучайных последователь­ ностей может быть выгодно использовано, например, для сокраще­ ния времени выполнения арифметических операций в СтВМ.

В заключение отметим, что более полные сведения из теории генерирования псевдослучайных последовательностей можно найти в работе [63].

39. Последовательный генератор псевдослучайных чисел

Важной особенностью равномерно распределенных случ йных двоичных чисел X = (xlt х 2, . . ., xt) является тот факт, что зна­ чения отдельных разрядов xt, i — 1, 2, . . ., I, этих чисел можно рассматривать как реализации независимых случайных величин

246

£;• с распределениями

^ (g* = 0) = /> (g, = 1) -----1-, i = l,' 2, . . 1.

Благодаря этому последовательность таких чисел может быть образована из случайной последовательности { \k) равновероят­ ных символов 0 и 1 в виде непересекающихся выборок из I симво­ лов. ГСЧ, реализующий такой способ формирования случайных чисел, будет содержать генератор последовательности двоичных символов и Z-разрядный регистр сдвига, в котором за I последова-

m2

СдЬиг

Х=(хи хг , . . , х 1)

Рис. 117. Генератор псевдослучайных чисел последова­ тельного типа

тельных тактов работы формируется двоичное число (хг, х г, . . .

. . ., xt). Такой тип ГСЧ называют последовательным. Аналогичный принцип может быть положен в основу построе­

ния генераторов псевдослучайных чисел. Последовательным ГПСЧ может непосредственно служить генератор псевдослучайной дво­ ичной последовательности максимальной длины (рис. 117). В та­

ческой независимости смежных двоичных чисел в формируемой

ствии с выражением (7.8), являются периодическими. Нетрудно убедиться, что период последовательности равен частному от

247

регистра сдвига. Вид последовательности псевдослучайных чисел, а следовательно, ее характеристики не зависят от начального со­ стояния схемы только в том случае, когда ее период максимален и равен М = 2™ — 1. Очевидно, для получения такой последова­ тельности необходимо число сдвигов s выбрать взаимно простым к М. Для этого можно воспользоваться табл. 18, в которой при­ водится разложение чисел М = 2т —■1 на простые сомножители

[63].

Оценим статистические характеристики последовательности псев­ дослучайных чисел максимальной длины М — 2т — 1, генерируе­ мой в последовательном ГПСЧ. Прежде всего покажем, что рас­ пределение двоичных чисел в последовательности является равно­ мерным.

Действительно, поскольку период последовательности равен М = 2т — 1, то каждому числу в последовательности соответст­ вует одно из 2т — 1 различных состояний регистра сдвига. Из этого следует, что в периоде последовательности М — 2т — 1 любое двоичное число (хг, х 2, . . ., хг), образованное на выходах I разрядов регистра сдвига, встретится ровно 2т~1 раз, за исключе­ нием числа (0,0, . . ., 0), которое встретится на один раз меньше.

Если число появлений ^-разрядных двоичных наборов на выхо­ дах ГПСЧ разделить на период последовательности М = 2т — 1,

248

то получим распределение вероятностей появления чисел в этой последовательности, определяемое значением Р (X) = 2" (1 +

+ ~2тL f ) для всех X , за исключением X = (0,0, . . ., 0), для

2~1. Это позволяет сделать вывод о том, что последовательность псевдослучайных чисел, формируемая последовательным генера­ тором, имеет практически идеальное равномерное распределение на полном периоде последовательности.

Для оценки качества псевдослучайной последовательности необходимо также исследовать ее на соответствие критерию слу­ чайности. В этом смысле важной характеристикой может служить распределение числа w появлений /-разрядных двоичных наборов (хг, х 2, . . ., xt) на отдельных отрезках последовательности. Если последовательность чисел удовлетворяет критерию случайности, то независимо от длины отрезка п распределение величины w будет одинаковым для любого из различных наборов, причем параметрами распределения будут М (и>) = 2"1п и D (w) = 2~l (1 —

— 2~1) п. Таким образом, анализируя на отрезках последователь­ ности отклонения действительного числа появлений различных наборов от ожидаемого числа, можно получить дополнительное представление о качестве псевдослучайных чисел. Рассмотрим для примера вопрос о числе появлений в последовательности на­ боров (хг, х 2, . . ., хг), состоящих из всех единиц.

Предположим, что последовательность /-разрядных двоичных чисел X = (хх, х 2, . . ., Х[) получена из псевдослучайной после­ довательности максимальной длины {ак} путем последователь­ ных выборок по I символов, т. е.

=2’ ■•ч

ипусть (/, М) = 1. Тогда число появлений наборов из /единичных символов в последовательности псевдослучайных чисел за период

По аналогии с (7.9) для произвольного отрезка последователь­ ности длиной п можно записать

249