книги из ГПНТБ / Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины

Г л а в а VI

ГЕНЕРАТОРЫ СЛУЧАЙНЫХ ДВОИЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

▼

31. Первичные источники шума

Физическая природа случайных отклонений электрического тока или напряжения, создающих первичный шумовой сигнал, может быть весьма разнообразной. Причина этих флуктуаций, как уже упоминалось, может заключаться в дискретном характере зарядов, создающих электрический ток (дробовой эффект), в те­ пловом движении носителей этих зарядов (тепловой шум), в из­ менениях проводимости под воздействием некоторых случайных факторов (модуляционный шум) и т. д.

Первые два вида шумов являются основными. Поэтому рас­ смотрим их более подробно.

Природу дробового шума проще всего выяснить на примере шумового диода, представляющего собой электровакуумный двух­ электродный прибор с горячим катодом и весьма малым расстоя­ нием между электродами.

С поверхности накаленного катода могут выйти в вакуум только те электроны, которые обладают энергией, превышающей работу выхода, и скорости которых направлены к поверхности катода. Среднее количество электронов, покидающих катод в единицу времени, при заданной температуре постоянно. Однако, поскольку энергия и скорость каждого электрона являются слу­ чайными величинами, то процесс электронной эмиссии также ока­ зывается случайным и, следовательно, количество эмиттированных электронов в каждый отдельный момент времени различно.

Таким образом, ток, образованный эмиттируемыми электро­ нами, не является постоянным во времени, а флуктуирует относи­ тельно некоторого среднего значения. Следовательно, полный ток через диод i (t) можно рассматривать как сумму постоянного 1а и шумового токов im(t).

i(t) = I a+ *in(t)‘

Предположим, что катод покидает один электрон. В малом про­ межутке между электродами он попадает в сильное электрическое поле, создаваемое анодным напряжением U, и на него действует в направлении к аноду постоянная сила eUjd, где е — заряд элек­ трона, a d — расстояние между анодом и катодом. Под действием этой силы электрон получает ускорение eUJdm, где т — масса

200

электрона. Поскольку начальная скорость, с которой электрон покидает катод, много меньше конечной, с которой он достигает анода, ею можно пренебречь и считать равной нулю. Тогда в про­ извольный момент времени скорость электрона в вакууме будет равна

(6. 1)

При движении электрон наводит на аноде заряд Q, совершая работу W = QU, равную собственной кинетической энергии в мо­ мент t. Тогда

W = QU = j-mv*(t) = eW* t2. 2т№

Мгновенное значение анодного тока равно первой производной от величины наведенного заряда. Следовательно,

При достижении электроном анода происходит компенсация наведенного заряда его собственным зарядом и вызванный этим электроном анодный ток скачком уменьшается до нуля. Таким образом, каждый электрон создает в анодной цепи треугольный импульс тока (рис. 95) с амплитудой

г _ e2U

1<!~ т№ Тп’

где тп — время пролета электрона от катода к аноду, которое является параметром диода.

Интегрируя формулу (6.1) в пределах от 0 до тп, находим

1 [ 2тй Тл~ у ~ёи~

и

Подставляя последнее выражение в (6.2), получаем

Одновременно в промежутке между анодом и катодом нахо­ дится большое множество электронов, причем общее их количество и положение каждого в пространстве являются случайными ве­ личинами. Поэтому общий ток состоит из большого числа треуголь­ ных импульсов, порожденных каждым электроном и случайно распределенных во времени.

201

Приблизительная картина сложения таких импульсов показана на рис. 96. На самом деле число импульсов в сумме гораздо больше

ирезультирующая кривая имеет более сложную форму. Поскольку каждый отдельный импульс составляет очень ма­

лую долю суммарного тока и не зависит от других импульсов, оказываются выполненными условия предельной теоремы Ляпу­ нова [20]. Поэтому, несмотря на строго определенную форму одиночного импульса, мгновенные значения анодного тока рас­ пределены по нормаль­ ному закону с математи­ ческим ожиданием, рав­ ным величине постоян­ ной составляющей 1а.

Применяя преобразо­ вание Фурье к форму­ ле (6.3) и производя усреднение по множе­ ству электронов в прост-

Рис. 95. Импульс тока, вызываемый в анодной цепи отдельным электро­ ном

ранстве анод — катод, можно получить выражение для спектраль­ ной плотности дробового шума в следующем виде [42];

что в интервале |сотп |<( 0,5 спектральная плотность шума прак­ тически постоянна и равна 2 e l a. Для существующих конструкций шумовых диодов граница этого интервала примерно соответствует частоте 100 МГц.

Необходимо заметить, что полученные формулы не учитывают взаимодействия электронов между собой при их движении от катода к аноду, что вполне оправдано, когда диод работает в ре­ жиме насыщения. В этом режиме электрическое поле вполне до­ статочно для притяжения к аноду всех эмиттируемых электронов и анодный ток мало зависит от приложенного напряжения. В то же время он сильно зависит от температуры катода. Поэтому в слу­

202

чае необходимости стабилизации мощности шума питание на­ кала должно осуществляться от высокостабильного источ­ ника.

При низком анодном напряжении не все эмиттируемые элек­ троны достигают анода. Некоторые из них остаются в межэлектрод­ ном пространстве, образуя так называемый пространственный заряд, который, создавая тормозящее поле на пути электронов,

Sd — средняя крутизна диода.

Тепловой шум возникает вследствие хаотичности теплового движения электронов (или других носителей зарядов) в любой проводящей среде, например в резисторе. Путь каждого электрона является случайным и зигзагообразным из-за многочисленных столкновений с узлами кристаллической решетки. Суммарный эффект движения множества электронов приводит к появлению тока в резисторе даже при отсутствии приложенного напряжения. Направление и величина этого тока случайны, а среднее значение равно нулю.

Спектральная плотность тока свободных электронов опреде­

ями; R — сопротивление резистора.

Обращаясь к графику функции Sc (со), нормированной отно­

Поскольку величина тп имеет порядок 10'14, то спектр можно

Si (ю) = —

203

Учитывая, что спектры плотности мощности тока и напряже­ ния связаны соотношением

о л.\ Sи(<п)

Sl Н ——Д2--- >

средний квадрат шумового напряжения вызванного тепловым движением электронов в интервале частот от 0 до 1013 Гц, можно определить по формуле Найквиста

u2m = ikT R A f,

где Д/ — полоса частот измерителя шума.

В полупроводниковых приборах, которые наиболее перспек­ тивны для применения в СтВМ, шумовой сигнал включает четыре

ность может быть определена по формуле Найквиста.

В отличие от электровакуумных приборов, где движение элек­ тронов происходит в одном направлении, в полупроводниках ток через р-п переход определяется диффузией носителей в прямом и обратном направлениях, образующей соответственно прямой /пр и обратный 10бр токи. Полный диффузионный ток через р-п переход, как известно [54], описывается выражением

где U — приложенное напряжение; /0 — константа, определяемая физическими свойствами материала.

Таким образом,

InP = h exp

^обр — /о-

I ~ -^пр -^обр•

Поскольку указанные токи в первом приближении некоррелированы, их совместный шум можно определить на основе сложения мощностей.

2 04

В соответствии с (6.4) для полосы частот, примыкающей к нулю, имеем

В другом виде

Ц = (2e l + 4е/0) А/ = 2e l А/ cth ( ^ ) .

Эти формулы хорошо согласуются с результатами измерений дро­ бового шума туннельных и плоскостных диодов на низких ча­ стотах.

На высоких частотах простая модель р-п перехода дает следу­ ющую теоретическую зависимость спектральной плотности шумо­ вого тока от частоты [1]:

s i H с 0 1+(тТп)2,

где С0 — постоянная, зависящая от свойств материала и размеров перехода; тп — время пролета свободного от электрических за­ рядов участка (перехода).

При этом спектр оказывается равномерным до частот порядка 1010 — 1012 Гц. Однако принятая модель удовлетворительно опи­ сывает процессы лишь в диодах, работающих на основных носи­ телях (диодах Шоттки).

С учетом явления инжекции неосновных носителей для германиевых диодов при не очень больших токах (до 1 мА) спект­

Высокий уровень шумов наблюдается у начала области лавин­ ного пробоя на обратной ветви вольт-амперной характеристики диода. Их появление объясняется возникновением так называемых микроплазм — локальных участков с резко возросшей проводи­ мостью, вызванной повышением концентрации носителей на этих участках. В свою очередь, неравномерность распределения носи­ телей является следствием микронеоднородностей р-п перехода, связанных с неравномерностью распределения примесей, мест­ ными дефектами кристаллической решетки и т. д.

2 0 5

Микроплазмы хаотически возникают и рассасываются, слу­ чайным образом изменяя сопротивление перехода и падение напряжения на нем. Процесс имеет вид релаксационных колеба­ ний со случайными амплитудами и фазами. При малом сопроти­ влении нагрузки форма импульсов близка к прямоугольной, а в цепи с высоким сопротивлением — к треугольной. Несмотря на это, спектр на низких частотах практически равномерен. У средней частоты повторения импульсов наблюдается подъем спектральной плотности и далее резкий спад. Для диодов с пробивным напряже­ нием Unр около 10 В эта частота составляет 1—2 МГц, а для Unp ^

100 В — примерно 100 кГц [65]. Амплитуда импульсов в пер­ вом случае равна примерно 10 мВ, а во втором увеличивается до 1—4 В. На остальном участке лавинного пробоя интенсивность шумов меньше, но по-прежнему зна­ чительно превышает дробовой шум.

При подаче смещения у полупро­ водниковых и вакуумных диодов на­ блюдается шум со своеобразным спектром

1//-шума, где его интенсивность становится меньше, чем у дробо­ вого и теплового шумов, зависит от конструкции диода, величины тока через диод и ряда других факторов. Эта граница находится вблизи частоты 10я Гц [76, 81, 881.

Итак, шумы, генерируемые различными источниками, могут иметь различную природу и спектр, по-разному зависеть от при­ ложенного напряжения или тока. На их интенсивность могут оказывать влияние паразитные реактивные параметры источника, температура и другие факторы. Одним источником могут генерироваться шумы различной природы, которые в общем

сложный шумовой сигнал, величина и спектр которого должны быть измерены, а результаты измерений использованы в дальней­ ших расчетах. С этой целью первичный источник шума в соответ­ ствии с теоремой об эквивалентном генераторе [6] может быть пред­ ставлен либо эквивалентным генератором э. д. с., включенным последовательно с сопротивлением источника относительно вы­

ходных ПОЛЮСОВ, С шумовой Э. Д . С. ХОЛОСТОГО ходаУ иш, либо эквивалентным генератором тока, включенным параллельно со­ противлению источника, с шумовым током короткого замыкания

V i i (рис. 99).

206

Параметры эквивалентных генераторов связаны со спектраль­ ной плотностью шума следующими соотношениями:

Величины I/ 4 и неудобны для практического использо­

вания тем, что они зависят от выбранной ширины полосы А/. Поэтому пользуются другими параметрами, которые не зависят от Л/ и, кроме того, позволяют сравнить полный шум генератора с хорошо изученными тепловыми и дробовыми шумами, которые рассмотрены выше. В качестве таких параметров служат:

эквивалентное шумовое сопротивление

Введенные параметры имеют следующий физический смысл 7?ш— активное сопротивление, которое при температуре Т развивает на своих полюсах в полосе частот А/ средний квадрат

напряжения шума z4 ;

Тш— температура, при которой активное сопротивление R, равное выходному сопротивлению источника, имеет в полосе А/

на своих полюсах квадрат шумового напряжения i4 ;

I ш— средний ток некоторого источника дробового шума со

средним квадратом шумовой составляющей 4 .

У транзисторов понятие шумовой температуры связывают с источником теплового шума, согласованного с входным сопро­ тивлением транзистора. Сам транзистор при этом считают нешумя­ щим элементом.

Представление о численных значениях шумовых параметров можно получить из табл. 14.

207

Т а б л и ц а 14

У среднен ны е ш ум овы е п ар ам етр ы н е к о то р ы х серийно вы п у ск а ем ы х приборов

32. Дискретизация непрерывных случайных сигналов

Преобразование шумового сигнала в случайную последова­ тельность импульсов осуществляется путем квантования непре­ рывного процесса по уровню и времени. Эти преобразования яв­ ляются независимыми и поэтому их можно рассматривать отдельно.

Случайный процесс на входе амплитудного квантователя пред­ ставлен нормальным распределением мгновенных значений

и спектральной плотностью мощности Su (/), связанной с диспер­ сией ol соотношением

а« = 2 J S u(/) df.

О

Для оценки точности стохастических вычислений более удоб­ ной является еще одна форма описания случайного процесса, а именно, автокорреляционная функция, которая с информацион­ ной точки зрения эквивалентна спектральной плотности и связана с ней обратным преобразованием Фурье [3]:

Последнее равенство справедливо благодаря четности функции спектральной плотности

Su(f) = Su( - f ) .

2 0 8

Связь между процессами на входе и выходе амплитудного кванто­ вателя показана на рис. 100:

Рис. 100. Процесс квантования шумового сигнала по уровню

Математическое ожидание выходного процесса определяется интегралом

ООUQ

Установим связь между автокорреляционной функцией кван­ тованного процесса и аналогичной характеристикой непрерывного шума:

где ф (и, нт) — совместная плотность распределения мгновенных значений входного шума, разделенных интервалом времени т.