книги из ГПНТБ / Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины

Как известно, двумерная плотность нормального распределе­ ния коррелированных случайных величин с нулевым математи­ ческим ожиданием выражается формулой

где г — коэффициент корреляции £ и ц ; <Xg и ац — среднеквадра- - тичные отклонения с и 7] соответственно.

X [и2 —2ги(т) 1ШТ+ u?] 1du dux.

Производя замену переменных интегрирования по формулам:

°Gu Vi — r%(t)

Разделим переменные под знаком двойного интеграла, разла­ гая подынтегральную функцию в ряд Тейлора:

210

Заметим, что

0

Тогда пользуясь рекуррентным соотношением (6.5), получаем:

иT. Д.

Для реальных условий квантования по двум уровням s0 ^ 1. Поэтому ряд быстро сходится, и нет необходимости рассматри­ вать большое число его членов.

Ограничиваясь полученными выражениями, можем записать

где

°ои Vi —г* (т)

Практический интерес представляет случай ги (т) ■Cl. По­ этому без больших потерь точности можно пренебречь слагае­ мыми, содержащими г” (т) при п > 1 . В результате получим

Тогда выражение автокорреляционной функции квантованного сигнала будет иметь вид

Если квантование производится по уровню и0 = О (случай получения опорной последовательности), то

Представление о точности последней формулы можно полу­ чить из табл. 15, в которой приводятся сравнительные расчетный данные с использованием формул (6.6) при и0 = 0 и (6.7).

Процесс квантования по времени заключается в замене не­ прерывной функции последовательностью ее мгновенных значений в фиксированные равноотстоящие моменты времени, причем все зависимости, в том числе и корреляция, существующие между значениями функции в эти моменты, сохраняются. Следовательно, полученное выражение автокорреляционной функции (6.7) ос­ тается справедливым и для тактированной последовательности

212

импульсов при условии, что эта функция существует лишь для интервалов дискретного времени тд = 0, 1, 2, связанного с не­ прерывным временем соотношением

где /кв — частота квантования по времени.

Таким образом, для тактированной случайной последователь­ ности импульсов (с) в общем случае имеем

а для опорной последовательности {К}:

<«•«>

При равномерном ограниченном с двух сторон спектре первич­ ного шума его автокорреляционная функция имеет вид:

Кц (т) = 2 J Sucos 2я/т d f = -^|- (sin 2я/вт — sin 2я/нт) =

fn

sin я А/т

2Su пт

и принимает нулевое значение в равноотстоящих друг от друга точках, кроме т = 0, с интервалом 1/Д/. Этим фактом в принципе можно воспользоваться для выбора частоты квантования, обеспе­ чивающей отсутствие корреляции в выходной последовательности:

/кв = - дГ» А; = 1 , 2 , 3 , . . .

Максимальное значение частоты квантования, обладающей этим свойством, как можно видеть, составляет

/кв max = А/ •

Однако вследствие разброса и нестабильности параметров источ­ ников шума, в реальной схеме выдержать это соотношение ча­ стот довольно трудно. Поэтому на практике для выбора частоты

213

квантования можно воспользоваться верхней оценкой абсолютного значения автокорреляционной функции

Соотношение между автокорреляционной функцией и ее оцен­ кой для широкополосного (А/ > / 0) шума с равномерным спектром

Рис. 101. Автокорреляционная функция случайного сигнала с ограниченным спектром (штриховыми ли­ ниями показана функция оценки)

показано на рис. 101. В соответствии с формулой (6.8) для опор­ ной последовательности эта оценка составляет

$ u f кв

Но поскольку = 2 S uAf, то опуская у аргумента для краткости индекс, указывающий на дискретный характер времени, имеем

<6-9>

Отсюда максимальная допустимая частота квантования может быть определена по формуле

вале т. Заметим к тому же, что во избежание появления внутренней

214

нестационарное™, частота квантования не должна превышать удвоенного значения верхней границы спектра /кв < 2/в.

Таким образом, с точки зрения быстродействия СтВМ и каче­ ства генерируемых последовательностей желательно использо­ вание первичных источников шума с возможно большей шириной и максимальной верхней границей спектра.

33. Выравнивание вероятностей генерируемых двоичных символов

В связи с тем, что вероятность появления единицы в случайной двоичной последовательности определяется интегралом вероят­ ности

р{х) = М{х) = \ - Ф ( ~ ) ’

она зависит от точности установки и стабильности порога ампли­ тудного квантователя и в первом приближении связана с откло­ нением порогового уровня зависимостью

где Ар (х) — отклонение вероятности появления единицы в двоич­ ной последовательности от заданного значения р (х)\ и0 — ве­ личина порогового уровня, обеспечивающая заданное значение р (х); Аи 0 — отклонение порогового уровня от и 0.

Для опорной последовательности и0 = 0 и, следовательно,

(6 Д 0 )

Величина Ар (h) может служить в качестве меры неравномер­ ности распределения вероятностей между символами 0 и 1 в опор­ ной последовательности, поскольку:

Р(Л = 1) = { + Др(Л),

Р(Д = 0) = 1 -Р (/ г = 1 ) = - | - Арф)

P (h = i ) - P ( h = Q) = 2Ap(h).

Для выравнивания вероятностей, т. е. для приближения мате­ матического ожидания опорной последовательности к величине М (h) = р (h) = 0,5, необходимо стабилизировать порог ампли­ тудного квантования на нулевом уровне.

Применение параметрических методов стабилизации в этом случае малоэффективно, поскольку в выражении для Ар (h) (6.10) нестабильность порогового уровня Ли0 нормирована

215-

относительно среднеквадратичного значения шумового сигнала о и, имеющего малую величину. В связи с этим в большинстве пред­ ложенных схем стабилизации1 уровень квантования корректи­ руется, вообще говоря, случайным образом пропорционально отклонению оценки математического ожидания выходных им­ пульсов от 0,5 за некоторый конечный интервал времени.

Такая оценка выполняется с помощью интегрирующего уст­ ройства, а схема коррекции имеет вид, показанный на рис. 102.

преобразование неравновероятных последовательностей с по­ мощью логических схем.

Уникальным в этом отношении свойством обладает логический элемент, реализующий функцию сложения по модулю 2 (рис. 103, а). Как установлено ранее (п. 7), эту функцию характеризует следу­ ющее соотношение между математическими ожиданиями выходной {z} и независимых входных {ж}, {у} последовательностей:

M {z ) = M (х) + М (у) — 2М (х) М (у).

Ар (z) = M (z ) —0,5 = 0,5 + Др (ж) + Ар (у) —

—2 [0,5 + Ар (ж)] [0 ,5 + Ар (у)] = 0,5 Ар (ж) Ар (у).

Нетрудно убедиться, что альтернатива т входных последователь­ ностей с отклонением вероятностей Ар будет иметь неравномер­ ность

Таким образом, существует принципиальная возможность це­ ной увеличения объема оборудования получить опорную последо-

1 Авт. свид. СССР № 193159. Бюллетень «Изобретения, промышл. образцы и тов. знаки», 1967, № 6. Патент ЧССР № 104631, Кл. 4 2 т , 14, 1961.

216

вательность с математическим ожиданием, как угодно близким к 0,5.

На практике, однако, обходятся сложением по модулю 2 двух­ трех последовательностей. Так, например, чехословацкий генератор случайных сигналов «GENAP-2» [86] имеет схему образования альтернативы двух независимых последовательностей. Наиболее широкое применение этот способ выравнивания вероятностей

Рис. 103. Схемы выравнивающих сумматоров по модулю 2

нашел в генераторах псевдослучайных последовательностей (см.

гл. VII).

С целью экономии оборудования иногда используют сложение по модулю 2 одной и той же последовательности с задержкой т3, обеспечивающей практическую независимость сигналов на входе сумматора (рис. 103, б). Однако, в этом случае в выходной после­ довательности появляется корреляция с интервалом т3, величину

=Р [(ххх \Jxx%) (ххх2Х V хт2т)]— 4р2 (х) q2 (х) =

=Р (ххгх2х) + Р (хххх2Х) — 4р2 (х) q2 (х) = р (х) q2(х) + р2 (х) q (х) —

—4р 1 (х) q2 {х) — q{x)p {х) [1 —4р (х) q {х)\ =

= [0,5 + Ар (х)[ [0,5 + Ар (г)] {1 —4 [0,5 + Ар (z)[ [0,5 —Ар (г)]} =

= [Ар {х)\2{1 —4 [Ар (х)]2} ^ [Ар {х)]2.

Хорошими выравнивающими свойствами для последователь­ ности независимых импульсов обладает триггер со счетным входом, реализующий, как известно, функцию альтернативы входного и выходного сигналов:

z(t) = x (t) z(t — 1) \ Jx (t)z{t~ l) .

217

Смена состояний триггера в соответствии с этой формулой, опи­ сывается графом переходов, изображенным на рис. 104.

Используя, как и ранее, условные вероятности переходов для стационарного режима [р (ж, t) = const], можем записать

P {i) = p{x)P {0) + q{x )P {i).

Но Р (1) = 1 — Р (0) = р (z). Следовательно,

Р (z) — Р (ж) [1 —р (z)l + р (z) [1 —р (ж)].

Отсюда

Таким образом, триггер со счетным входом идеально решает задачу выравнивания вероятностей, но необходимо заметить, что при этом в выходную последовательность вносится корреляция. Для определения ее величины обратимся к графу переходов

(рис. 104):

К г (1) = Р (zzj) —~ = р (z) q ( x ) - ~ j = ~ [ l — 2p (ж)],

Таким образом, автокорреляционная функция довольно быст­

Следовательно, если имеется возможность уменьшения частоты генерирования опорной последовательности, то можно применить

Если после каждого считывания информации устанавливать триггер в состояние 0 (рис. 103, в), то дополнительная корреляция выходной последовательности устраняется, но качество выравни­ вания становится хуже. Так, при независимости входных импуль­ сов оказывается справедливой формула (6.11). Если же автокорре­

218

ляционная функция входной последовательности отлична от

ние из исходной неравновероятпой по­ следовательности нулей и единиц комбинаций вида 000... и 111...

и использование равновероятных комбинаций вида 10 и 01, по­ скольку

m2

Рис. 105. Схема выравнивания вероятностей с исполь­ зованием равновероятных комбинаций

на двухразрядный сдвигающий регистр, работающий с тактовой частотой /кв. Содержимое регистра через такт анализируется с по­ мощью сумматора по модулю 2 и в случае обнаружения полезной комбинации один из составляющих ее символов (всегда один и тот же, первый или второй) передается через конъюнктор на выход z. На выходе у вырабатываются метки, указывающие вре­ менное положение полезных символов в последовательности {z}.

219