книги из ГПНТБ / Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины

откуда

Этот процесс будем продолжать до совпадения соотношений

(3.78) и

wng\ -г w12g12+ wl3g13+ . . . + wnigni.

Аналогичные операции применяем для всех остальных коэф­ фициентов полинома (3.77).

Например, для коэффициента при р 2 полинома (3.77) запишем

Wmrl + « V 01 + Ш02Г02 + Wlirl + WW\2 + W22rl-

Используя приведенный алгоритм для определения весовых коэф­ фициентов wnl, получаем: ш22 = 4, ш12= 20~^Ц —= —36,ши =

Таким образом, коэффициент при р 2 теперь может быть записан более компактно: 4g\ — 3Qgig3 — 6gf .

Приведем результаты преобразований формулы корреляцион­ ного момента, выполненных по данной методике для схем ФПВВ с различным I.

При I = 2

141

При 1 = 5

п 2 К (ztzr ) = 2~2 (5; s) [plOgt - р* (I0g\ - 8С)glg2 - Щ \) + t< t’

+ Р3(80glg2+ I20glg3+ HOgi — (>0g2g3+ 5gl) —p4 (i20g1g3+ 80^^4 ~ -f 150gt + 360g2g3— 60g2g-4 — 75g%+ 20g3g4 —g\) +

+ p5 (80glg3-j- 20gig5+ 420^2^з + 200£2g4 —20g2g5+ 195gi —

nD(z) пл(ъ )

Рис. 62. Зависимости дисперсии (2) и суммарной

дисперсии (1) последовательности на выходе ФПВВ, воспроизводящего функцию sin X :

выходе ФПВВ, вычисленные с применением полученных формул для случая воспроизведения функции sin X . Из рисунка видно, что при 1 = 5 длина выходной последовательности должна быть увеличена по крайней мере в 1,5 раза в сравнении с процессом

1 4 2

Г л а в а IV

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАТОРЫ

Эту главу мы посвятим в основном изучению решающих бло­ ков, содержащих элементы памяти — триггеры. В СтВМ такие блоки чаще всего применяются для построения счетчиков и реги­ стров с обратной связью, выполняющих операции интегрирова­ ния, воспроизведения некоторых целых и дробных рациональных функций, итерационных и других процессов. Таким образом, класс аналитических функций, реализуемых автоматами с па­ мятью, существенно расширяется. Вместе с тем анализ таких схем в сравнении со схемами, рассмотренными в предыдущей главе (там триггеры используются только в качестве элемента задержки) оказывается достаточно сложным. Наличие памяти приводит к зависимости между состояниями автомата в соседних тактах даже в тех случаях, когда входные сигналы для разных тактов независимы.

Если во входную случайную последовательность бинарных символов ввести еще корреляционную зависимость, то аналитиче­ ские выражения не только усложнятся, но и станут неразреши­ мыми относительно таких характеристик как математическое ожидание, дисперсия и коэффициент корреляции. Еще более сложен анализ процесса в автомате с памятью при воздействии нестационарной последовательности на входе.

В связи с этим изложение главы будет касаться тех конкрет­ ных классов автоматов с памятью, для которых характеристики выходной последовательности при воздействии стационарного процесса без последействия могут быть получены в аналитиче­ ском виде. В отдельных случаях, могущих вызвать практический интерес, но не поддающихся простому описанию, мы ограничимся приближенными методами, имеющими характер оценок.

19. Принципы стохастического интегрирования

Стохастические интеграторы составляют особый класс цифро­ вых интеграторов, на основе которых строятся ЦДА (цифровые дифференциальные анализаторы) — наиболее распространенные цифровые машины специального назначения [34, 45]. В методике подготовки задач для решения на «классических» и стохастиче­ ских интеграторах можно найти много общих черт.

Как и в детерминистском случае, при выполнении стохастиче­ ского интегрирования истинная непрерывная функция ф (Х 0)

1 4 4

операции. Построение приближающего многочлена осущест­ вляется при помощи информации об исходной функции ф (Х 0) в виде конечного множества ее квантованных значений в узлах интерполяции. В результате замены функции ф (Х 0) другой функ­ цией $ (Х 0), над которой можно выполнить операции интегриро­ вания с помощью дискретных устройств, появляется погрешность многочленной аппроксимации, сопровождающаяся погрешностью квантования.

В цифровых стохастических интеграторах обычно применяют те же формулы численного интегрирования: по прямоугольникам, трапециям или параболам, в основе которых лежат соответст­ венно ступенчатая, линейная или квадратичная аппроксимация исходной функции [33].

Наиболее подходящей с точки зрения относительной простоты интегратора является формула прямоугольников. Но она имеет

исущественные недостатки. К ним относятся большая погреш­ ность и ярко выраженная обратная зависимость между точностью

искоростью вычислений.

При разработке цифровых интеграторов, предназначенных для работы в реальном масштабе времени, во многих случаях безразлично, с каким запасом по скорости вычислений воспроиз­ водится необходимая временная зависимость. Более существен­ ным является требование возможно большей экономии оборудо­ вания при заданной точности вычислений. Этим требованиям в значительной степени удовлетворяют стохастические интегра­ торы.

Существует большое количество типов таких интеграторов, различающихся либо по структурному принципу построения либо по принятому алгоритму выполнения операций, либо, на­ конец, по форме представления аргумента Или по количеству аргументов. Выделим наиболее распространенные и практически используемые в настоящее время разновидности стохастических интеграторов.

1. Интеграторы на основе структур комбинационного типа. Для таких структур характерно отсутствие элементов памяти. Сведения об исходных зависимостях, например, о подынтеграль­

то дискретную функцию <^7 (Х п) можно передать в форме совокуп­ ности стохастических последовательностей $ (Х г), $ (Х 2), . . .

. . ., ^7 (XN), заключенной в пучке из N линий.

Применив формулу численного интегрирования по прямо­ угольникам, составим сумму

схеме необходимо предусмотреть включение выходных накопите­ лей. Эти функции могут выполнять обычные двоичные счетчики.

Воспользовавшись формулой (1.26), определим ошибку пре­ образования е = 1,5Г-2 , где Т — целое число, представляющее время выборки.

Основными достоинствами интегрирующих структур комбина­ ционного типа является их простота и возможность легкой пере­ стройки на воспроизведение иной зависимости.

Увеличивая число логических элементов и изменяя топологию связей в структуре на рис. 63, можно реализовать преобразования более сложного вида, в том числе преобразования по нескольким аргументам. Однако устройства подобного типа требуют значи­ тельного объема П ЗУ для хранения исходных данных, а также большого количества управляющих случайных последователь­ ностей для преобразования этих данных в вероятностную форму.

146

2. Стохастические интеграторы на основе структуры с огра­ ниченной памятью. Решающие структуры с ограниченной памятью т. е. структуры, содержащие логические схемы и пассивные или триггерные линии задержки, изучались нами в предыдущей главе. Там мы отмечали, что подобные структуры можно использовать и как интегрирующие (см. стр. 143), допускающие приближенное вычисление определенных интегралов и нахождение решений диф­ ференциальных уравнений при помощи степенных рядов [12].

Пример. Вычислим значения интегрального синуса

Этот ряд сходится при всех значениях X. Следовательно, его можно интегрировать почленно

угп+1 (2га + 1) (2га+ 1) ! +

Подставляя в ряд вместо X конкретные значения переменной, будем получать интересующие нас значения функции.

Эти же вычисления легко выполняются при помощи функцио­ нальных преобразователей вероятность — вероятность. Причем, использование полууниверсальной структуры ФПВВ (рис. 61) позволяет путем несложной перестройки устройства реализовать интегральные преобразования широкого класса. Для этого доста­ точно произвести смену коэффициентов хм структуры.

Если аргумент X изменяется во времени, то на выходе ФПВВ будут также получаться временные функции. При этом с целью уменьшения динамических ошибок время интегрирования в вы­ ходном накопителе должно быть меньше периода наивысшей гармоники X (t).

Интегрирующие структуры с ограниченной памятью могут выполнять также вычисление кратных интегралов.

3. Интеграторы на основе двоичных счетчиков. Обычные двоич­ ные счетчики могут использоваться в режиме интегрирования сто­ хастических последовательностей. Если на вход такого /-разряд­ ного счетчика подаются единичные случайные приращения, то

в случае однолинейного представления информации величина интеграла за время Т будет равна рТ2~1, где р — вероятность появления символа 1 в исходной последовательности.

Схемы интеграторов, построенных на основе счетчиков, отли­ чаются, если применяется ОЛС или ДЛС кодирование. Функцио­ нальные возможности интеграторов могут быть существенно рас­ ширены при введении цепи обратной связи.

20.Интегрирование при однолинейном

идвухлинейном кодировании информации

Блок-схема стохастического интегратора, осуществляющего интегрирование входящих последовательностей р (х) при ДЛС и ОЛС кодирования информации, приведена на рис. 64.

Если машинная переменная X изменяется в интервале 0—1 и применяется ДЛС кодирующая схема, т. е. отсутствует необхо­ димость передачи отрицательных величин, то в схеме на рис. 64 можно применить обычный двоичный счетчик и исключить блок 1.

математическое ожидание содержимого счетчика. Причем для случая стационарного процесса на входе, когда р (хх) = р (х2) = . . .

. . .= р (хп) = р , получим

П

м (С ч > = 2 хф — пр -‘

£=1

Если ГСЧ вырабатывает I независимых случайных последова­

тельностей с вероятностями появления единицы в выходной

А

последовательности р (1) = р (0) = — , то

р (zi) = 2~1М < С ч ) 1= 2~1М (х) = 2~1пр,

где I — разрядность накопителя.

148

Приравняв п2 1 — 1, получим р {zt) = р (а;,), а количество разрядов I определим из равенства

I = log2— = 3,32 lg - L .

Обычная область изменения переменной X лежит в пределах от —1 до + 1 . В этом случае при ДЛС кодировании информации необходимо применить реверсивный счетчик. Входная последова­ тельность р (х) подается по двум линиям в виде р (х) = р (х)х

— р (х)2. Последовательность р (х)г поступает на прямой вход счетчика, а последовательность р (х)2 — на вычитающий вход. Ясно, что для случая стационарных процессов на входах матема­ тическое ожидание содержимого счетчика определится в виде математического ожидания

умножения (п.7), для определения содержимого счетчика и диспер­ сии результата можно воспользоваться соотношениями (2.30) — (2.33).

Эти положения сохраняют свою силу и при однолинейном симметричном кодировании информации. Однако, следует учиты­

сивного счетчика. Блок 1 при этом выполняет функции инвертиро­ вания: на суммирующий вход счетчика подается р (х), а 1 — р (х) подается на вычитающий вход.

1 "4“ X

Для положительных значений Х 0 имеем р (х) = — ^ “ и

Р(х) = -1~2—- и p(z) = l — X 0,

т. е. отрицательные значения в счетчике будут получены в обрат­ ном коде.

149