книги из ГПНТБ / Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины

где Х{ принимает значения 1 и 0 с постоянной вероятностью р (х{) и q fa ) . Очевидно, что тогда искомая вероятность p ki п есть не что иное какр (уп = к), к = 0, 1, 2, ... Тогда плотность вероятности случайной величины x-Lможет быть задана в виде

/ (хд = Р fa ) 8{xi — l) + q (Xi) б (х/).

Совместное распределение независимых случайных величин xlt образующих сумму (1.23), определяется плотностью вероятности

П

f ( xn х2, . . ., xn) = 2 ip ( x i) 8 (x i — l)-{-q(xi)8 (x l).

1= 1

Теперь можно определить математическое ожидание суммы (1.23)

Подставляя в это уравнение выражение для плотности вероят­ ности, получим

M (yn)='ZiP(xi).

1=1

Если р (ж^ = . . . = р (хп) = р(х), то математическое ожидание частоты события х может быть определено как

(1-24)

Аналогичным образом определяется дисперсия величины к

D ,k)= 'S iP (xl)q(xi).

г-i

Используя правило вынесения неслучайной величины за знак дисперсии [24], определим дисперсию величины к]п

в виде отношения числа импульсов в некоторой случайной ста­ ционарной тактовой последовательности к общему количеству нулей и единиц в этой последовательности. Как показывает ре­ зультат (1.24), это отношение должно приближаться к величине вероятности появления импульса в каждом машинном такте.

Для примера на рис. 7 показаны четыре реализации (1—4) последовательности Бернулли, представляющие в трактовке фор­ мулы (1.24) одну и ту же стохастическую переменную М (х) = = р (х) = 0,75. Для сравнения на том же рисунке изображена

последовательность (5) импульсов переполнения Д-регистра циф­

щего диода) сравнивается с уров­ нем Х 0 входной переменной. Разность этих сигналов усиливается дифференциальным усилителем У и ограничивается по амплитуде

Рис. 8. Преобразователь напряжение — вероятность: 1 —4 — характер

случайного процесса в различных точках схемы

апериодическая последовательность поступает на вход уста­ новки единицы триггера Т. Подавая на установочный вход нуля последовательность синхроимпульсов и дифференцируя выходной сигнал триггера, на выходе формирователя Ф2 получаем искомую случайную периодическую последовательность.

20

Особенностью СтВМ в сравнении с ЦДА и иными устройствами дискретного действия является то, что стохастические переменные не имеют определенной длины слова. Для определения точного значения переменной во всех рассмотренных схемах преобразова­ ния информации необходимо проводить большое количество испы­ таний.

При ограничении числа испытаний вместо вероятности получим относительную частоту события (рис. 7), являющуюся приближен­ ным значением исходной вероятности. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Из уравнения (1.25) видно, что при увеличении длины п после­ довательности флюктуации результата уменьшаются. При доста­ точно больших п величина к]п становится величиной распределен­ ной по закону, близкому к нормальному. Можно поставить во­ прос: с какой вероятностью р 0 можно утверждать, что выполняется неравенство

то для нахождения вероятности р (х) нужно продолжать испыта­ ния до тех пор, пока не будет выполнено соотношение рд р 0. Доверительную вероятность р я можно вычислить, пользуясь, интегральной теоремой Муавра — Лапласа [24]

В свою очередь эта вероятность близка к интегралу

dt = 2Ф (а0).

где

(1.25а)

По таблицам интеграла вероятностей по заданной величине р 0 находим аргумент а 0. В частности, если р 0 = 0,9973, то а 0 = 3. Подставив это значение а 0 в формулу (1.25) и произведя преобра­ зование, получим

9р (ж) q (х)

( 1. 26)

е2

21

Таким образом, необходимая длина последовательности им­ пульсов п обратно пропорциональна квадрату погрешности пре­ образования. При этом вероятность появления ошибки, больше заданной е равна 0,27% .

Следует, однако, отметить, что асимптотика формулы Муавра — Лапласа обеспечивает тем большую точность, чем дальше отстоят значения р (х) от концов вероятностного интервала (0,1). Для оценок малых вероятностей и вероятностей близких к единице следует пользоваться распределением Пуассона.

4. Вероятностная логика

Многие арифметические операции в стохастических вычисли­ тельных машинах могут быть выполнены с помощью логических схем. Этот факт основан на глубокой аналогии и связи, существу­ ющей между событийной теорией вероятностей и математической логикой [50]. Так, операция конъюнкции полностью совпадает с операцией умножения вероятностей наступления независимых

событий, а операция дизъюнкции

дами и т выходами. Пусть на i-м выходе реализуется функция zt = ф£ (хи х г, . . ., хп). Запишем ее в дизъюнктивной совершен­

в единицу. Так как любые попарные комбинации элементарных произведений в ДСНФ склеиваются, то все произведения, стоящие под знаком дизъюнкции в уравнении (1.27), образуют совокуп­ ность несовместных событий.

22

ставления в дизъюнктивной совершенной нормальной форме ее следует записать «по единицам». Если же функция задана в произ­ вольной аналитической форме, то ДСНФ получают, применяя операции развертывания, правила де Моргана и другие формулы булевой алгебры.

Рассмотрим примеры. Пусть сложное событие z заключается в одновременном наступлении двух событий х г и х 2. Тогда %—

чайных величин могут быть заданы в виде

/(*i) = Р (*i) S (х1— 1) -f q (хД б (хД,

/(*Д = Р (хг) 6 (х2 — 1) + q (х2) б (х2).

Считая величины х х и х 2 независимыми, для плотности вероят­ ности сложного события z получим / (z) — / (хД / (х2). В последнем случае математическое ожидание z определим, вычисляя интег­ рал [8]

00 00

Подставляя в это уравнение выражение для плотности вероят­ ности, получим

+ 9 (*Д 9 (жД S (хД б (x2) + p (хД q (х.Д 6 (xx — 1) б (x2) +

+ P fa ) 9 (*Д б (жД S (x2 — 1)] dx2.

Так как

[ 6(x — a)f(x)dx = f(a),

TO

CO

M (z) = J* [xxp (хД p (x2) 6 (xx — 1) + Xjj? (x2) q (хД б (хД1 dxx =

-00

= p W Р а ­

спределим дисперсию z

2$

Подставляя выражение для / (z) и раскрывая скобки, после пре­ образований получим [73]

00

D (z) = j {х\р (хг) р (ж2) б (х: — 1) — 2ххр (жх) р (ж2) б (жх — 1)М (z) + -00

+'Aq (xi) Р Ы S (ж2) — 2ххМ (z) q (хх) р (ж2) б fo) +

+М 2 (z) [р fo) р (х2) б (zj - 1 ) 1 ? (ж:) q (ж2) б fo) -f

-I-р (xj) g (ж2) б (жх — 1) - ; q (х,) р (х2) б (xj)]} dxx =

= Р (xi) Р (я?я) [1 —Р (xi) Р (хг)]-

Во втором примере пусть z заключается в появлении хотя бы одного из двух событий х г и х 2. Переключательная функция в этом -случае имеет вид z = жх V х 2- Для получения совершенной формы применим операцию развертывания

Z= лх (х2 v Х2) V Х2 (хх v хх) = ххх2 V ХХХ2 V ЖхЖ2.

Считая события жх и х 2 независимыми и применяя формулы (1.29) и (1.30), определим численные характеристики выходной случайной функции z:

П (z) = [р (zj) + р (ж2) — р (®j) р (ж2)] [1 —р (®х) —р (ага) + Р (®i) Р (^2)1-

то, применяя операцию развертывания (первый член умножаем

(1.33)

После чего, применяя правила (1.29) и (1.30), определим:

М (г) = 1 —р (ж,) р (ж8) + р (ж2) р (ж3) —р (ж2) + р (жх) р (ж2),

D(z) = M (z ) [l - M ( z )] .

Заметим теперь, что в общем случае, когда исследуются функции от независимых событий, уравнение (1.29) с учетом (1.28) может быть записано в следующей форме:

СО 0 0 fO

2k

В уравнении (1.34; каждому из элементарных произведений, стоящих под знаком суммы, соответствует лишь одно из слага­ емых pfe, заключенных в квадратные скобки, такое, что га-мерный интеграл от их совместного произведения отличен от нуля и равен

00 00 со

Доказательство этого утверждения станет очевидным, если совме­ стные произведения записать в виде

xf'xf* . . . Хпп8 f a —aj) 8 f a — а ’2) . . . 8 (xn—a^) x

Xpal f a ) p a* f a ) . . . p an fa ) .

При этом, если хотя бы однажды а*, ф а и’ , то в силу свойств дельта­ функции получим

СО

j Xhk8 f a — ah) dxk = 0 ,

чем справедливость (1.35) доказана.

Таким образом, для формального перехода от булева выраже­

В работе [47] показано, что для нахождения м. о. сложной булевой функции в общем нет необходимости приводить заданную ДНФ к ДСНФ, а достаточно привести ее лишь к ортогональной дизъюнктивной нормальной форме (ОДНФ), которая может быть

25

Т а б л и ц а 1

Вероятностные функции на выходе логических элементов

= 0 при х Ф /.

Приведем один из алгоритмов перехода от произвольной ДНФ к ОДНФ, построенный в [47]. Алгоритм выполняется при этом

втри этапа:

1)в ДНФ производятся все поглощения и склеивания;

2)все элементарные произведения ДНФ перенумеровываются; элементарным произведениям, содержащим меньшее количество

букв, присваиваются меньшие номера;

26

3) применяется следующая лемма:

если

то

ф(хг, х2, . . ., хп)= уг V У1У2 V У1УгУз V ... V У1У2 ■ ■ - Vi-

В частности, функция алгебры логики (ФАЛ) (1.32), как не трудно заметить, уже представлена в ОДНФ, и, следовательно

M(z) = p (хг) р (х 2) + [\—р ( х ^ р (х3) + [1 — р Сг2)] [1 —р fe)l =

= 1 —р (x j р (х3) + р (х2) р (х3) —р (х2) + р {хг) р (х2).

Таким образом, мы получили результат значительно быстрее чем при использовании формулы (1.33).

По этой методике могут быть определены вероятности истин­ ности для всех шестнадцати переключательных функций двух аргументов х г и х 2 (табл. 1). При обозначении вероятностей собы­ тий х 1 и х 2 принято р (жД = р х и р (а\2) = р 2,

В заключение отметим, что прием, рассмотренный здесь для определения математического ожидания процесса на выходе ком­ бинационных схем, в принципе может быть применен для анализа схем, работа которых описывается временными и рекуррентными булевыми функциями. Однако в этих случаях появляется стати­ стическая зависимость между исходными и промежуточными значениями переменных и поэтому при определении м. о. сигнала на выходе схемы необходимо учитывать наличие корреляции и автокорреляции внутри последовательностей.

5. Кодирование информации в СтВМ

Все истинные физические величины поступают на вход вычис­ лительного устройства в виде целых или дробных, положительных или отрицательных чисел, значительно отличающихся по абсо­ лютному значению. В СтВМ для представления переменных ис­ пользуется ограниченный вероятностный интервал (0,1). Кроме того, входные регистры этих машин имеют конечное число раз­ рядов и используют форму записи чисел с фиксированной запятой. Согласование величины переменной с разрядной сеткой регистров и машинным диапазоном чисел осуществляется с помощью мас­ штабов.

Масштабные коэффициенты, связывающие машинные перемен­ ные (X, Y, Z, . . .) с переменными заданной для решения задачи (Х 0, Y о, Z 0, . . .) выбирают из известного условия

2?

где Х тах—максимальное значение машинной переменной; X 0тах — максимальное значение истинной переменной; т-х — масштабный коэффициент.

Учитывая, что Х тах не может превосходить единицы, уравне­ ние выбора масштаба преобразуется к виду

Входной преобразователь «тактированных» СтВМ (рис. 6) может рассматриваться как кодирующая схема, если вероятно-

х

Рис. 11. Графики, поясняющие работу линейных кодирующих устройств

стная моделирующая функция совпадает с моделируемой. При этом преобразование происходит в соответствии с интегральным законом (рис. 11)

Действительное кодирование исходных чисел в основном опре­ деляется их диапазоном, методом передачи знака числа и степенью сложности реализации отдельных арифметических операций в ма­ шине. Кодирование может быть линейным и нелинейным (нели­ нейные кодирующие устройства изучаются в гл. III).

Рассмотрим наиболее употребительные схемы линейного коди­ рования информации.

Если истинная переменная заключена в пределах (—1, + 1 ), то, как следует из рис. 11, возможны два способа линейного пре­ образования переменных Х п. При одном из них для передачи лю­ бого значения Х 0 в СтВМ используются две линии: по одной передаются отрицательные значения X — —Х 0, по другой — положительные X = Х 0. Такую кодирующую схему, следуя [82], будем называть симметричной двухлинейной (ДЛС).

В устройстве, реализующем ДЛС кодирование (рис. 12), в за­ висимости от знака истинной переменной Зн Х 0 выбирается верх­

28