книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
§ 1.3. ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ |
|
|
|
|
|
|
91 |
||||||||
д л я |
в се х |
( fAo, |
. . . . |
Ц п ) е С . |
Т а к |
к а к |
С |
с о д е р ж и т |
|
в н у т |
||||||||||||
р е н н о сть |
н е о т р и ц а т е л ь н о г о |
о р т а н т а , |
в се |
|
Яi н е о т р и ц а |
|||||||||||||||||
тельны . |
Т о г д а |
из |
(4) |
при рг = |
/ г(х), |
1 < л < /г , р0 4 (Ы А') ~ |
||||||||||||||||
— /о (х*)) с л е д у е т , ч то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
% К Ь ( х ) > Ш х . ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
для |
всех |
|
х е |
|
А. |
Если |
при |
некотором |
|
i ф 0 |
Мл:*) |
= |
||||||||||
= — а < |
0, то |
при |
всяком |
е > |
0 |
множество |
С |
содер |
||||||||||||||
жит |
|
Т О Ч К У |
|
ц„ = |
. . . = |
Ц«-1 = |
Цг+1 = |
. . . = р„ |
= |
8, |
||||||||||||
Pi = |
— а. |
Подставляя |
эти |
числа |
в |
(4) |
|
и |
устремляя |
е |
||||||||||||
к нулю, получаем —Я,а ^ |
0, откуда Я,- |
|
0. |
Поэтому |
||||||||||||||||||
Xi = |
0. |
Итак, |
Яг = |
0, |
если М **) <С 0, и, |
значит, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Я/ /,• (л;.) = |
0 |
для |
всех |
г = |
1, . . . . |
п. |
|
|
|
|
|||||||||
Но в этом случае из |
(5) |
следует, |
что при всех i e |
4 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1=0 |
|
|
|
|
1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соотношения (12), (13) из § |
1.1 доказаны. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Предположим теперь, что выполнено условие Слей |
||||||||||||||||||||||
тера, т. е. |
существует х е |
А |
такой, |
что |
fi(x)<i |
0 |
при |
|||||||||||||||
г = |
1, . . . , |
п. |
|
Если |
|
при |
этом |
Яо — 0, |
то, поскольку |
|||||||||||||
среди чисел Яь . . . , |
Яп есть |
положительные, 2 |
ЯгМдг)< |
|||||||||||||||||||
< 0 = 2 |
Яг/г (a: J |
в |
противоречии |
с |
|
доказанным |
утвер |
|||||||||||||||
ждением. |
Поэтому Яо ф 0. |
|
|
|
л:* е |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Наконец, |
если |
для |
данных |
|
A , |
Xi |
^ |
0, . . . |
||||||||||||||
. . . , Я „ ^ 0 |
выполнены |
соотношения |
(10), (12), |
(13) |
||||||||||||||||||
из § |
1.1 с |
|
Яо = |
1, |
то |
для |
всякого |
|
х ^ А |
такого, |
что |
|||||||||||
М * Х |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/о (х.) = |
fo (X.) + |
J j Kfi (X.) < |
/о (X) + |
2 |
h h |
(х) < /о (х), |
|
|||||||||||||||
т. е. дг*, действительно, решение задачи. Теорема доказана.
Доказательство теоремы 2' из § 1.1, содержащей
условия экстремума в |
субдифференциальной форме, |
||
есть простое следствие |
из |
теоремы |
Куна — Таккера и |
Моро — Рокафеллара. |
В |
самом |
деле, утверждение |
92 |
ГЛ. 1. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА |
теоремы |
Куна — Танкера означает, что «удлиненная» |
функция Лагранжа
3?iix > ^о> •••, ^п) = ^ Я,/(- (х) -f- б (х |А) 1=0
достигает минимума по х в точке х*. Согласно предло жению 1 отсюда следует включение
O e ^ f x , , Я0, . . Я„),
откуда в силу теоремы Моро — Рокафеллара следует требуемый результат:
О е Я 0dfQ(х.) + . . . + К dfn(х.) + N (хJ А).
§ 1.4. Гладко-выпуклые задачи. Доказательство экстремального принципа
Этот параграф целиком посвящен доказательству экстремального принципа в гладко-выпуклых задачах (теорема 3 из § 1.1). Все доказательство разбито на не сколько этапов. Доказательство первой части теоремы связано с исследованием трех частных случаев, двух вырожденных и одного невырожденного, которые мы последовательно рассмотрим. На последнем этапе бу дет доказано заключительное утверждение теоремы, со держащее условия, гарантирующие неравенство
Яо Ф 0.
Будем использовать следующие обозначения:
Z.q= Im Fx (х„ и„) с= Y
— множество значений линейного оператора Fx(x^,u)f),
B = L0 + F(xt, U)czY
— совокупность тех у е У, для каждого из которых най дутся х е Х и u ^ U такие, что у = Рх {х*, и*)х
L+ f ( x * , и),
L = Пп В — линейная оболочка множества В,
По условию подпространство L0 имеет конечную ко размерность, так что L0 и L — замкнутые подпро странства.
§ 1.4. ГЛАДКО-ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ |
93 |
1.4.1. Первый вырожденный случай. Предположим,
что
1 Ф У .
Тогда в силу второго следствия из теоремы Хана — Ба наха существует ненулевой функционал у* е У*, при надлежащий аннулятору подпространства L. Имеем
ОЛ Fx (xt, u,)x + F{x„ и)) = 0 |
(1) |
для всех х ^ X, и ^ U. В частности, при u — ut отсюда следует (так как F(xt, и„) — 0), что (у*, Fx (xt, «,)* ) = О
для всех х е X, т. е.
|
|
F'x (x„ |
и,)у* = |
0. |
|
|
|
(2) |
||
С другой стороны, при х — 0 |
для всех |
и е |
U |
|
|
|||||
(if, |
F (*„ |
и)) = |
(у\ |
F (*., и,)) = |
0. |
|
(3) |
|||
Полагая Ао = |
. .. = |
Кп = |
0, получаем из (2) и (3) со |
|||||||
отношения (18) — (20) из § 1.1. Итак, |
в данном случае |
|||||||||
утверждение теоремы 3 из § 1.1 верно. |
Пусть L = |
Y. |
||||||||
1.4.2. Второй вырожденный случай. |
||||||||||
Покажем, что в этом случае |
int В ф 0 . В самом |
деле, |
||||||||
поскольку codim L0 < оо, |
фактор-пространство |
Y/La |
||||||||
конечномерно. |
Обозначим |
через |
я: |
У —» Y/L0 канониче |
||||||
ское отображение в |
Y/L0, |
т. е., |
в |
частности, ny^ = |
яу2 |
|||||
тогда и только тогда, когда yi — у2е L0. Поскольку ли нейная оболочка множества В совпадает с У, линейная оболочка множества я {В) совпадает с Y/Lq. Множество В, очевидно, выпукло (как сумма подпространства и множества, выпуклого в силу условия б) теоремы). По
этому |
и множество я (В) выпукло. В § 3.5 |
(теорема 2 |
из § |
3.5) мы покажем, что в конечномерном |
простран |
стве выпуклое множество, аффинная оболочка которого совпадает со всем пространством, имеет непустую внут
ренность. |
другой стороны, я_1(я (В )) = |
|
Итак, int я (В) ф 0 , с |
||
= В. |
Поскольку я — непрерывное отображение, это |
|
значит, |
что int В ф 0 . |
что |
Предположим теперь, |
||
|
0 |
int В. |
94 |
ГЛ. 1. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА |
Тогда по теореме отделимости существует ненулевой функционал у* е У*, разделяющий В и 0, т. е. та кой, что
(у', У) > о
для всех у е В. Это значит, |
что для всех i e l , |
и е U |
|||
( У*, |
Fx (х.> и.) х + F (*„, и)) > |
0. |
(4) |
||
Полагая в этом неравенстве и — и*, получаем |
|
||||
|
|
(У\ Fx {xt, и .)х )> 0 |
|
|
|
для всех г б ! |
Следовательно, Fx (х., |
и.) у* = |
0. Если |
||
же взять х = |
0, |
то из (4) |
следует, что |
неравенство |
|
(у\ |
F(xt, u ) ) > 0 |
= (y*, F(x„ |
u,)> |
|
|
выполняется для всех U. Поэтому в данном случае, как и в предыдущем, ко = ... = кп = 0, у* — искомые множители Лагранжа.
1.4.3. Невырожденный случай. Предположим, нако нец, что
|
L = Y, 0 е |
int В. |
Пусть для определенности f |(х„ и[ ) = . . . = f k (х,, а„)=0, |
||
/* +1 (*., и.) < 0, |
(х„ и.) < |
0. Рассмотрим в Rft+1 X У |
множество С, образованное теми векторами (р0т •••! Рь у)е
е Rft+1 X У . |
Для каждого из которых найдутся х е X, |
U такие, |
что |
Рг ^ ( f i x (-*•*>и *)> х ) “Ь f i (■*•«>w) |
f i (•*»•w*)> |
* 0>•••> |
|
y |
— Fx (x„, u.) a: - f E (x„ u) — F(x„ |
u,). |
|
Для доказательства теоремы 3 из § 1.1 достаточно |
|||
проверить, |
что |
|
|
|
int С Ф 0 , |
0 ф С . |
(5) |
В самом деле, поскольку множество С, очевидно, вы пукло, при выполнении условия (5) найдется ненулевой функционал (к0, . . . , Я*, у*) «= Rft+1 X У*, отделяющий С от нуля, т. е. такой, что
2 |
^iPi + { у*г y ) i ^ Q |
<=о |
|
|
|
|
§ 1.4. ГЛАДКО-ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ |
95 |
||||
для всех (ц0> |
•••» |
Иь |
У )^ С . |
Последнее |
неравенство |
|||
означает, что |
при |
|
X, и е |
U |
|
|||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
22 h ((/,•* (*., |
н.), х) + |
fi (х„ и) - |
f{ (x„ uj) + |
|||||
i—0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
{y\ Fx(x„ uJx + |
F(xt, u)— F(xt, « . ) ) > 0 |
||||
или (если положить Kk+X = . . . |
= А„ = 0), — что |
|||||||
X |
^*1 А’О» |
•••9 ^ПГ У )> |
“F" |
|
|
|||
+ & (*., |
u, A0:I» |
•••» |
|
|
|
|
|
|
Полагая |
в |
этом |
неравенстве |
последовательно и = и, |
||||
и х = 0, |
снова |
приходим к соотношениям, |
которые тре |
|||||
буется доказать. (При этом условия дополняющей нежесткости, очевидно, выполняются, так как Л/ = 0 при
fi (х„ и,) < 0.)
Таким образом, осталось проверить соотношения (5). Коль скоро O e i nt fi , то, очевидно, O e in t n ( f i ) , где, как и раньше, л: Y-+Y/L0— каноническое отображение. Поскольку пространство Y/L0 конечномерно, можно ука зать конечное число точек гх, . .. , гт из лВ, линейная
оболочка которых |
совпадает |
с |
Y/L0 и |
таких, |
что |
||
Z\ -{- ... -f- zm — 0. |
(Например, |
если |
codimL0 = |
r, |
то, |
||
отождествляя Y/L0 |
с Rr, можно |
в |
качестве |
zx, |
.. ., |
zm |
|
взять вершины достаточно малого r-мерного куба, центр
которого |
совпадает |
с началом координат.) По опре |
|||
делению |
найдутся |
такие |
«,• £ (/, |
; == 1.........т, что |
|
л (F(x„ Uj)) = |
Zj, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
Положим (U(0, 1) = |
{x e X| ||x||<; 1}): |
||||
|
c0 = |
max |
(fi (x„ |
«/) + !! ftx (x„ и.) ||); |
|
|
|
1<l<m |
|
|
|
|
|
0<i<fc |
|
|
|
U0 = [и e |
V |3 a; > 0 , 1 |
2 |
<*/= 1: ^ (*„ u) = |
||
m |
|
|
|
m |
|
B0= Fx (x„ mJ U (0,1) + F (x„ U0).
96 |
ГЛ. 1. |
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА |
|
||||||||
Множество |
В 0 |
выпукло |
в |
силу |
условия б) теоремы и |
||||||
int Во Ф 0 |
(последнее |
следует |
из п. 1.4.2, поскольку |
||||||||
множество |
я (б 0) |
содержит |
точки |
|
гь ... , zm, |
а |
|||||
Fx(x*t и^) U (0, |
1) открыто в Ц). |
|
|
|
|
||||||
Пусть |
С0 = |
BoX(Rc„)ft+1. |
где |
RCo — полупрямая |
|||||||
{р. е |
R|p > |
с0}, |
т. е. произведение множества В0 и к + |
1 |
|||||||
экземпляров |
полупрямой |
{р е |
R |р > |
с0}. Ясно, что |
|||||||
int С0 ф 0 |
и Со с= С, |
значит, int С ф 0 . |
Первое соотно |
||||||||
шение в (5) доказано.
Предположим теперь, что второе соотношение в (5)
неверно, т. |
е. существуют х0е X, и0е |
U такие, |
что |
|||
Fx {х„ и,) Xo + |
F (х„ |
щ) — F (х„ |
и,) = |
0, |
(7) |
|
(fix(xt, |
«*)> x0) + |
f,{xt, |
и0) — fi (х„ |
и,) < |
— 6<0, |
|
|
i = 0 , . . . , k . |
|
|
( 8 ) |
||
Зафиксируем некоторое е > 0 и рассмотрим следующее отображение пространства X X Rm+1 в У:
(х, а0, |
ат) : |
1 - a o |
- e i |
txJF (xt -f x, и,) + |
|
|
|
/= 1 |
/ |
|
|
|
|
m |
|
+ |
a0F (x. + |
x, щ) + e 2 ajF (xt + x, ut). |
|
Отображение ST, очевидно, дифференцируемо по Фреше на множестве {V — х *)Х Rm+\ где V — окрестность точ ки л:*, участвующая в формулировке теоремы, производ ная 2F' непрерывна в начале координат и
SF' (0, .. •, 0) (х, |
<Xj, . . . , |
от) — Fх (х„, |
и,) х -(- |
||
+ а0 (F (xt, Uo)~F (xt, и,)) + |
т |
|
|
||
е 2 |
at {F(xt, Uj)—F (дсф, и,)). (9) |
||||
Очевидно, &~(0, |
. .. , 0) |
— /Дх*. «*) = |
0. Множество зна |
||
чений оператора |
вГ'ф, |
.... |
0) |
содержит В0 и, следова |
|
тельно, совпадает с У. Далее, в силу (6) существует такой вектор х' е X, что
т
Fx {х„ и.) л:' + 2 F (*„ Uj) = 0. |
(Ю ) |
/=i |
|
|
|
§ 1.4. |
ГЛАДКО-ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ |
|
|
|
|
97 |
||||||
Из (7), (9), |
(10) |
следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
^ '(0 , . . . . |
0)(х0 + вх', |
1.........1) = |
0, |
|
|
|
|||||||
т. е. вектор |
(х0 + |
ех', |
1, |
1) |
принадлежит |
ядру |
опе |
|||||||
ратора |
(0, |
|
0). По теореме Люстерника |
найдутся |
||||||||||
такие отображения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
t |
►X (t ) , |
t |
> <Xq (t), • |
. . , t |
> t t m (t ) |
|
|
|
|||||
некоторого отрезка |
|
[— e0, e0] (где ea, вообще говоря, |
за |
|||||||||||
висит от |
е) |
в X |
и |
R |
соответственно, |
что |
при t-> 0 |
|||||||
^ IIх (t) II + |
2 |
I « / (0 I j -> 0 |
и (при всех |
t) |
|
(t (х0 + |
ex' + |
|||||||
+ х (*)), t (Г + а0 (t)).........t ( l + a m(/))) = |
0. |
|
е > |
0. |
Выбе |
|||||||||
Полученный результат верен для всех |
||||||||||||||
рем теперь е так, |
|
чтобы |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( f i x ( Х „ |
U t ) , |
X ' ) |
+ 2 f t (х„ U j ) |
< 6/2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
i = i |
|
|
|
|
|
|
|
при всех |
г = 0, ..., |
k , |
и рассмотрим |
функции |
|
|
|
|||||||
g i ( х , а0, . . . , |
ат ) = |
(1 — а0 — е 2 |
а /) ft (х . + |
лг, «,) |
+ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
ctj/f (х , |
+ х , «о) + е |
2 |
|
(х . + |
х , |
и,). |
||||
Тогда |
|
. |
|
f Ы*.> |
«.). |
если |
/==0> |
|
|
|
||||
gi(0, |
|
|
|
|
|
|||||||||
.... 0) |
|
| |
о^ |
если |
*=1, |
|
k , |
|
||||||
функции gi дифференцируемы в нуле и |
|
|
|
|
|
|||||||||
<£И°.........°). (х> ао> |
■■■> |
= |
|
«*)’ |
*> + |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
+ a0(fi(xt, u0)—fi{xt, tO) + ®2 a/(M*.,«/)— |
|
|
|
(11) |
||||||||||
Отсюда и из (8) в |
силу выбора е следует, |
что |
|
|
||||||||||
< £ (0, |
. . . . |
0), |
(х0 + |
ех', 1, . . . . |
1)> < |
— 6/2 |
|
|
||||||
4 А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров
68 ГЛ. 1. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА 1
при |
всех |
i — 0, |
. . . , k, |
т. |
е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
gi (t (*о + |
ex' + |
x (/)), |
t (1 + |
«о (0)> •••i |
t (1 + |
a m (t))) = |
|||||||||||||
= g t (0, |
.... 0) + |
1<g' (0, |
|
|
0), (J C0 + |
ex', |
1, .... |
1)> + |
о (/)< |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
< g i ( 0 , |
|
|
0)-/6/2+ o(0. |
(12) |
||||||||
Положим x(t) = |
x„ + |
1(x0 + |
ex' + x {t)). |
Тогда, очевидно, |
|||||||||||||||
x (/)->■*, |
при / —>0. |
Далее, при достаточно |
малых t |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
1 + |
бо (0 + 8 2 |
(1 + йу (0) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
+ а 0(0 > 0 , |
|
. . . , |
1 + а ш(0 > 0 . |
|
|
||||||||||
Согласно условию б) теоремы |
3 |
из |
§ 1 .1 |
при таких t |
|||||||||||||||
можно указать |
элемент и (t) е |
U |
такой, |
чтобы |
выпол |
||||||||||||||
нялись |
соотношения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
F(x(t), |
и (0) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= f 1 - / (1 + |
5а (/)) - |
st |
2 |
(1 + |
3/ (0) 1F |
(* (0, |
«Л + |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-f |
t (1 + |
а0 (0) F (х (0, «о) + |
|
2 |
(1 + |
а, (/)) F (х (/), |
и,) = |
||||||||||||
— |
(t (х0 + ех' + |
х (/)), |
t (1 + |
а0 (/))> •••>^ (1 + |
|
(/))) = 0, |
|||||||||||||
/, (JC (/), и (0 Х ^ 1 - *(1 |
+ йо(*))- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
m |
|
|
|
|
\ |
|
|
|
и.) + |
t (1 + |
а0 (0) /,• (х (0, |
«о) + |
||||||
— е/ S |
(1 + а; (f))j h (х (0, |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
е/ 2 |
0 |
+ |
5/(0) /; (* (0. |
И/) = |
gi (* (*о + ех' + х (0), |
||||||||||||
|
|
|
/= | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ (1 + «о(0)> |
•••> t (1 4" ат(0))> i = |
0. |
•••. |
|
|
|||||||||||||
Из |
них и (10) — (12) следует, |
что |
при |
малых / > 0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F(x(t), |
и(/)) = |
0, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
fo(x (0, |
u(0) < |
Ы*.> «.). |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
ft (х (0. |
и (/)) < 0 , |
|
/ = |
1, |
. . . , k. |
|
|
|
||||||||
Наконец, при i > |
k + |
1, |
очевидно, |
lim fj(x(/), |
|
и ( 0 Х |
|||||||||||||
< ;/,(х ,, |
н4) < |
0. |
Таким |
|
образом, |
если |
/ |
достаточно |
|||||||||||
§ 1.4. ГЛАДКО-ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ |
99 |
мало, |
то (x ( i ) , u ( t )) — допустимый элемент нашей за |
||
дачи, |
f 0 ( x ( t ) , u ( t ) X |
«*) |
и x ( t ) - > х* при ^->0. Но |
это значит, что точка |
(х*, ц*) |
не может быть точкой ло |
|
кального минимума, вопреки условию теоремы. Поэтому |
|||
предположение о том, что Ое С, было ошибочным и, значит, соотношения (5) верны. Первая часть теоремы 3 из § 1.1 доказана.
1.4.4. |
Регулярный случай. Нам осталось доказать |
|||||||||
вторую часть теоремы 3 из § 1.1. Для этого достаточно |
||||||||||
проверить, |
что |
при выполнении |
|
условия |
г) теоремы |
|||||
(предполагающего, что образ множества |
X 'X U |
при |
||||||||
отображении |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(х, u )-+ F x (xt, ut)x + |
|
F{xt, и) |
|
|
||||
содержит |
окрестность |
нуля в |
Y |
и |
что существуют |
|||||
Хд £= X, |
Ug |
U |
такие, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
Fx {xt, u,)xQ+ |
F(xt, щ) = |
0, |
|
(13) |
||||
(fix(x„ |
ut), |
x0) + fi (xt, |
щ) < 0 |
при |
i = |
1.........k, |
(14) |
|||
т. e. при тех i, |
при которых |
f t ( x t , |
u t) = |
0), |
соотношения |
|||||
F x (x„ и ,) |
У ’ + |
|
o = { y \ F (.x t, |
«,)) + |
H |
|
i—1 |
|
= |
min |
{ i f , |
|
u*=u |
|
i=\ h f i x (*,, |
«.) = 0, |
(15) |
h h (*,. u j = |
|
|
F { x t> « ))+ |
k |
(16) |
H K f i ( x „ u) |
||
|
i=1 |
|
не могут выполняться |
ни при каких Aj ^ 0, . . . , Xk^ 0, |
||||
у ’ е У \ |
хотя |
бы один |
из которых отличен от нуля. |
||
В самом деле, если хотя бы одно из чисел Аг |
|||||
отлично |
от |
нуля, то из (14) следует |
неравенство |
||
|
k |
|
|
и,), х й) + fi ( х „ |
щ)] < 0, |
|
S |
и |
Кfix ( х „ |
||
|
1=1 |
|
|
|
|
откуда в силу |
(15) |
к |
|
||
|
|
|
|
|
|
- ( у \ F x (х„ и,) х 0) + 2 h f i (*.. «о) < 0 i=i
4*
100 |
ГЛ. I. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА' |
|
|
|||||
и, |
значит, согласно |
(13) |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(у’ > F {x„ Uo)> + |
£=1 hfi (*.» |
Uo) < |
0 |
|
|
||
в |
противоречии с |
(16). |
Поэтому |
Xi = |
.. . = Kk = |
0. |
||
Если при этом у* Ф 0, то |
в каждой |
окрестности |
нуля |
|||||
пространства У найдется точка у |
такая, что (у*, у) |
< |
0. |
|||||
Поэтому мы можем выбрать х е |
X и и е |
U так, чтобы |
||||||
(У% Fx (*., u,)x + F (xt, и)) < 0.
Но поскольку все числа U равны нулю, из (15) сле дует, что {y*,Fx(x „ u t)x) = 0 и, значит, (у*, F{xt, и) ) < < 0 в противоречии с (16). Этим завершается дока зательство экстремального принципа для гладко-вы пуклых задач.
Комментарий к гл. 1. К § 1.2. Правило множителей Лагранжа для бесконечномерных задач было доказано Люстерником [1] и Голдстайном [1]. Задачи с неравенствами рассматривал Джон [1].
К § 1.3. Выпуклое программирование ведет начало с работы Куна — Таккера [1]. Условие Слейтера появилось в работе Слей тера [1]. Различные обобщения содержатся в работах Фана, Гликсберга и Гоффмана [1], Удзавы, Гурвица (см. Эрроу, Гурвиц, Удзава [1]), Гольштейна [1], [2], [4], Рубинштейна [1], [2] и др.
К § 1.4. После того как был сформулирован принцип максимума Понтрягина, появились исследования, где разрабатывались общие методы получения необходимых условий экстремума, и работы, где необходимые условия выводятся для более широких классов задач. Кроме исследований на эти темы, упомянутых в комментарии ко вве дению, укажем на работы Гамкрелидзе [5], [6], [8], Пшеничного [3], Халкина [6]. Задачи, подобные тем, которые мы назвали гладко-вы пуклыми, рассматривались Пшеничным [3]. Теорема 3 обобщает результат Пшеничного и Ненахова [1].