книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]
.pdf§ 4.4. ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ |
221 |
Функцию f, определенную на X, мы будем называть |
|
регулярно локально выпуклой з точке х, если |
она ло- |
кально выпукла и равномерно дифференцируема по всем направлениям в этой точке. Таким образом, про изводная по направлениям в точке х функции, регуляр но локально выпуклой в этой точке, — непрерывная вы пуклая функция.
Мы покажем сейчас, что класс регулярно локально выпуклых функций достаточно широк. Он включает, в частности, непрерывные выпуклые функции и функции, дифференцируемые по Фреше.
П р е д л о ж е н и е 1. Выпуклая функция f регулярно локально выпукла в точке Хо тогда и только тогда, ког да она непрерывна в этой точке.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если функция f регулярно локально выпукла в точке х0, то, полагая в определении равномерной дифференцируемости х = 0, получаем, что
/непрерывна в точке х0. Пусть, наоборот, f непрерывна
вточке Хо. Поскольку f — выпуклая функция, нам до статочно проверить, что она равномерно дифференци руема по любому направлению. Другими словами, нам
нужно проверить, что каков бы |
ни был |
вектор х ^ X, |
||||
для всякого |
е > |
О найдутся |
окрестность |
U а |
X точки х |
|
и число Ко > |
0 такие, что |
|
|
|
|
|
|
f По + Кг) — f (*„) |
— f' (*0; х) |
< г |
|
||
|
|
К |
|
|
|
|
для всех z ^ U |
и всех 0 < |
К< |
Ко. Так |
как |
функция f |
|
непрерывна в точке х0, то она непрерывна и в некоторой ее окрестности U0 (теорема 1, § 3.2). Выберем число Ял
так, |
чтобы, во-первых, х0+ h>Xс Uo и, во-вторых, |
||
Так |
как |
%0 + Я0х е |
П0, функция f непрерывна в точке |
*о + |
ЯоХ. |
Поэтому |
можно указать такую окрестность U |
точки х, что
f Up + K0z) — f(xо + Я0х)
Ко
для всех z g= U. Без ограничения общности можно счи тать, что множество U симметрично относительно точки
222 |
ГЛ, 4. ЛОКАЛЬНЫЙ ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ |
х, т. е. что вместе с каждой точкой z оно содержит и точку у — 2х — z, так что х = '/2(г/ -j- z), иначе можно вместо U взять (U — х) Г) (— U + х) + х. Если z е £/, О < Я < Яо, то
|
|
f U p |
+ |
Я г f) ( х— 0 )^ |
} (хо + |
Я 0 г ) f (—ха) |
|
|||
|
|
|
|
Я |
|
|
^ |
|
|
Я э |
(см. формулу (1) из § 4.1). Поэтому при z е |
£/, 0 < |
Я < Я0 |
||||||||
1 Й о ± я ^ 1 Ы _ Г ( |
v )< |
|
|
|
|
|||||
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
H |
xo + |
h z ) - f ( x 0) _ f ' ( Xo. Х) |
< |
|
|||
|
|
|
|
|
Л0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< .И*о + Яо*)-Н*о) - / ' (ЛГ0; х) + у < 8. |
||||||
Далее, |
если |
z ^ U , |
то у — 2х — z е |
£/ и |
|
|
||||
|
|
2/ (х0+ Ях) ^ f (х0 |
Яг) + |
f (xq + |
Xy), |
|
||||
откуда |
(так как Xf' (x0, x) ^ |
f (x0 + Ях) — / (x0)) |
|
|||||||
! ' |
(Xq. x) |
_ f |
|
+ |
Я fг ()j c 0—) |
^ f(x 0 + |
Xx) — f(x0+ Xz) |
^ |
||
^ |
f ( x 0 |
+Xy) — f(xо + |
Я х^ |
) |
/ ( x Xy)0 + |
— f ( x 0 ) |
|
|
||
^ |
|
|
|
|
Я |
Я |
— }' (x0; x) < e. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, |
при z e |
[/ |
и 0 < Я < Я 0 |
|
|
|||||
|
|
|
f ( х 0 + |
Я г ) — |
f ( X p ) |
|
e. |
|
||
|
|
|
|
|
Я |
|
V (*0; *) < |
|
||
Предложение доказано. |
|
|
У — банаховы |
про |
||||||
|
П р е д л о ж е н и е 2. Пусть X u |
|||||||||
странства и отображение G: X -> У дифференцируемо по |
||||||||||
Фреше в точке х. Тогда |
оно равномерно |
дифференци |
||||||||
руемо по каждому направлению в этой точке. В част ности, если f — функция, определенная на банаховом пространстве X и дифференцируемая по Фреше в точке х, то она регулярно локально выпукла в этой точке.
Доказательство следует сразу из определений.
4.4.2. Основные теоремы о локально выпуклых функциях. Мы покажем сейчас, что класс локально вы пуклых функций устойчив относительно тех же локаль ных операций, что и класс выпуклых функций. Поэтому
§ 4.4. ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ |
223 |
во всех теоремах о субдифференциалах непрерывные выпуклые функции можно заменять на регулярно ло кально выпуклые.
Т е о р е м а |
1. Пусть функции Д и /г |
регулярно ло |
||
кально выпуклы в точке х. |
Тогда и их сумма fi + f% ре |
|||
гулярно локально выпукла в этой точке, |
|
|||
(fi + |
/У '(*; |
= |
•) + № |
•) |
и, следовательно,
<3 (/i + fz) (х) = dfi (х) + df2(х).
Доказательство теоремы сразу следует из опреде лений и из теоремы 1 § 4.2.
Т е о р е м а 2. Пусть отображение G: X - + Y равно мерно дифференцируемо по направлению х\ в точке х0.
Пусть, далее, |
g |
— функция |
на |
У, |
равномерно |
диффе |
ренцируемая |
по |
направлению |
гц = |
G'(xo; xi) |
в точке |
|
i/о = G(x0). Положим |
|
|
|
|
||
|
|
f(x) = |
g(G{x)). |
|
|
|
Тогда функция f равномерно дифференцируема по на правлению х( в точке х0 и
/ ' (х0: Х\) = ё'(Уо, Уi) = g'(G (x0), G'(x0; х,)).
В частности, если в точке х0 отображение G дифферен цируемо по Фреше, а функция g регулярно локально выпукла в точке уо = G(xо), то функция f регулярно ло кально выпукла в точке Хо,
П х 0; xI) = g '(y0; G' (х0) х) |
|
<3/ (х0) = |
G " (х0) dg (G (х0)). |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Вторая часть теоремы, оче |
видно, является следствием первой и теоремы 2 из § 4.2. Пусть выполнены условия первой части теоремы. Тогда
для заданного е > О |
можно |
указать такие окрестность |
V с- Y точки г/i и число fa > |
0, что |
|
g (уо + М |
— g Щ |
- ё' (у0; у j) < е, |
л |
|
|
224 ГЛ. 4. л о к а л ь н ы й в ы п у к л ы й а н а л и з
если у е V, 0 < Я < А|. Далее, в силу определения рав номерной дифференцируемости, существует такая ок
рестность U а |
X точки Xi и такое |
число |
Яг > |
0, что |
|
G {х0+ Хх) — G (х0) |
у |
|
|
|
X |
S V’ |
|
|
Л И Ш Ь ТОЛЬКО |
X £= U, 0 < к < Я2. |
Тогда |
при |
х е £ / н |
О < Я < Я0 = min {Я[, Я2)
f (х0+ Хх) — f (*0) |
|
|
|
|
||
X |
|
S' (УО, У\ |
|
|
|
|
|
|
ff (G (xQ+ Хх)) |
■RЫ |
— S' (Уо, |
Si) |
|
|
|
X |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
„Л . |
I |
G (х0 + Хх) — G (х0) |
— g (Уо) |
|
|
|
g [ i J o |
+ |
X---------------£ |
|
|
Уд < е, |
|
|
|
. X |
|
-------------- S' (Уо-, |
||
|
|
|
|
|
|
|
поскольку |
|
X (G (х0+ Хх) — G (х0)) <= V в |
силу |
выбора |
||
Ко и U. Отсюда следуют и равномерная дифференцируе мость функции f, и утверждение теоремы относительно равенства для производных по направлениям. Теорема
доказана. |
3. Пусть S — компактное топологическое |
Т е о р е м а |
|
пространство |
и f(s,x) — функция на Sy^X, непрерыв |
ная по s для всех х из некоторой окрестности точки Хо, а при каждом s g S равномерно дифференцируемая по всем направлениям в точке х0. Предположим, более того, что для всяких г е А ' и е > 0 можно указать такие окре
стность U точки z и число Яо > |
0, |
что неравенство |
|
|||
f (s. хр 4-Ху) — f (s. x0) |
f's ( Д г 2) |
< 8 |
(2) |
|||
|
X |
|
||||
выполняется при всех |
s e S, |
у e |
U, 0 < |
X < Яо |
(где, |
|
как и раньше, |
fs(x)— функция |
на X, определенная ра |
||||
венством fs(x) = |
f(s, х). |
Положим |
|
|
|
|
f (х) = max f (s, х),
s e S
So — [s<==S\f(s, x0) = f(x0)}.
Тогда функция f равномерно дифференцируема no каж дому направлению в точке х0 и
f'{xQ; z) = maxf's(xQ-, z).
s е So
§ 4.4. ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ |
225 |
Если же, в дополнение к сформулированным усло виям, функции fs{ •) локально выпуклы в точке х0 (и, значит, регулярно локально выпуклы), то и f регулярно локально выпукла и
Д о к а з а т е л ь с т в о . По условию, если г е ! фик сировано, то f's (xQ\ 2) есть предел равномерно сходя
щейся последовательности непрерывных на S функций
(s) = п (f (s, х0 + ~ 2 ) — / (s, х0) ) .
Поэтому |
функция |
s |
(л-ф z) |
непрерывна |
при вся |
ком г е ! |
Отсюда |
следует, в |
частности, |
что вторая |
|
часть теоремы вытекает из первой и из теоремы 3 § 4.2. С другой стороны, коль скоро функция s - » / '( x 0; 2)
непрерывна, она достигает максимума на всяком непу стом замкнутом подмножестве пространства S, в част ности, на множестве S0, которое не пусто и замкнуто из-за непрерывности функции f(s,x) по s и компакт
ности пространства S. |
теоремы нам |
нужно |
убедиться |
|
Для доказательства |
||||
в том, что всякому z е |
X и всякому |
е > 0 |
можно |
по |
ставить в соответствие |
окрестность |
U cz X |
точки |
z и |
число Хо > О таким образом, чтобы |
при всех у е |
U и |
||
О < X < Хо выполнялось неравенство |
|
|
|
|
Итак, пусть z e I и г > 0 заданы. Тогда найдется ок рестность W с: S множества S0 такая, что
(Это |
сразу |
следует из непрерывности функции |
s |
2).) |
С другой стороны, точку х0 можно окру |
жить такой окрестностью U0, чтобы максимум функции f(s,x) по s при всяком х из этой окрестности дости гался на множестве W. В самом деле,
max f (s, x0) = f (x0) — a, seS \ r
8 А. Д. Иоффе, В. M. Тихомиров
226 |
ГЛ. 4. ЛОКАЛЬНЫЙ в ы п у к л ы й а н а л и з |
где а > 0. Полагая в (2) г = 0, убеждаемся в сущест вовании такой окрестности U0 точки х0, для всех точек которой неравенство
| f(s, x ) — f (s, х0) |< а/2
выполняется при всяком s e S . Эта окрестность — иско мая, так как при х е Ua и s ф W
|
f (s, |
х) < |
/ (s, Xq) + |
а /2 < f |
(хй) — а /2 |
< f (х), |
|
||||||||
т. е. максимум функции |
|
|
х) достигается на W, |
||||||||||||
Выберем теперь в соответствии с (2) |
число ^ > 0 |
и |
|||||||||||||
окрестность |
[/, |
точки |
г |
так, |
чтобы |
|
|
|
|
|
|||||
|
|f(s, |
|
x0 + |
Xy)— f(s, x0) — Xf's(x0- 2)|<Я-|- |
|
||||||||||
при у <= Uu 0 < |
X < Я,. |
Пусть, наконец, Х2> 0 таково, |
|||||||||||||
что х0 |
|
X2z |
U0. |
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Яо = |
min (Я[, |
Яг}, |
U — X2 l \X2U\f| (Uq— Ао)]. |
|
||||||||||
Тогда |
U — непустая |
(поскольку |
г е |
U) |
окрестность |
||||||||||
точки |
z. |
Кроме |
того, |
если |
0 < Я < |
Я0 |
и |
у е U, |
то |
||||||
я0 + Я г/е t/0. Поэтому для таких Я |
и у |
|
|
|
|||||||||||
f (х0+ |
Ху) = |
|
шах f (5, х0+ |
Ху) < |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
se W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
max f (s, х0) + |
Я sup f' (х0‘ z) + |
X-f- < |
|
|||||||||
|
|
|
|
s e w 4 |
|
’ |
sew |
4 |
|
' |
|
* |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
f (*0) + |
X max /' (x0; z) + |
Яе, |
||||
с одной |
стороны, |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f (x0 + |
Xij) > |
|
max / (s, x0- f Яу) > |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
seSj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xo) + V's{x0\ 2 ) - Я | ) =
= / Ы + Kmax n (xo> z) —
— с другой. Следовательно,
I / (*0 + Щ — f (*0) — &max f's(x0; 2) |< Яе,
лишь только у e U и 0 <; Я < ЯоТеорема доказана.
|
§ 4.4. ЛОКАЛЬНО |
ВЫПУКЛЫЕ |
ФУНКЦИИ |
|
|
227 |
|||||||||
З а м е ч а н и е . |
Условия |
теоремы 3 заведомо выпол |
|||||||||||||
няются, если, например, функция |
f'(s, |
х ; |
у) = /'(х ; у) |
||||||||||||
непрерывна по совокупности переменных при всех s e 5 , |
|||||||||||||||
у е X и х из некоторой |
окрестности точки х0. |
Действи |
|||||||||||||
тельно, |
пусть |
2 е X и е > |
0 заданы. Тогда функция |
||||||||||||
(s, К, у) —►/'(s, Хо + |
}.у, у) |
непрерывна в |
каждой |
точке |
|||||||||||
вида (s, 0, 2 ) , - и, |
|
используя |
компактность |
множества 5, |
|||||||||||
мы можем выбрать Яо > |
|
0 |
и окрестность |
U точки z та |
|||||||||||
ким образом, |
чтобы неравенство |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
I /'(« , |
|
*о + |
|
|
У)— Г (s, |
х0; 2) |< |
е |
|
|
|||||
выполнялось |
при |
всех |
s е |
5, |
0 ^ |
)щ, |
у е |
U. |
Без |
||||||
ограничения общности можно считать, что |
все |
точки |
|||||||||||||
Хо + Ху при 0 < |
К < |
Ао, |
у е |
U принадлежат той окрест |
|||||||||||
ности точки Хо, в которой функция f'(s,x,y) |
непрерывна. |
||||||||||||||
Поэтому по формуле Ньютона — Лейбница |
|
|
|
||||||||||||
f (s, |
Xq+ |
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ц ) |
|
= |
| |
f' (s, |
x0+ |
\uy, y)d\x + |
f {s, |
x0) |
|
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f ( S , X q + % y ) |
f ( s , X 0 ) _ |
r ( s > ^ |
z ) |
< |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
JI f'(s, |
xQ+ Iiy; y) — f' (s, x0; z ) I dy. < e |
|||||||||||
для всех |
s e S , |
0 < |
X < |
Я0, |
у e |
U. |
|
|
В заклю |
||||||
4.4.3. |
Субдифференциалы и производные. |
||||||||||||||
чение параграфа |
|
мы |
кратко обсудим связь субдиффе |
||||||||||||
ренциалов и производных. |
Мы уже отмечали (см. при |
||||||||||||||
мер 1 в § 4.2), что выпуклая (и, очевидно, |
регулярно ло |
||||||||||||||
кально выпуклая) функция дифференцируема |
по |
Гато |
|||||||||||||
в некоторой точке тогда и только тогда, когда ее |
|||||||||||||||
субдифференциал |
в |
этой |
точке содержит |
ровно |
один |
||||||||||
элемент.
Таким образом, понятие субдифференциала обоб щает понятие производной по Гато. В этой связи по лезно отметить, что теоремы 1 и 2 являются обобще ниями соответствующих теорем дифференциального ис числения. Именно, теорема 1 обобщает теорему о том,
8*
228 |
ГЛ. 4. ЛОКАЛЬНЫЙ ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ |
что производная суммы функций равна сумме производ ных, а теорема 2 обобщает теорему о суперпозиции дифференцируемых отображений. Теорема о среднем тоже имеет «субдифференциальный» аналог, однако он нам нигде в дальнейшем не понадобится. С другой сто роны, теорема 3 не имеет эквивалента в дифференциаль ном исчислении.
§4.5. Субдифференциалы некоторых функций
4.5.1.Субдифференциалы норм. Субдифференциал нормы в абстрактном банаховом пространстве был вы числен в § 0.3:
( |
{.С е r|||x*||< 1}. |
если |
х = 0, |
<ЭИ'ГИ= \ |
{ С е Г |||*1=1, |
(С , *) = 11*И}> если |
х ^ О . |
Таким образом, в конкретных случаях сложности могут встретиться лишь при вычислении субдифференциалов в ненулевых точках. Для этого нужно описать множест ва всех функционалов х*, удовлетворяющих равенствам
|С ||=1, <С, х) = ||*||. |
(1) |
Мы не будем рассматривать здесь пространств, в ко торых норма дифференцируема в отличных от нуля точ
ках, таких, |
как |
Lp (1 |
■< р < |
оо) или гильбертово про |
||
странство. В этих случаях для |
вычисления |
субдиффе |
||||
ренциала нормы |
достаточно |
ее |
продифференцировать |
|||
(см. п. 4.4.3). |
|
|
|
|
|
|
1. С у б д и ф ф е р е н ц и а л |
н о р м ы в |
L" ([/0, /i]). |
||||
Напомним, |
что |
(LJ1([/о, Ы)) = |
L'L{[to, М), так что, если |
|||
( / ( ■ ( е С |
x ( - ) ^ L \ |
и у ( |
•) (= <Э||х( •) ||,, |
то равен |
||
ства (1) означают следующее: |
|
|
||||
|
Нг/( •)IL = sup| y(t) |= 1, |
|
||||
|
|
|
t\ |
|
ft |
|
<//(•), * ( • ) > = |
J {y{t)\x{t))dt=\\x{t)\dt. |
|||||
|
|
|
to |
|
to |
|
Эти равенства могут выполняться тогда и только тогда,
когда |
(за исключением |
некоторого |
множества меры |
нуль) |
y { t ) = \x(t) |-‘л:(0 |
при x(t)= £ 0, |
y(t) произвола |
|
§ 4.5. СУБДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИЙ |
229 |
||
но, но не превосходит по модулю единицы при х ( - ) = |
0. |
|||
Таким образом, если х( •) Ф 0, то |
|
|
||
д||*(011. = Ы - ) е = С | | | у ( . ) | | » = 1 , |
|
|
||
|
y{t) = |
I х (t) \~lx(t) |
при x(t)=/= О}. |
|
В частности, норма в Li |
дифференцируема по Гато |
в |
||
тех и только тех точках х ( - ), У которых мера множества |
||||
{t е (Y0, ^i]|x(0 = 0} равна нулю. |
|
|
||
2. |
С у б д и ф ф е р е н ц и а л н о р м ы в С(Т). На |
|||
помним |
(см. § 0.1), что пространство, |
сопряженное |
с |
|
С(Т), образовано всеми регулярными борелевскими ме рами на Т и норма в этом пространстве задается равен ством
|р. ||= | d\ р |.
т
Таким образом, если х ( - ) ^ С (Т) и х( ■) Ф 0, то субдиф ференциал д||х(-)||с образован теми и только теми ме рами, которые удовлетворяют соотношениям
J <*|Ц1=1, |
(2) |
т |
|
J X (0 rfp = IIJC(•) ||. |
(3) |
т |
|
Положим
7? = {*€=ГИ *)=||г(.)||},
Тх — {t ^ Т \х (t) — — 1|х ( ■) ||}.
Множества Т* и ГГ, очевидно, замкнуты.
Говорят, что борелевская мера р сосредоточена на замкнутом множестве А, если | р | (Б )= 0 для всякого борелевского множества В, не пересекающегося с А.
Мы покажем сейчас, что мера р удовлетворяет усло виям (2) и (3) тогда и только тогда, когда
J rffi+ + J dV-~ = 1,
гг
мера р+ сосредоточена на Г£, а мера р~ — на ГГ.
230 |
ГЛ. 4. ЛОКАЛЬНЫЙ ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ |
Написанное выше соотношение равносильно равен ству (2). Поэтому нужно проверить лишь последнее утверждение. Имеем
|х (•) II = [ х (t) d]x — J x(t) d\i+ — J х (/) dy.~ <
T |
T |
T |
< I U |
( - ) l l { ^ + + |
I U ( - ) l l J rfi*- — II JC( - )H- |
|
T |
T |
Таким образом, при |
выполнении условий |
(2) и (3) |
И*(-) |
И J d\i+ = | x(i) ф +, |
(4) |
Гт
(5)
Если существует борелевское множество В, не имеющее
общих точек с Tt и такое', что |р.+ |(В) — р+ (В) > 0, то
I х(0Ф+</ |х(0№+< J ||х(-)№++
т |
|
т |
|
|
г+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
+ |
J I U ( - ) № + = l l* (- )l l| ф + . |
||||
|
|
|
|
Т \ Т + |
|
|
т |
|
|
|
|
|
4 |
х |
|
|
|
Но |
это |
противоречит |
равенству в (4). Так |
же |
прове |
|||
ряется и соотношение |
(5). |
|
|
|
|
|||
|
3. |
С у б д и ф ф е р е н ц и а л |
н о р м ы |
в |
L »([/0, /1]). |
|||
Пространство |
L»([^o, / 1]) сопряжено с Li ([to, / 1]). С дру |
|||||||
гой |
стороны, |
пространство, сопряженное с |
|
/i]), |
||||
не |
совпадает |
с |
/,]), |
однако |
последнее |
изометри |
||
чески вкладывается в (Т^([^0, Л ])). Нас будет |
интере |
|||||||
совать следующий вопрос. Пусть x(-)^Llo. В каком случае субдифференциал d||x(-)IL содержит элементы
из |
Li и как |
описать эти элементы? Если у (•) е |
||
е |
д\\х(•) IU П Li, |
то в соответствии с (1) |
||
б |у (/)\dt = |
1, |
J1 |
(у ( t ) \х (/)) dt = |л: (•) IL = sup| х (/) |. |
|
U |
о |
* |