книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

вия Вейерштрасса. Причина второго вскрывается тео­ ремой Боголюбова (см. п. 9.2.4).

П р и м е р 3. Решение уравнения Эйлера существует, единственно, дает абсолютный экстремум, но не яв­ ляется функцией класса Су.

Этот пример принадлежит Гильберту. Здесь уравне­ ние Эйлера имеет вид

- £ - ( № ) = 0 .

Его общее решение: x(t) = С71/3 + D. Через заданные точки проходит кривая x * ( f ) = f 1/3. Непосредственной проверкой легко убедиться, что функция x*(f) достав­ ляет абсолютный экстремум в поставленной задаче. Но функция x*(f) не является непрерывно дифференци­ руемой.

П р и м е р 4 (сопряженная точка):

функционала 3 4 равна нулю. Для этого достаточно при­

т

J (x(t) - x ( t ) - cig tfdt,

о

из которого следует, что при Т < л функция x* (f)==0 —

Действительно, интегрируя по частям, мы получаем:

точками, сопряженными с точкой нуль. В нашем случае такие решения имеют вид x(t, С) ~ С sin t. Важнейшее значение имеет то, принадлежит первая сопряженная точка отрезку [О, Т] или нет. Условие минимума, касаю­ щееся сопряженной точки, — условие Якоби — мы об­ суждаем в п. 2.2.5.

Подведем итог. Мы обнаружили случаи, когда

— решение уравнения Эйлера существует, единствен­ но, но не дает ни сильного, ни слабого экстремума:

Т> л, Т ф kn\

—решений бесчисленное множество и все они до­

ставляют абсолютный минимум в поставленной задаче:

Т- л;

—решений бесчисленное множество, но ни одно из

(ср. с примером 3).

Этот пример принадлежит Вейерштрассу. Он выдви­ гался Вейерштрассом в качестве аргумента против ри­ мановского обоснования принципа Дирихле.

проходит ни одна кривая этого семейства. Более того, решение задачи не существует в классе абсолютно не­

нулю. Действительно, если взять минимизирующую по­ следовательность Вейерштрасса

хп(t) — arctg ntjarctg n

или x n( t ) = f ln, или еще проще —

то обнаружится, что Sf5 (xn(• ))-» 0 (&5 (yn (• ))-> 0).

Примеры 3 и 5 являются частными случаями за­ дачи 55; они обсуждаются в § 9.2. Там же разъяс­ няется причина, по которой в примере Вейерштрасса нет решения.

2.2.3. Необходимое условие Вейерштрасса. Условие Вейерштрасса в отличие от уравнения Эйлера есть усло­ вие сильного экстремума. При выводе этого условия будем использовать специальные вариации, которые были введены по сути дела самим Вейерштрассом и по­ тому мы называем их вейерштрассовскими. Производ­ ная той добавки, которая входит в определение вейерштрассовской вариации, напоминает иголку, которая при стремлении параметра К к нулю делается более узкой, но не уменьшается в равномерной метрике. Подобные вариации будут использованы нами и при выводе про­ стейшего варианта принципа максимума в § 2.4.

Пусть f ( x ) — некоторая гладкая функция на прямой. Функция двух переменных &f (х, |): R X R - * R>

называется функцией Вейерштрасса функции /.

Геометрически ё/(х, |) есть разность между значе­ нием f в точке | и значением в той же точке аффинной функции, касательной к / в точке х (рис. 3). Отсюда, в

частности, следует, что если f выпукла, то ее функция Вейерштрасса является не­ отрицательной.

Данное нами определе­ ние легко распространяется на конечномерный случай.

Пусть X = R n и /: Rn —» R —

гладкая функция. Функцией Вейерштрасса называется функция

&f{x, I): R " X R "-> - R>

определяемая равенством

«V (*, ё) =

= f ® - f ( x ) - V ' ( x ) l l - x ) .

(15')

Переходим к выводу необходимого условия Вейер­ штрасса. Начнем с простейшей задачи (1). Будем пред­ полагать, что выполнено стандартное для вариацион­ ного исчисления требование относительно гладкости, а именно, потребуем непрерывную дифференцируемость интегранта в некоторой области U пространства R3, в которой содержатся точки (t, x*(t), x»(t)),

где x*(t) e Ci ([^o, fi]) • Функцией Вейерштрасса интег­ ранта L называют следующую функцию четырех пере­ менных:

ё (t, х, x, l) = L (t, x , l ) — L (t, x, x) —

— (l — x)Lk (t,x,x). (16)

Мы видим, что это — функция Вейерштрасса |?L относи­ тельно последнего аргумента х, a t и х играют здесь роль параметров. Наша цель теперь — доказать такое утверждение.

Тогда для того, чтобы функция .*:*(•) доставляла силь­

и[т + Я, т + е].

На рис. 4 мы изобразили и функцию h, и ее произ­ водную. Производная функции h напоминает иголку, что и дало повод (как уже говорилось) вариации такого вида называть «игольчатыми» вариациями. Класс вейер-i штрассовских вариаций строится теперь так:

х (t, Я) = xt (t) -J- h (t, Я).

126 ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ

Функция х(£, Я) соединяет те же точки, что и функция x»(t). (Правда, она не является непрерывно дифферен­ цируемой функцией, но является допустимой в том смы­

т. е. тем, что она удовлетворяет уравнению Эйлера. Здесь нам удобнее форма Дюбуа-Раймона:

J L* \x,wdx + L* 'X, (t) ■ =Cn.

Используя это соотношение, мы получим:

г+е

J Lx |^(/) dt = Lx (т + е, х, (т + в), х.(т + в)) —

— х,(т), х,(т)),

в последнем соотношении к пределу при е —*0, получаем неравенство

L (т, х„ (т), х, (т) + I) — L (т, xt (х), х, (т)) —

— Щ (т, хф(т), х, (т)) > 0,

которое и есть искомое условие Вейерштрасса.

Для простейшей векторной задачи все наши рас­ суждения обобщаются очень просто. Функция Вейер­ штрасса для интегранта простейшей векторной задачи есть такая функция 3п + 1 переменных:

8(t, х, х, l) = L{t, л;, l ) — L(t, х, х ) — & — х\U(t, х, х)).

Вейерштрассовские вариации имеют тот же вид:

х (t, X) = х, (/) + h (t, Я),

к совершенно аналогично формулируемому условию

Выше отмечалось, что необходимое условие Вейер­ штрасса всегда выполнено для квазирегулярных функ­ ционалов. В п. 9.2.4 будет доказана важная теорема Боголюбова, из которой следует, что для любой простей­ шей векторной задачи классического вариационного ис­ числения существует эквивалентная ей задача с квазирегулярным интегрантом. Это позволяет, по крайней

128 ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ

мере теоретически, считать, что необходимое условие Вейерштрасса всегда выполнено.

2.2.4. Условие Лежандра. Условие Лежандра, а также условие Якоби, о котором речь пойдет в следующем пункте, суть условия «второго порядка», т. е. условия, связанные со вторыми вариациями. Вторая вариация для функционалов классического вариационного исчис­ ления — это квадратичный функционал, а условия Ле­ жандра и Якоби — это условия, при которых этот функ­ ционал является неотрицательным. Теории квадратич­ ных функционалов специально посвящены §§ 6.2, 6.3. Развитая там теория позволяет получить условия Ле­ жандра н Якоби для общих задач классического вариа­ ционного исчисления. Здесь же ограничимся рассмотре­ нием лишь простейшей задачи.

Итак, рассмотрим задачу (1). Сначала вычислим вторую вариацию функционала Д(л:(-)), входящего в определение задачи (1). Здесь надлежит наложить до­ полнительные требования гладкости на интегрант L(t,x,y). Для того чтобы обеспечить себе полную сво­ боду при проведении дальнейших выкладок в этом, а также и в следующем пункте, будем требовать, чтобы лагранжиан L был трижды непрерывно дифференцируе­

дифференцируемая функция, являющаяся экстремалью, что означает выполнение уравнения Эйлера

При сделанных предположениях возможно двукрат­ ное дифференцирование функции

Ф(Л) = Д ( х Д - ) + Ях(-)) =

J L (t, xt (t) + lx (0, i , (0 + lx (/)) dt (18) h

под знаком интеграла. Произведя это дифференцирова­ ние, после элементарных выкладок придем к следующей

130 ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу сказанного выше до­ статочно показать, что если в некоторой внутренней

ственно равная нулю. Рассмотрим следующую вариа­

ограничены по модулю некоторой константой, которую мы обозначим буквой С. Следовательно:

того чтобы полностью доказать предложение, остается сгладить три угла у функции А(-,Яо, т) с тем, чтобы по­