книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]
.pdf20 0. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
функцией параметров возмущения. Эту функцию мы на зываем S-функцией задачи. Цель состоит в том, чтобы ио данным поставленной задачи можно было судить о ха рактере S-функцин, о ее гладкости и т. п. В случае, если 5-функция обладает гладкостью, принцип Лагранжа, о котором много говорилось выше, допускает фундамен тальное усиление: тогда можно нелинейно подправить функцию Лагранжа так, что задача об условной мини мизации становится равносильной задаче о безусловной минимизации этой подправленной функции Лагранжа.
Такое утверждение мы называем принципом снятия ограничений.
Поясним сказанное на том же конечномерном при мере, на котором иллюстрировался принцип Лагранжа.
Пусть |
все |
функции |
i — 0, |
1, ... , m, |
входящие в |
|||
определение |
конечномерной |
задачи |
с |
ограничениями |
||||
ft = 0, |
1 = |
1, ... , пг, |
являются |
дважды |
непрерывно |
|||
дифференцируемыми, |
кроме |
того, |
функция F'(x) = |
|||||
|
•••>f'm(•*■)) отображает |
Rn на все |
Rm. Тогда при |
|||||
условии, что данная точка х* является экстремалью задачи и в ней вторая производная функции Лагранжа
строго положительна на ядре оператора F'(x^), полу чается, что поставленная задача становится равносиль ной следующей безусловной проблеме минимизации:
m
<? + ($°F) (х) = /о (х) + 2 hfi (х) + (Ф ° F) (х) -> inf, i=i
где ф: Rm-vR — некоторая эффективно строящаяся гладкая добавка к функции Лагранжа. Смысл полу ченного результата в том, что если выполнены некото рые условия невырожденности, то ограничения могут быть сняты. Если же из каких-то, пусть даже эвристиче-' ских, соображений удается снять ограничения, то тем самым сразу оказывается, что в данной точке имеется локальный экстремум, т. е. снятие ограничения является достаточным условием экстремум У
Особой спецификой обладают задачи динамического содержания, в которых описываются процессы, изме няющиеся во времени. Таковы задачи классического ва риационного исчисления и оптимального управления. Для этих задач имеется весьма плодотворная процедура
0. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ |
21 |
их возмущения. Такие задачи возмущают при помощи граничных условий. Полученная при помощи этого воз мущения 5-функция называется в вариационном исчис лении функцией действия. Для нее можно написать дифференциальное уравнение в частных производных — уравнение Гамильтона — Якоби, что дает новый путь к решению поставленных задач. Аналог теории Гамильто на— Якоби в оптимальном управлении называется ди намическим программированием, а основное уравнение динамического программирования называется уравне нием Веллмана. При выводе уравнений Гамильтона — Якоби и Беллмана основополагающим является тот факт, что любая часть мииимали сама является мини малью некоторой задачи.
Скажем несколько слов относительно а п п а р а т а , при помощи которого доказываются необходимые и до статочные условия. Исчисление, разработанное для ис следования экстремальных задач, базируется на двух
основаниях. Это — дифференциальное исчисление |
в ба |
||
наховых пространствах (см. |
§ 0.2) и выпуклый |
анализ |
|
в линейных топологических |
пространствах (см. |
§ |
0.3 и |
гл. 3, 4). В последнее время интенсивно разрабаты вается новая глава выпуклого анализа, специально ориентированная на задачи оптимального управления — выпуклый анализ интегральных функционалов (см. гл. 8). Стержнем той части дифференциального исчис ления, которая обращена к экстремальным задачам, яв ляется принцип сжимающих отображений. В основании выпуклого анализа лежат теоремы отделимости. Именно эти факты решающим образом участвуют в доказатель ствах теорем относительно необходимых и достаточных условий. Важнейший результат выпуклого анализа ин
тегральных |
функционалов — выпуклость |
интегралов |
от |
|
многозначных отображений. |
|
р е |
||
Что |
же |
касается т е о р е м с у щ е с т в о в а н и я |
||
ше н и й |
в |
теории экстремальных задач, |
то в большин |
|
стве своем они основываются на том, что у всякой по лунепрерывной функции на компакте нижняя грань достигается. Поэтому основное внимание в теоремах существования уделяется условиям полунепрерывное™ функционалов и критериям компактности множеств в функциональных пространствах (см. § 9.1). Как
22 0. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
правило, естественные условия полунепрерывное™ и компактности, с одной стороны, и необходимые условия экстремума, с другой, получаются в разных топологиях и для разных классов допустимых элементов. Преодоле ние этого разрыва — одна из основных задач в теории существования решений.
Перейдем к описанию математической базы теории экстремальных задач.
В § 0.1 собраны нужные нам факты из функциональ- . ного анализа, важнейшие из которых — принцип сжи мающих отображений, теорема Хана — Банаха и тео рема Банаха об открытом отображении. Параграфы 0.2 и 0.3 содержат необходимые для первоначального зна комства с книгой факты, относящиеся к аппарату тео рии экстремальных задач — дифференциальному исчис лению и выпуклому анализу. Главные из них — теоремы Люстерника и Моро — Рокафеллара. В § 0.4 излагается теория дифференциальных уравнений с измеримыми правыми частями. Многие доказательства, которые можно прочесть в известных учебниках (Дьедонне [1], Картан [1], Колмогоров и Фомин [1], Люстерник и Собо лев [1], Шварц [1] и др.), опущены.
§0.1. Функциональный анализ
0.1.1.Компактность. Напомним, что множество в то пологическом пространстве называется компактным, или компактом, если всякая покрывающая его система от крытых множеств содержит конечную подсистему, так же покрывающую данное множество.
Э л е м е н т а р н ы е с в о й с т в а к о м п а к т н о с т и . 1) Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда всякая центрированная система его замкнутых подмножеств имеет непустое пересечение'.
(Напомним, что система множеств называется цент рированной, если всякая ее конечная подсистема имеет непустое пересечение.)
2)В компактном топологическом пространстве вся кое бесконечное множество имеет предельную точку.
3)Всякое компактное множество замкнуто, и всякое
замкнутое подмнооюество компакта компактно.
4) Образ компактного множества при непрерывном отображении есть компакт.
|
§ 0.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ |
23 |
5) |
Метрическое пространство компактно тогда и |
|
только тогда, когда всякая бесконечная последователь |
||
ность |
его элементов содержит сходящуюся |
подпоследо |
вательность.
Под словом функция всюду в этой книге понимается
отображение |
в |
расширенную |
вещественную |
прямую |
||||
[— оо, оо], т. е. значения |
+ оо допускаются наравне с ве |
|||||||
щественными числами. Пусть |
f{ x) — функция, заданная |
|||||||
на топологическом пространстве X. Говорят, что функ |
||||||||
ция f полунепрерывна снизу в точке х е |
X, |
если (когда |
||||||
f{x) < оо), для всякого |
е > 0 |
существует |
такая |
окрест |
||||
ность U ТОЧКИ А', что |
|
|
|
|
|
|||
для |
всякой |
точки |
y ^ U , а если f ( x ) = ° о, |
то |
для лю |
|||
бого |
N ;> 0 |
существует |
такая |
окрестность |
U точки х, |
|||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( y ) > N |
|
|
|
|
для всякой точки у е Г . |
Функция f называется |
полуне |
||||||
прерывной снизу, если она полунепрерывна снизу в каж дой точке из X.
Для того чтобы функция f, заданная на топологиче ском пространстве X, была полунепрерывной снизу, не
обходимо и достаточно, чтобы все ее лебеговские мно жества
&af = {х s X |f (* )< а}
были замкнуты. |
|
Т е о р е м а В е й е р ш т р а с с а . |
Полунепрерывная |
снизу функция f, заданная на топологическом простран стве X, достигает нижней грани на всяком компактном подмножестве пространства X.
С л е д с т в и е . Пусть f — полунепрерывная снизу функция на топологическом пространстве X. Если не которое лебеговское множество функции f не пусто и компактно, то f достигает нижней грани на X.
Этот факт лежит в основе большинства теорем су ществования решения в теории экстремальных задач.
0.1.2. Принцип сжимающих отображений. Пусть Х -^ метрическое пространство и F — отображение простран ства X в себя. Говорят, что отображение F — сжимающее,
24 0. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
если существует такое число 0, 0 < 0 < 1, что
Р(^(*)> Р ( У ) Х в р ( х , у)
для всех пар х, у из X. Элемент х е X называется не подвижной точкой отображения F, если F(x) — x. Ото бражение
р ОР О . . . ОР
|
k раз |
|
обозначается символом Fh (т. |
е. F2(x) = F (F (х) ), |
|
F3(x) = F (F (F (x ))) и т. д.). |
о т о б р а ж е н и й . |
|
П р и н ц и п |
с ж и м а ю щ и х |
|
Пусть X — полное метрическое пространство и F — ото бражение пространства X в себя такое, что для некото рого натурального k > 0 отображение Fh— сжимающее. Тогда в X существует ровно одна неподвижная точка
отображения F. |
|
|
|
|
Пусть X — линейное |
0.1.3. Теорема Хана — Банаха. |
|||||
топологическое |
пространство, |
А с |
X — выпуклое откры |
||
тое множество и L с= X — подпространство, не имеющее |
|||||
общих точек с множеством А. Тогда на X существует не |
|||||
прерывный линейный |
функционал |
х* такой, что |
|||
(х*, х) > |
0 |
для |
всех |
,г е Л , |
|
(х*, х') = |
0 |
для |
всех |
х е L. |
|
Укажем три важных следствия из теоремы Хана — |
|||||
Банаха. |
1. Пусть X — отделимое локально вы |
||||
С л е д с т в и е |
|||||
пуклое линейное топологическое пространство. Тогда
для всякого х ^ Х , х Ф 0 |
найдется функционал |
/ |
е У |
такой, что ( х * , х ) ф 0 . |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Положим L = {0}, |
в |
каче |
стве А возьмем произвольную выпуклую окрестность точки х, не содержащую нуля, и применим теорему.
Аннулятором линейного подпространства L локаль
но выпуклого |
линейного топологического пространства |
X называется |
множество |
L1 = |
{х е X* |(х‘, х) = 0, Vx е= L). |
§ 0 |
1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ |
25 |
• С л е д с т в и е |
2. Пусть L — замкнутое подпростран |
|
ство отделимого локально выпуклого линейного тополо гического пространства X. Тогда аннулятор подпро странства L содержит ненулевой элемент.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть х ф. L. Возьмем в ка честве множества А выпуклую окрестность точки х, не пересекающуюся с L, и применим теорему к А и L.
Если X — нормированное |
пространство, то, выбирая |
||||
в качестве А шар |
радиуса ||x|| с центром в точке х, по |
||||
лучим из следствия |
1 |
X — линейное |
нормирован |
||
С л е д с т в и е |
3. |
Пусть |
|||
ное пространство. Тогда для |
всякого |
j ( e l , |
х ф 0 най |
||
дется функционал х* е X* такой, что |
|
|
|||
( х*, |
х) = \\х||, |
|х* |= |
1. |
|
|
Часто теореме Хана — Банаха придают форму тео ремы отделимости, во многих случаях более удобную для применений. Скажем, что линейный непрерывный функционал х* разделяет множества А и В, если для всех X G /4, у ^ В справедливо неравенство
(х\ х) < (х\ у). |
|
Т е о р е м а о т д е л и м о с т и . Пусть |
А и В — вы |
пуклые непересекающиеся множества в |
линейном то |
пологическом пространстве X. Предположим, что int А ф 0 . Тогда на X существует ненулевой непрерыв ный линейный функционал х*, разделяющий множества А и В.
В § 3.1 мы вернемся к теоремам отделимости. |
|
||||||||||
Л е м м а |
о |
б и о р т о г о н а л ь н о м |
б а з и с е . |
||||||||
Пусть |
X — отделимое |
локально |
выпуклое линейное |
то |
|||||||
пологическое |
пространство |
и |
{хи . .. , хп} — конечный |
||||||||
набор линейно независимых элементов пространства X. |
|||||||||||
Тогда существуют такие элементы х X ' , |
г — |
1, . |
. п, |
||||||||
что (х'}, хг) = |
6(.у, |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
1, |
если |
i — j, |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
I |
0, |
если |
i ф /. |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Обозначим |
через |
L,- |
ли |
||||||
нейную |
оболочку |
векторов |
Х\.........*,•_ь |
дс4+ь .. .. |
хп. |
||||||
26 0. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Подпространство Li конечномерно и, значит, замкнуто (поскольку X отделимо). Коль скоро векторы Х\, . . . , хп линейно независимы, Х{ ф Lt. Поэтому существует функционал у] <= X* такой, что (г/’ , хф Ф 0 и (г/*, xf) = 0
при j ф I. Положим х\ — (г/*, хф~1у]. Функционалы
х], . . . , х* — искомые.
0.1.4.Теорема Банаха об открытом отображении и обратном операторе. Пусть X и Y — банаховы простран
ства и Л: X —* У — линейный непрерывный |
оператор, |
множество значений которого есть все Y, т. е. |
1 тЛ = У . |
Тогда образ всякого открытого подмножества простран ства X открыт в Y. В частности, если в дополнение к сформулированным условиям оператор А взаимно од нозначен, т. е. если К е г Л = {0}, то А — линейный гомео морфизм.
Мы будем пользоваться не столько этой теоремой, сколько следствиями из нее, которые сейчас докажем.
Л е м м а |
о т р о й к е . |
Пусть X, |
Y и Z — банаховы |
пространства |
и A: X - * Y , |
М: X - + Z — линейные непре |
|
рывные операторы такие, |
что 1тЛ = |
У и КегЛсдКегМ . |
|
Тогда существует такой линейный непрерывный опера
тор N: У-*Z , что М = N °Л. |
|
то и |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Если Ах\ = Лх2 — у, |
|||
Мм = Мм, поскольку по |
условию |
Кег Л с Ker М. |
По |
|
этому для всякого у е У |
множество М(Л-1 (г/)) содер |
|||
жит ровно один элемент. |
Положим Nt/ = М(Л_1(г/)). |
|||
Линейность отображения N и равенство N °A = M оче |
||||
видны. Наконец, |
если U — открытое |
подмножество |
про |
|
странства Z, то |
множество М~l(U) |
открыто в X |
из-за |
|
непрерывности оператора М, а по теореме об открытом отображении и множество Л(М~’ (Д )) = 1Ч-1(Д) открыто
вУ. Поэтому оператор N непрерывен. Лемма доказана. Напомним, что если X и У— локально выпуклые
линейные топологические пространства и Л: X —> У— линейный непрерывный оператор, то сопряженный опе ратор Л*: Y*->X* определяется равенством (А*у*,х) =
— {у*. Ах) для всех у* е У * , х е |
X. |
|
Л е м м а о б |
а н н у л я т о р е . |
Пусть X и У — бана |
ховы пространства и А: X -> У — линейный непрерывный |
||
оператор такой, |
что 1 т Л = У. Тогда |
|
(Кег Л)1 = 1 т Л*
§ 0.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ |
27 |
(г. е. аннулятор ядра равен множеству значений сопря
женного оператора). |
Если |
д:* е |
1ш А*, т. е. |
если |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
||||
х* = А*у* при некотором |
у* е |
У*, то |
для любого |
х е |
еКегЛ справедливо равенство
{х\ х) = ( А’у*, х) = {у\ Ах) = 0,
откуда |
следует, что |
х* <= (Кег Л)х. |
|
||
Пусть, наоборот, |
х * е (КегЛ)1, |
тогда |
|||
|
|
К е г Л с {х е 1 | (х * , х) = 0} = Кегх\ |
|||
Мы |
можем рассматривать |
х* как |
линейный оператор |
||
из X |
в |
R. Тогда для Л: X |
—►У и х*: X -> R выполнены |
||
все условия леммы о тройке. Поэтому существует та
кой линейный непрерывный |
функционал |
у* е |
У*, что |
||||||||
{у*,Ах) — (х*,х) |
для всякого |
х. |
Это значит, |
что |
х* — |
||||||
= |
А*у*, т. е. х* е |
1шЛ*. Лемма доказана. |
|
|
|
непре |
|||||
|
С л е д с т в и е . |
Пусть |
х\, . . . , |
х * — линейные |
|||||||
рывные функционалы на банаховом пространстве X. По |
|||||||||||
ложим |
|
X |(xj, |
х) = |
0, |
i = |
1, . . . , |
п]. |
|
. |
||
|
L — [х е |
|
|
||||||||
Тогда аннулятор подпространства L совпадает с ли |
|||||||||||
нейной оболочкой точек х], . . . . |
х*. |
|
|
|
|
|
|||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Без |
|
ограничения |
общности |
||||||
можно считать, что функционалы |
Xj , . . . , |
х’ |
|
линейно |
|||||||
независимы. Рассмотрим |
оператор A: X —* Rn, ставящий |
||||||||||
в |
соответствие |
каждому г е Х |
вектор |
Ах, |
равный |
||||||
((xj, х), . . . , |
(х*п, х}), и применим лемму. |
|
|
|
|
||||||
|
Отметим, |
что последнее предложение верно для про |
|||||||||
извольных отделимых локально выпуклых пространств.
0.1.5. Некоторые конкретные пространства. |
1. П р о |
с т р а н с т в о Сп(Т). Пусть Т — компактное |
хаусдор- |
фово пространство. Через Сп(Т) обозначается |
банахово |
пространство непрерывных отображений (вектор-функ ций) из Т в R" с нормой*)
||*(-)II = IU( *) Нс = maxi х (/) |.
( е Г
V»
*) Напомним, что \х\ —
28 |
0. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ |
Нормированная топология пространства Сп(Т) назы вается топологией равномерной сходимости.
Т е о р е м а Р и с е а. Всякий линейный непрерывный функционал х* на пространстве С( Т) — 0 ( Т ) можно единственным образом представить в виде
(х\ * ( • ) > = / х (t)dy,
т
где р — регулярная борелевская мера на Т. При этом
11*1= J rf! I* 1= 11* 1(7'),
г
где |р I = р+ + рг, а р+ и р - — положительная и отри цательная составляющие меры р.
Напомним, что подмножество А компактного хаусдорфова про странства Т называется борелевским, если оно получается из от крытых множеств с помощью не более чем счетного числа опера ций объединения, пересечения и перехода к дополнению. Совокуп ность всех борелевских подмножеств пространства Т обозначается 8Э(Г). Множество 38(7") содержит дополнения и счетные объеди нения и пересечения своих элементов. Действительная функция р(Л), определенная на 83(7"), называется борелевской мерой на Т,
если она |
о-аддитивна, т. е. |
если из Л . е Ш( Г ) , t = 1, 2, |
Ai(]Aj = 0 |
при i ф j следует, |
что |
Р ( и лг) = |
1=1 |
р (л;)- |
\(=1 / |
|
|
Если р — борелевская мера на Т, |
то функции |
|
р+ (А) = sup {р (В) |В с= A. B sS 8 (T )},
р- (Л) = - inf {р (В) |В а А, В е S3 (Г)}
называются положительной и отрицательной составляющими •ме ры р. Эти функции тоже являются борелевскими мерами на Т. При этом р = р+ — р~. Положительная борелевская мера |р| = р+ + р~
называется полной вариацией меры р. |
Борелевская мера р назы |
|||||
вается регулярной, если для всякого |
Л е Ш ( Г ) |
и всякого е > |
0 |
|||
можно указать такое замкнутое множество |
В с |
А |
и такое |
от |
||
крытое множество С тэ А, что |р |(Л \ |
В) < е, |
|р |(С \ |
Л) < е. |
не |
||
Пусть |
р — борелевская мера на Т и а ( / ) — действительная |
|||||
прерывная функция на Т. Тогда предел |
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
Иш |
Аер ({t Г |fce<a (<)<(* + О 8}) = j |
a (/) dp |
|
|||
е-+0 , |
^ оо |
|
|
т |
|
|
существует и называется интегралом по мере р от функции a (0 « i
§ 0.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ |
29 |
Подобным образом описывается сопряженное с про странством Сп(Т): всякий линейный функционал на 0 (7 ') единственным образом представляется в виде
|
П |
|
{х\ х (• )} = YJ J х1(0 dpi, |
|
<=I Г |
где pi, |
pn — регулярные борелевские меры на Г; |
при этом |
|
В случае, когда Т — [70, i\], — 00 < < ti < °°. теореме Рисса можно придать такой вид. Именно, всякий линейный непрерывный функционал х* на пространстве
С” ([/0, 7i]) можно единственным |
образом представить в |
виде |
п f, |
|
|
(**, X( •)> = (а 1ж (*„)) + |
J х1(t) <7рг (t), |
|
(=1 it |
где a e R '1, а р, (/), . . . , р„(7)— функции ограниченной вариации, непрерывные справа и обращающиеся в нуль
вточке t0. (Можно записать по-другому:
пf,
|
|
|
(х\ х ( |
•)) = > ] |
j ^ ( 0 ^ ( 0 , |
|
|
|
|
|
|
г=1 /, |
|
|
|
где |
рt (t) — функции |
ограниченной вариации, непрерыв |
|||||
ные |
справа, |
всюду |
за исключением, быть |
может, точ |
|||
ки t0.) |
При этом |
|
|
|
|
||
|
|
|
IU*ll = |a| + (||llP /(- )p )/l |
|
|||
[соответственно |я* II = ^ 2 I |
(* ) |
fJ J, где |
через |р,- (•) | |
||||
обозначена полная вариация функции р,-(0- |
|||||||
2. |
П р о с т р а н с т в о |
C%([tQ,ti\). Это пространство |
|||||
образовано |
пг раз |
непрерывно |
дифференцируемыми |
||||