книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

162

ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ

и з м е р и м а я н а

[0 , 1]

в е к т о р - ф у н к ц и я

w{x)

т а к о в а ,

что

u{t {x) ) — w{x)

п о ч т и

в с ю д у н а

А( у ),

т о

у ( х ) е с т ь

р е ­

ш е н и е у р а в н е н и я

у' — v (т)ср (/ (т),

у, w(x)).

(12)

принимает значения из U,

и у (т) — решение уравнения

( 12),

то u ( t ) =

w(x(t)) — допустимое

управление

в за­

даче

(1) — (4),

и x(t) = у (x(t)) есть решение уравнения

( 2), соответствующее управлению u(t).

сразу

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Первое утверждение

следует из

предложения

2,

поскольку почти всюду на

Д(у)

ф(/(т),

x(t(x)), и (I (т))) = ф (t (х),

у (т), w (т))

(13)

и, значит,

/ ( т )

у (т) = х (/ (т)) =

х (/ (0)) +

[

ф(/, х (t),

u(t))dt =

= У (0)

Н О )

JXVOi) ф {t (rj), У(то, W(ц)) dx\.

+

о

цесс

(/Дт), у*(х), М т )) допустим в задаче (8) — (11).

Пусть

теперь (/(т), у(х), у (т)) — другой допустимый

тор-функция ш,(т)

ограничена на А ( у )

и, значит, u(t) =

= щ *(т(0)

тоже

ограничена в силу

предложения

1,

Поэтому (согласно предложению 3)

(x(t), u(t)),

где

x(t) =

y(x(t)), — допустимый

управляемый процесс

в

задаче

(1) —

(4). Далее, по

условию

|/(0)— /о«|<8

и

|/(1) — ful < е .

Тогда, если

|ф (/,*.(/),

«, (/) ) !< * почти

всюду (такое

k

заведомо существует),

то для всякого t,

164

ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ

Нетрудно видеть, что лемма 2 есть не что иное, как

принцип

максимума Понтрягина

для задачи (8) — (11).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы

покажем

сначала,

что

задача

(8) — (11) — это гладко-выпуклая

задача, удов­

летворяющая всем условиям теоремы 3

из § 1.1

(точ­

Свяжем

с уравнением (9а)

отображение Ф,: W\,, X

y.W i,

-* L\,

ставящее

в

соответствие

каждым

| ( . ) е Г 1Л([0,

11),

y { . ) ^ w l x{[0,

1])

и

t

( . ) e f

(напомним,

что Т — множество допустимых

управлений

в задаче (8) — (11))

вектор-функцию

2

(т) =

у' (т)

н (т) ср (I (т),

у (т), щ,(т)).

(14)

Поскольку у(т)

обращается в нуль на некотором множе­

стве

Ай,

вектор-функция

т -*• v (т)ср(£(т), у{%), да*(т))

ограничена

и,

значит,

г ( - ) е Д

Таким

же

образом

уравнение

(96)

порождает отображение Ф2: Wщ Х ^ 5-*

—* L\,

действующее по формуле

£ (*) =

Фг (К •).

® ( *)) М =

V (т) — v (т).

(15)

Рассмотрим,

наконец,

отображение

Ф:

Wi, i X W", i X

X У*—* L{ X L\,

являющееся «декартовым произведе­

нием» отображений Ф2

и Ф1, т.

е.

Ф (|(-), г/(•), п ( - ) ) =

.= (£(•), z( - )),

где £(т)

определяется

формулой (15), а

2 (т) — формулой

(14). С помощью отображения Ф урав­

нения

(9а)

и (96) записываются в виде

(!(т), У (т)) -> у' (т) — v (т) <р, (/. (т),

у , ( т),

ш,(т))£(т) —

- v (т) ф* (/. (т),

у, (т),

w, (т)) у (т), (16)

■ § 2.5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА

165

У. W, wt (x))\y(x))]dx.

Наконец,

если и, (•) е Y, v2( - ) ^ Y , то, очевидно,

при всяком

фиксированном O ^ a ^ l функция оа(т) =

= aDt (т) + (1 — a) v2(x) тоже принадлежит множеству Y ,

JI va(x)f(l(x), у (т),

w,(x))dx =

о

= a JIо, (т) f (g (т), у (т), wt (т)) dx +

о

1

риться

в

возможности воспользоваться

этим следст­

вием,

нам

осталось заметить,

что (/*(т),

г/*(т), у*(т))—

точка

локального минимума

в задаче (8) — (11), даже

странств

Wi'i

и W\, 1 соответственно

(это

следует

из

леммы 1 и того

факта, что

топология пространств Wп

и Wi, 1

сильнее

топологии

пространств

С

и Сп).

Та­

Напишем функцию Лагранжа задачи

(8) — (11):

& =

(l0 \h0 ( t ( 0 ) ,

у (0))) + (/, |/г, (/(1),

у ( 1))) +

1

+ J [(<? (т) I у' (т) — V (т) ф (t (т),

у (т),

W, (т))) +

о

+

s (т) (t' (т) — о (т)) + Я0и (т) f {t (т),

у (т),

W, (т))] dx =

= (lo\h(t(0\ г/ (0))) + (Z. |Л,(*(1),

i/(l))) +

+ J

I

у ( т), оу,(т), q ( т), Я0) +

[(9(т) 1£/'(т)) —а(т)Я(/(т),

о

+

s (т) (/' (т) — v (г))] dx,

где /0е RSa,

RS|, ? ( ' ) e i l ,

5 ( ' ) е ^ ю. (Отображе­

с L"+l, есть Z.£,+1. Поэтому

s (■) е LM.) При

некотором выборе множителей Я0, /0, / 1;

<7 (т), s (т) функ­

ция Лагранжа должна удовлетворять

условиям, пере­

для производных отображения ф

и функционала (8)

в точке

(/, (•),

//,(•)).

Обозначим

для краткости

Л0 —

<= Л0 (to,,

у» (0)),

Л, =

h{ (tu, у ,( 1)),

H(x) = H(t,(x),

у, (т),

гг>,(т), Я(4.

К)

ит.

Д-

Имеем

^ у { - ) У ( •) =

(hoxlo IУ (0)) +

{h\xl\ \у (1)) +

I

+ j [(Я(т) I У' (т)) -

о. (т) Нх (т) у (т)] dx = 0

(18)

' §

2.5.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ПРИНЦИПА МАКСИМУМА

167

для

всех

у (■) е

Wl, г,

^(.)1(')= Vo IАо/)I(0) + (/,IЛ„)Id) +

+

1

(19)

J[s(t)!'(t) — vt {х) Ht (x)l(x)]dx = 0

0

для

всех

|(

•) е

! и

1

| (v (т) — v, (т)) (Я +

s) dx ^ 0

(20)

о

для

всех

и(

•) е

второе

подынтегральное

сла­

Интегрируя по частям

гаемое

в (18)

иполагая £/(!) = £/ (0) -+- J y'(x)dx,

полу-

h U о +

h\xh -

J и, (т) Нх dx\y(0)\ +

^

о

/

(ri) Нх dr\ Iу' w) dx = 0

+ | ^ (т) + huh — J V,

168

ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ

T,(0 =

min{T€=[0, 1]|*,(т) = *],

/>(0 =

? ( т, (0)>

r(f) = s(T.(/)).

Согласно предложению 1

Р iK(т))= Я(т)>

Г (tt (т)) = s (т)

почти при всех t e A ( o J .

и p(t), получаем в

Применяя предложение 3 к д(т)

силу утверждения а) леммы 2, что

p(t) удовлетворяет

дифференциальному уравнению

p = — Hx {t, x,(t), u,(t),

р, АД

уравнению

АД

(21)

r = ~ H

t (t, x,(t),

u,(t), p(t),

л граничным условиям

Г(0) =

(hot (t0i, xt (t0t))\lo),

1

r(l) =

-(A »(*i.,

jc.(/i.))|/.).

J

( ’

§ 2.5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА

169

ращается в нуль

на системе

(замкнутых справа) полу­

интервалов / л =

( т а , т а + Р а ],

k = \ , 2, ... , устроенной

жении x-*t*(x)

плотен в [/0*, /.*]•

Вот один из способов построения такой функции.

Пусть {£ь £г. •••} — счетное плотное

подмножество

от­

резка -[/о*,/и].

Выберем

числа

Pi >

0, р2 > 0, ...

так,

чтобы 2 Р а =

1/2.

П о л о ж и м

*

. . . Л к

<0.

I

V I

р

2 (#i. — /о*)

^

Z l Plt

0

,

если

т е

1к,

V

(т) ‘

■

2 (/и — /<ь),

если

T<£(J/ft.

к

Проверим, что образ объединения

(J Ik при отображе­

нии

т —> /ф(т)

плотен

в [to,,

4»]

(равенство

/„ (1) =

4«

здесь

очевидно).

Для

этого

достаточно

убедиться,

что

tM(т) =

|/е для всякого

т е Ik.

Заметим,

что тг <

xk тогда

и только тогда,

когда

h < l k

и /, ( * ) = /, (Tft)

Для всех

х е

/ а.

Имеем при t e / t

4

(т) =

to* +

XJ

о. (л) dr\=

О

= /о» +

2 ( / ь — to,) lxk —

2

Рг') =

\

Х1< ТА

/

=

/o, +

2 ( / i * — /о») (^к —

h < h

рл =

V

I

— 4* +

(4* — /о*) у ft ~ 4»

Sft»

что и требовалось.

1* ~ '0.

теперь, что

каждый

полуинтервал

4,

Предположим