книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

дач, означает, что в точке х* функция Лагранжа удов­ летворяет необходимым условиям минимума по х, а ус­ ловие Куна — Таккера, как и в случае выпуклых задач, означает, что функция Лагранжа достигает минимума по и в точке «*. Таким образом, согласно теореме 3, принцип Лагранжа применим к гладко-выпуклым за­ дачам, т. е. необходимые условия минимума в задаче (14) — (17) совпадают с необходимыми условиями ми­ нимума функции Лагранжа при единственном не вклю­

ство коэффициента Я0 нулю. Случай Яо — 0, вообще го­ воря, неинтересен, поскольку при этом необходимые условия никак не связаны с минимизируемым функцио­ налом и определяют только некоторую экстремальную структуру ограничений. Тем не менее применять тео­ ремы удобнее в общей форме. Во-первых, зачастую Яо ф 0, даже если не выполнены условия регулярности. Во-вторых, что особенно важно, прямая проверка не­ равенства Яо Ф 0 во многих случаях проще проверки соответствующих условий регулярности.

Равенство или неравенство коэффициента Яо нулю зависит, в частности, от того, какие ограничения вклю­ чены в функцию Лагранжа, а какие оставлены за ее пределами. Это лучше всего проследить на примере за­ дачи выпуклого программирования. В функцию Ла­ гранжа этой задачи мы не включили ограничение хеЛ . Выше отмечалось, что это ограничение можно задать функционально, например, так: А = {x |/„+i (x ) jC 0}. Однако здесь возможна такая ситуация, когда не су­

жа, то условие Слейтера было бы нарушено и нельзя было бы гарантировать неравенство коэффициента Яо нулю. Итак, стремление обеспечить неравенство коэф­ фициента Яо нулю побуждает отбирать ограничения, включаемые в функцию Лагранжа, так, чтобы условия регулярности не нарушались. Однако, с другой стороны, чем больше ограничений включено в функцию Ла­ гранжа, тем эффективней соответствующее необходимое условие минимума.

Заметим, кстати, что из теоремы 2 следует простое правило определения знаков множителей ’ Лагранжа, соответствующих ограничениям типа неравенства. В за­ даче на минимум их следует выбирать так, чтобы

82 ГЛ. 1. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА

функция Лагранжа стала выпуклой по х. (Это замеча­ ние надо иметь в виду, поскольку в выпуклых задачах часто встречаются ограничения вида g(x) ^z О, где g — вогнутая функция.) Конечно, в задачах на максимум знаки множителей Лагранжа должны быть такими, что­ бы функция Лагранжа была вогнутой. В невыпуклых задачах знаки надо выбирать такими, как будто зада­ ча — выпуклая, и т. д.

Нетрудно видеть, что классы задач, охватываемых теоремами 1 и 2, не пересекаются и, наоборот, теорема 3, по существу, содержит в себе теоремы 1 и 2, хотя и не охватывает их целиком. В самом деле, если в усло­ виях теоремы 3 множество U состоит из единственного элемента, а ограничения f i (х, и) ^ 0, .. ., /„ (х, и) s j О отсутствуют, то мы получаем утверждение, аналогичное теореме 1, но с дополнительным требованием конечной коразмерности. Наоборот, если отсутствует ограничение F(x,u) — О, U есть выпуклое подмножество линейного пространства и функции f0, . . ., /„ не зависят от х и выпуклы по и, то из теоремы 3 следуют все утвержде­ ния теоремы 2, за исключением, конечно, достаточности.

С помощью теоремы 3 можно получить и некоторые

ношение (29) эквивалентно равенству (18) в теореме 3. Далее, поскольку Ф (* * )е £ /, из определения опорной функции следует, что

(</*, Ф (* „)> < sup (у\ u)=s(y*\U),

lie U

т. е. (г/\ Ф (х,)) — s (у' |U) < 0. С другой стороны,

(0, Ф (х.)> — s (01£/) = 0.

Поэтому

где Л = (Xi.........Л„). Предоставляем читателю проверить, что тео­

Пусть выполнены условия теоремы 2, включая условие Слейтера. Для того чтобы вектор х* был решением задачи (9)— (11), необ­ ходимо существование таких не равных одновременно нулю числа Яо 5* 0 и вектора Л е Rn, что

min 3! (х, Ло, Л) = 3 (х „ Ло, Л) == шах 3! (х,, Л0. р).

§ 1.2. Гладкие задачи.

Правило множителей Лагранжа

Сформулированное в предыдущем параграфе пра­ вило множителей Лагранжа содержит условие локаль­ ного экстремума. Поэтому его доказательство строится на использовании метода вариаций. Элементарный характер ограничений в гладких задачах позволяет

/'( x ,) e ( K e r E 'W ) X.

По лемме об аннуляторе из § 0.1 найдется такой эле­ мент у* е У*, что

откуда

Итак, правило множителей Лагранжа в регулярном случае доказано. В процессе доказательства мы сразу получили, что Яо Ф 0. Однако в регулярном случае кон­ станта Яо и не может равняться нулю. Действительно, если Я0= 0, то

(у*, F'{xt)x) = (F'*(x.) f , х} = 0

для всех х ^ X, что в силу условия регулярности влечет равенство у* == 0, а это противоречит требованию тео­ ремы, согласно которому все множители Лагранжа не должны обращаться в нуль одновременно.

*•) Обратимся к вырожденному случаю. Поскольку L — собственное замкнутое подпространство пространства У, аннулятор подпространства L содержит ненулевые эле­ менты (согласно следствию 2 из теоремы Хана — Ба­ наха). Пусть у* — такой элемент. Тогда для всех х е X

§ 1.3. Выпуклые задачи. Доказательство теоремы Куна — Танкера

Этот параграф построен по схеме § 1.2. Как и там, начнем с изучения простейших вариантов задач выпук­

Последнее соотношение есть аналог теоремы Ферма

мы называем выпуклой задачей с ограничениями типа равенств.

П р е д л о ж е н и е 2. Для того чтобы точка х* была решением задачи (2), (3), достаточно, а если функция f непрерывна в некоторой точке из М, то и необходимо, чтобы

df СО ПL1 Ф 0 .

Очевидно, х* будет решением задачи (2), (3) в том и только том случае, когда в точке х* функция S дости­ гает минимума. Сопоставив предложение 1 с теоремой Моро — Рокафеллара (см. § 0.3), получим

0 е df(xt) + d6(x, IМ).

Остается заметить, что дЬ ( x * ] M ) = L i . Предложение доказано.

М = [х <= X |(x*t, x) = ai, i = l , . . . . л}.

Пусть, далее, f(x) — выпуклая функция на X, непрерыв­ ная в некоторой точке множества М. В этих предполо­ жениях точка х* доставляет минимум функции f на мно­ жестве М тогда и только тогда, когда существуют такие числа %i.........%п, что

к........... < } •

1.3.3.Задачи с ограничениями типа неравенств. До­

казательство теоремы Куна — Таккера. Обратимся к за­ даче (9) — (П ) из § 1.1. Пусть х , — ее решение. Рас­ смотрим в Rn+1 множество С, чьими элементами яв­ ляются те и только те векторы (ро, •••, p „ ) e R n+I, Для каждого из которых найдется такой вектор т е Д, что

т. е. х* — не решение задачи.

По теореме отделимости множество С можно отде­ лить от нуля ненулевым линейным функционалом, т. е.