книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

§ 4.2. СУБДИФФЕРЕНЦИАЛ.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ

211

4.2.2. Основные теоремы

о субдифференциалах.

Эти

ку субдифференциал связан

с

локальным

поведением

функции, такие теоремы, конечно,

могут

существовать

только для локальных операций.

n —

Т е о р е м а ' 1. Пусть f i, . . . ,

f

выпуклые собствен­

ные функции на X. Тогда для всякого J ( e l

dfi (*) + ••• + dfn (х) а

д

+

. . . -ф /„) (х).

все функции f1,

. . . , fn, за исключением,

возможно,

од­

ной, непрерывны, то

д / , ( х ) +

. . . +dfn(x) = dtfl+ . . .

+ / „ ) ( * )

( 1 )

циала,

которое было дано в начале параграфа.

Д о

к а з а т е л ь с т в о . Проверка первого утвержде­

то равенство (1) следует из первой части

теоремы.

Пусть

d (fl + f2) ( x ) ¥ * 0

и х* e d ( f l + f2)(x).

Тогда х <=

е

dom (/1 +

f2) =

(dom /Д f) (dom /2). В силу предложения 4

из

§

4.1 функция f[(x;

•) непрерывна

в

точке х — х.

С другой стороны, f2{x\

х — х) ^ f2(Jc) — f2(х) < оо,

т. е.

х — jc e d o m f'2{x\ •).

Таким

образом,

нам

достаточно

проверить,

что

f'2{x; •) — собственная

функция,

ибо

в этом случае теорема 1

из § 3.4, примененная к функ­

циям f[(x;

•) и f'2(x;

•),

дает

dfi{x)

df2{x) =

йот(![(х-, •))* + dom (f' (х;

■))* =

=

dom (tf, +

f2)' (x; -)У =

д (f, +

f2) (x).

212

ГЛ, 4. ЛОКАЛЬНЫЙ ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

Предположим,

что

f'2(x\ z — х) — — оо

для

некоторой

точки z e

l

Тогда

при достаточно

малом А > 0 точка

у — х +

Я (z —х) принадлежит dom f2 и f' (х, у — х) — — оо

(из-за

однородности

/'(х ;

•)).

Для

всякого

O ^ a ^ l

положим х (а) = ах + (1 — а) у.

Тогда

х (a) е

dom /2 и

при а,

достаточно

близких

к

единице, x ( a ) e d o m /1(

поскольку

х е

int (dom /,).

Но

тогда

— оо <

(х\

х (а) — * ) < (fi

+ f2)' (х-, х (a) — х) =

= f\ {X) х (a) — х) +

/' (х) х (а) — * ) <

<f'i(x\x(a) — *)+<*/' (X] х — х) +

(1 — a) f'2 { х ; у — х) = — оо.

Противоречие

доказывает теорему.

Т е о р е м а

2. Пусть А:

X —*■Y — непрерывный линей­

ведлива, если

d(fA)(x) — 0 . Предложим

теперь,

что

f выпукла и

непрерывна в точке Ах, z

e l , и

что

d(fA) {х) Ф 0 .

Очевидно,

(fA)'(x\z)=f'(Ax-,Az). В силу

предложения

4 из § 4.1

функция / '( Ах; •)

непрерывна

меняя к функции f'(Ax; •) теорему 3 из §

3.4,

получаем

а (/л м * ) = д (/'(Л *; •) Л) (0) =

= Л* df' (Ах;

0) =

Л* df (Ах)

пространство и f( s, x) — функция на S y , X ,

выпуклая по

х при каждом s ^ S и полунепрерывная

сверху по s

§ 4.2. СУБДИФФЕРЕНЦИАЛ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ

213

при каждом i

e

l

Положим

f (х) = sup / {s,

х);

S0(x) = {s<=S\f {s,

x) = / (*)}.

s esS

Тогда, каково бы ни было x e l ,

conv (

U

dfs (x)]<=d[(x).

\s

So (x)

I

Если же при всяком

s e S

функция x - * f ( s , x ) непре­

рывна в точке х0,

то

conv /

(J

dfs (х0)\ = д[ (х0)

\s^So(x,)

1

(где через fa(-)

обозначены функции на X, определен­

ные равенствами fs( x ) = f(s, х),

а замыкание берется в

слабой* топологии пространства X*).

соответствую­

Из этой

теоремы,

конечно,

следует

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Функция f (х)

выпукла как

верхняя

грань

семейства!

выпуклых функций.

Если

s e 5 0(r)

и x * e d /s(x),

то

(х*,

z — x ) < / ( s ,

z)

f(s,

x ) < /( z )

— f(x),

т. e.

x* ^ d f ( x ) .

Таким образом,

объединение множеств

dfs(x)

по

всем

s e S 0(i:)

принадлежит

df(x),

а по­

Q = conv /

У

df$ {х)\ сI df (х).

\s^Si(x)

I

Предположим теперь, что функция

f(s,x)

непрерывна

по х

в точке х0 при всех s. Тогда <?/(х0)=И= 0 , поскольку

функция s - * f ( s , x о) конечна

и полунепрерывна сверху,

т. е. S o ^ o )^ 0 , и все множества dfs(x0) тоже не пусты

в силу предложения 3. Предположим,

что

Q ¥ = d f ( x 0),

т. е.

существует х * е д /( х 0),

не принадлежащий множе­

ству

Q. Пространство,

сопряженное

с

пространством

теоремы отделимости (теорема

2

из §

3.1)

следует суще­

ствование такого х ^ X, х Ф 0,

что

<х’ , х) ^ sup {(2 ’ , х) 1z* е

Q} +

е,

е > 0.

(2)

§ 4.2. СУБДИФФЕРЕНЦИАЛ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ

215

Тогда при 0 < f

< *i

получаем,

используя

(4)

и (5),

~ f {s„

х0+ Ux) +

(1 -

■£) f (s„

х0) >

>

f {Sf

Х 0

+

tx) > f (St>

Xo) +

t [fs, K> X) +

8] >

f (s0. x 0+ fix) — f (s0, Xq) _j_ _8_1

или

> / (S /, X q) +

t

11

2 J

f (sOx 0 “ Ь UX)^

/

(So. x0 ~\~ Ux)

f (S„ Xq)

f

( %

Xq) + tfil2.

Так как по доказанному limf(s„

x0) =

f(s0, x0), то

t->о

lim f (st,

x0+

t:x) >

f (s0, Xq+ txx) +

tye/2.

t-*о

Полученное

неравенство

показывает,

что

функция

s —►f (s, Xq-f- tiX)

не

является

полунепрерывной сверху

по s в точке So,

в противоречии

с условиями

теоремы.

Таким

образом,

предположение

о том,

что Q ^ d f ( x 0),

всякой

относительно

внутренней

точке множества

dom f.

Из

теоремы

3 § 3.5 и из

Д о к а з а т е л ь с т в о .

предложения 4 § 4.1 следует,

что

при x e r i ( d o m / )

функция

Г ( х >')

конечна

на

подпространстве

aff(dom/) — х.

Поэтому

в силу

той

же

теоремы 3 из

§ 3.5 ( / '(х;

•))* — собственная

функция,

т. е. д } ( х ) ф 0 .

Предложение доказано.

Каратеодори

можно

доказать

С помощью теоремы

усиленный вариант теоремы 3.

Если в условиях

Т е о р е м а

4 (теорема об очистке).

второй

части

теоремы

Ъ X — R", то

каждый

элемент

у ^ д [ ( х 0)

может быть представлен в виде

У =

а\У\ + . . .

+ агуг,

где г ^

п + 1

н

=

а , > 0 . U i ^ dfs

S£

Sq

^

^>. •••>

216

ГЛ. 4. ЛОКАЛЬНЫЙ ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Нам

достаточно

проверить,

что множество Р =

dfs (х0) ограничено и замкнуто.

Тогда

в силу

seSoUo)

____

следствия

2 теоремы 1 из § 3.5 convP =

= convP.

Из доказательства теоремы 3 следует, что \fx най­

дется

X > 0

такое, что Хо +

Хх е dom f.

Поэтому

dom /'^o; • )=

R" и, так

как f'(х0; •)— собственная вы­

замкнутость множества Р.

Пусть последовательность

Z\, Z2, ... элементов множества Р сходится к некото­

рому г:

sk е 50(х0).

zk е sk(хо)’

ции

б(-|Л)

в точке х. Конусы опорных функциона­

лов

— один

из важнейших классов субдифференциа­

§ 4.3. КОНУСЫ ОПОРНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ

217

П р е д л о ж е н и е

1. Пусть А0, А ........ .. А„ — выпук­

лые

множества в

X,

Л0 П (inMi) П ... Л (int Л„) ф 0 и

А =

Ли П .. . П А п-

Тогда для

всякой тонки, i e / 1

(х |Л) =

JV (jcMo) +

••• + N { x \ A n).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По

условию

б(-|Л) =

= б(-|Л0) + ... +

б(-|Л „)

и функции

6(-|Л,) непре­

рывны в точках

множеств

int Л

i — 1,

1

п. Требуе­

мый результат следует

теперь

из теоремы

предыду­

щего параграфа.

Пусть

/ — выпуклая

собствен­

П р е д л о ж е н и е 2.

ная функция на X, непрерывная в точке xq.

Предполо­

жим, что для некоторого

х{ справедливо

неравенство

/ ( x i ) < f(xo) — cto- Тогда

конус

опорных

функционалов

Если

x’ e d f ( x 0),

то {х\ х — *0Х

/ (х) — / (лгиХ

0 для

всякого

х е Л,

т.

е.

Kan»)<=N(x0\A).

Пусть

теперь

я* е N (д:01Л),

х" Ф 0.

Из определений

отсюда

сразу следует, что линейное многообразие

= ((a, A :)e R X ^ | a =

/ (*о)>

(*',

х — х0) =

0)

пересекающая

int epi /.

Эта

гиперплоскость

не может

быть

вертикальна

(т.

е.

задаваться

уравнением

(,г*,х) = с) в

силу

того, что

/ непрерывна

в точке А'о.

Значит,

она

задается

уравнением а = { у * , х — д0) + ’

следует, что у* — ух*, а из того, что она

опорна к

epi/, вытекает, что y * ^ d f ( x 0). Предложение

доказано.

218

9

ГЛ, 4. ЛОКАЛЬНЫЙ ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

П р е д л о ж е н и е

3.

Пусть Л0,

. . . ,

Ап— выпуклые

множества, int Ахф 0

при i— 1 ........пи Л= Л0Л ...

Л А„,

а)

Тогда следующие утверждения

эквивалентны’.

А0Л (int Л,) Л . . .

Л (int Ап) = 0 ;

N (х0 [ Л(),

i =

б)

существуют функционалы

х\ е

■= О,

. . . ,

п, не равные одновременно нулю и такие, что

Хо Л" Xi

. . .

“j- Хп= 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть выполнено а).

Тогда

существует такой набор индексов iu ..., ir (1

что

(int Л?1) Л . . .

Л (int Л/г) Ф 0 ,

Л Л (int Л^)п . . .

Л (int Л;г) =

0 .

Положим В = Ац л ••■Л Aif. Тогда int В =

(int Л(]) Л •••

. .. Л (int Alf) и, следовательно, Л0Л (int В) =

0 . По пер­

функционалом хо е

X\

т.

е.

<*о,

У)

(1)

для

всех х е

Л0,

у е

В.

Поскольку

х0е Л0Л В,

от­

сюда следует,

что Xq<=N(х0|Л0), — Xo^N(x0\B). В

силу

предложения 1 JV(*o|В) =

N(x01Ati) +

••• + W (л:01Л<г).

Поэтому существуют такие x\k е N ( х 0 1Л г й) ,

k = \, . . . , г,

что

— хЪ— х\-\- . . . +

* }

. Полагая

х\ =

0 при i¥=ik,

от нуля.

Положим С== Л0Л Л, Л ... Л Л*_1 Л Л/+1 Л ... Л Ап.

Если

г =

0 и int С =

0 , то условие а), очевидно, выпол­

нено.

В

ицом случае либо in^*=^= 0 , либо intC=7^ 0 .

Имеем:

—х\ — Хо+ ... + x*i + x}+i + ... + хпе

е ./V (л:0 1Л0) + . . .

+ N (x0 1Л^ _ j) + N (х01Ах+х) + . . .

. . .

+ N { x 0\An)<=N{xa\C).

Отсюда

следует, что

функционал

х} разделяет Ai и С,

220

ГЛ. 4. л о к а л ь н ы й в ы п у к л ы й а н а л и з

G' (х0; х) = Пт

G (х0+ Хх) — О (х0)

A.V0

X

ности нуля

V cz У

найдется такая окрестность U cz X

точки х, что

G' (х0\z) — G' (х0; л ) е У

для всех г е

U.

если отображение G равномерно

Таким образом,