книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

Г л а в а 3

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА

В этой главе изучаются свойства выпуклых множеств и функ­ ций, характеризующие их устройство «в целом». Основные резуль­ таты связаны с возможностью двойственного описания выпуклых множеств и функций, следующей из теорем отделимости (§ 3.1), В дальнейшем наиболее важны теорема о непрерывности выпуклых функций (§ 3.2), теорема Фенхеля — Моро (§ 3.3), теоремы двой­ ственности (§ 3.4) и теорема Каратеодори (§ 3.5). Остальные ре­ зультаты при первом чтении можно опустить. На протяжении всей главы, за исключением специально оговариваемых случаев, предпо­

§0.1 и § 0.3.

§3.1. Выпуклые множества и теоремы отделимости

3.1.1.Определения и элементарные свойства. В § 0.3

мы уже ввели определения выпуклого множества и конуса. Непосредственно из первого определения сле­ дует, что

а) сумма (алгебраическая) конечного числа выпук­ лых множеств — выпуклое множество;

б) пересечение любого семейства выпуклых мно­

жеств — выпуклое множество; в) декартово произведение выпуклых множеств —

выпуклое множество, т. е. если X = Х\ X •••X %п, At — выпуклые подмножества пространств Xt соответственно,

пространства Y, то множества Л(А) и Л-1 (В) выпуклы.

В дальнейшем нам удобнее использовать для обозна­ чения образа и прообраза множеств при линейном ото­ бражении специальные символы. Именно, образ мно-

содержащих множество Л, есть выпуклое подмноже­ ство пространства X, называемое выпуклой оболочкой множества Л и обозначаемое через сопуЛ. Пересечение всех замкнутых выпуклых множеств, содержащих мно­ жество Л, есть замкнутое выпуклое подмножество про­ странства X, называемое выпуклым замыканием множе­

ства Л н обозначаемое через conv Л. Пересечение всех выпуклых конусов, содержащих множество Л и начало координат, есть выпуклый конус, называемый (выпук­ лым) конусом, порожденным множеством А, и обозна­ чаемый К а ■ Пересечение всех линейных подпространств, содержащих множество Л, называется линейной оболоч­

множество, то из определения сразу следует, что всякая выпуклая комбинация любого конечного набора его точек принадлежит множеству Л.

П р е д л о ж е н и е 1. Выпуклая оболочка множества А совпадает с совокупностью всех выпуклых комбина­ ций точек из А.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Непосредственно проверяется, что совокупность всех выпуклых комбинаций точек множества Л есть выпуклое множество. С другой сто­ роны, всякое выпуклое множество, содержащее Л, со­ держит выпуклые комбинации своих точек, в частности, точек множества Л.

следует теперь из определений и предложения 4, приво­ димого ниже.

П р е д л о ж е н и е 3. Конус, порожденный множе­ ством А, совпадает с конусом, порожденным множе­

[jcj, х2], за исключением, быть может, точки х2, принадле­

образом, замыкание выпуклого множества выпукло. Предложение доказано.

3.1.2. Отделимость. В § 0.1 мы сформулировали тео­ рему отделимости, утверждающую, что два непересекающихся выпуклых множества, одно из которых имеет непустую внутренность, можно разделить ненулевым ли­ нейным непрерывным функционалом. С помощью пред­ ложения 4 можно получить некоторое усиление этой

внутренность одного из них, например А, не пуста. Тогда А и В можно разделить ненулевым линейным непрерыв­ ным функционалом в том и только том случае, когда

ционал т*еА '*, разделяющий множества iriM и В, т. е. такой, что {х*, х) (х*, у) для всех . v e in M , у ^ В .

В силу предложения 4 A ciint Л. Поскольку функционал х* непрерывен, получаем, что

ляет множества Л и В, т. е. справедливо соотношение

сти точки х и, следовательно, в Л можно было бы ука­

содержит х. Поэтому найдется такая выпуклая окрест­ ность нуля U, что х + U с : X \ Л, т. е. (х - f U) Л Л = 0 .

т. е. множества А и В принадлежат различным полупространствам, порожденным гиперплоскостью Н(х*,а) = Н (рис. 10). В этом случае говорят, что

гиперплоскость Н разделяет множества А и В.

Из теоремы 2 следует ряд важных свойств отдели­ мых локально выпуклых пространств.

С л е д с т в и е 1. В отделимом локально выпуклом пространстве выпуклое замыкание всякого множества совпадает с пересечением всех полупространств, содержащих это множество.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть A с= X. Поскольку всякое полу­ пространство выпукло и замкну­ то, оно содержит множество А тогда и только тогда, когда оно

содержит convA С другой сто­

роны, если х ф.сог\\ А, то в силу теоремы 2 существует полупро­

странство, содержащее не содержащее точки х.

Доказанное следствие есть, по существу, первая тео­ рема двойственности. Из него следует, что всякое зам­ кнутое выпуклое множество можно описать двояким образом: внутренним, как совокупность принадлежащих ему точек, и внешним, как пересечение всех содержащих его полупространств.

С л е д с т в и е 2. Замыкание выпуклого множества в отделимом локально выпуклом пространстве замкнуто в слабой топологии этого пространства.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Множества линейных функ­ ционалов, непрерывных в исходной и слабой топологии, совпадают по определению слабой топологии. Поэтому все полупространства слабо замкнуты и остается при­ менить следствие 1.

С л е д с т в и е 3 (теорема Мазура). Пусть X — бана­ хово пространство и точка х принадлежит слабому за­ мыканию множества A cr X. Тогда существует последо­ вательность выпуклых комбинаций элементов множе­ ства А, сходящаяся к х по норме.

178ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА

До к а з а т е л ь с т в о . Пусть conv Л — выпуклое за­ мыкание множества А в метрической топологии про­ странства X._Тогда согласно предыдущему следствию

множество conv А слабо замкнуто. Поэтому хесопуЛ =

= conv Л (предложение 2) и, следовательно, существует последовательность элементов множества convЛ, схо­ дящаяся к х по норме. Следствие доказано.

§3.2. Выпуклые функции

3.2.1.Определения и элементарные свойства. В § 0 3

мы определили эффективное множество и надграфик

функции /, а также понятия выпуклая функция, соб­ ственная функция, несобственная функция. Мы будем иметь дело главным образом с собственными выпуклыми функциями.

Однако несобственные функции часто возникают в результате различных операций с собственными, и их нельзя исключать из рассмотрения.

Если / — собственная функция (или хотя бы всюду большая — оо), то для выпуклости функции / необхо­ димо и достаточно, чтобы неравенство

верка этого утверждения не представляет труда. Напи­ санное неравенство называется неравенством Иенсена. Отметим, что, если / — выпуклая (не обязательно — соб­ ственная) функция, то неравенство (1) выполнено для любой пары Xu х2, если только /(*,) и f(x2) не являются бесконечностями разных знаков. Эффективное множе­ ство п все лебеговские множества выпуклой функции выпуклы. Обратное заключение неверно. Например, функция |х|'/г на R имеет выпуклые лебеговские мно­ жества, но не является выпуклой.

Функция / называется замкнутой, если ее надграфик epi/ замкнут в R X X- Условие замкнутости функции (в отличие от выпуклости) можно выразить в терминах лебеговских множеств. Именно, функция f замкнута тогда и только тогда, когда все ее лебеговские множе­ ства замкнуты, т. е. когда функция { полунепрерывна

снизу. Действительно,

= {* е X |(а, л:) е= epi /}.

Поэтому, если множество epi / замкнуто, то и все мно­ жества тоже замкнуты. Пусть, наоборот, все мно­ жества 9?af замкнуты. Имеем

Ясно, что сумма и инфимальная конволюция собст­ венных выпуклых функций — выпуклые функции, однако они могут и не быть собственными. Например, если fi и /г — индикаторные функции непересекающихся вы­ пуклых множеств, то их сумма тождественно равна

друг другу, то их инфимальная конволюцпя тожде­ ственно равна — оо.

Пусть {/v} (v e i V) — произвольное семейство функ­ ций. Функция

называется верхней гранью функций fv, а функция

— выпуклой оболочкой нижней грани функций fv. Верх­ няя грань любого семейства выпуклых функций всегда выпукла, так как ее надграфик равен пересечению надграфиков исходных функций. Выпуклая оболочка ниж­ ней грани любого семейства функций выпукла по опре­ делению. И в этих случаях результирующие функции могут быть несобственными, даже если исходные функ­ ции — собственные.

Пусть Л: X —* Y — линейный оператор, g — функция 11а Y и / — функция на X. Функции gA и Л/, определен­ ные равенствами

(gA)(x) = g(\x),

(Af) (г/) = inf { / (х) |хез X, Ах = у},

называются соответственно прообразом функции g и образом функции / при отображении Л. Как и выше, при этих операциях выпуклые функции переходят в вы­ пуклые, но вообще говоря, собственные функции могут переходить в несобственные.

Функция /, определенная условием

называется замыканием функции /, а функция convf:

epi (conv f) = conv (epi /)

— выпуклым замыканием функции /. Разумеется, замы­ кание выпуклой функции выпукло, но замыкание соб­ ственной функции может быть и несобственной функ­ цией. Отметим еще, что сумма конечного числа и верх­