книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

БО

О. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

этом

xq(x) = xq, т о отображение Нх дифференцируемо

H'x {x0( - ) ) x ( - )

=

(h' (.Vo (т)) |v (т)),

или в координатной форме

(Hx( x o ( - ) x ( - ) ) i ==^J ----- .

’

х1(т),

г = 1 , . . . . т.

i=1

П р и м е р 5. Пусть g t (t, х), . . . ,

gm(t, х) — действи­

руемо по Гато в некоторой окрестности точки

v0(-) и

его производная Гато непрерывна. Поскольку

множе­

§ 0.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

51

ство U открыто,

мы можем указать такое е > 0,

что из

|л:0(^) —.л:| <

е

следует,

что

( t , x ) ^ U .

Если же

1 И - ) — *о(-)11с <

8, ТО

Пт [ Q(*(-) + te( - )) - 0(*(;))l {t) = gx {t>

х {t}) г {t)>

Я-»0 L

A

J

Непрерывность

отображения

х (•) —>•G'r (х ( •))

сразу

следует из

непрерывности

отображения (t, x ) - * g x(t, x )t

ф (t, X,

U) =

(ф! (t, х,

и).........фт (/, .V, и)).

Предположим,

что

вектор-функции xq( •) е C"([YoXi]) и

и0 {•) е

СГ( [f0, ^i])

таковы,

что

(t, xQ(/), иа (t)) е V при

всех t е

[/0, fj.

Рассмотрим

отображение

Ф: Cl ( ft,, #,]) X Сг ( [/0,

Ст( [#о, *,]),

[Ф (х( •), и(

■))](/) =ф(*>

x(t),

и (0),

*0< * < * i -

=

ф х

(t, Х0 (/),

и0(/)) 2 (t) + ф ц (t, Х0 (/), «о (0) W (/).

П р и м е р

7.

Пусть

m(t ,x ,y ) — отображение в Rm,

мая на

[^oXi]

вектор-функция x0(t) такова, что

(t,x0(t),

x0( t ) ) ^ W при всех / е [/о, ti]. Рассмотрим ото­

бражение

М:

С? (ff0, #!])-► С* ([&,/,]),

52

0. ВВЕДЕНИЕ.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

определенное соотношением

[М (х (•))] (/) =

/и (t, х (/), х (/)), / „ < / < # ! .

М — М2° Ми

где Mi— линейное отображение из С" в Сп\ С п:

[Mi(x(-))](t) = (x(t),x(t)),

t0< t ^ t u

а отображение М2: Сп X C n-> C m определяется так:

ь

[М2 (х (•), у (•))] (0 = т (/, x(t),

у (0), to < t <

<i.

[ З х(х ( •))] (/) = L(t, х (t), х (/)),

t0< t < tu

a

3 2(a ( •)) = J a (0 dt.

to

§ 0.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

53

= | [Lx (t, х (t), х (0) 2 (0 + Ly (t,

X (t), x(t)) z (0] at.

и

П р и м е р

9.

Пусть

U — некоторая область

в Rn и

отображение

ф:

^i] X

U

Rm

обладает следующими

свойствами:

при

всяком

^

е [/о, ^i]

отображение

х —>-ф(7, х)

непрерывно дифференцируемо, а при вся­

ком х ^ О

вектор-функция

t —»-ф(/, х)

измерима. (Мы

покажем в гл. 9,

что

в

этих предположениях

вектор-

функция t —*•ф(^, x (i) ) измерима, если

только

вектор-

ствительная функция р (t),

что

лишь только

I Ф*(t,

х) | < р у ­

|x — x0(t) |< е.

Рассмотрим

отображение

Ч': Cn{[to, fi]) -+ L ? ([/“о,

/ij),

определенное

соотношением

[чги - ) ) т = Ф ( ^ * ( 0 ) -

Пусть |х {

■) — х0{ ■) Не <

е.

Тогда при достаточно

ма­

лых Х > 0

|ГУ(*( . ) +

Я г ( 0 ) - У (*(-)) j

(t)

_i_

/V

J Фх (t, X(/) + lz (0) 2 (it) d\

< P (01 2(0

к

§ 0.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

55

из Сп в L” . Однако,

если

х ( ■) ^ W u u

то

IU(-)llc<^!l-v(-)llr-

Поэтому

отображение Р2:

тоже

дифференци­

руемо по

Фреше. Сопоставляя результаты примеров 1

и 9, приходим к выводу, что отображение F дифферен­

цируемо по Фреше и

•

[F' (*о(•)) z ( ■)] (0 =

г (0 - Ф* it, хо (0) г (f).

0.2.6. Регулярность

функционалов

и

отображений.

ке Хо. Оно регулярно в точке х0

тогда

и только

тог­

да, когда векторы f[ (х0), . . . , /'

(л;0)

линейно

неза­

висимы.

очевидна. Докажем

Необходимость этого условия

66

0. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Тогда каков бы ни был вектор £ = (£*,

|n) e R ” ,

т. е. множество значений отображения F'(x0)

есть R".

П р и м е р

14. Рассмотрим то же отображение, что и

в примере 5,

предполагая однако, что т = 1.

Если это

чае, когда g x(t, x0(t)) ф 0

при

всех t <= [/0, ^].

Необходимость этого условия очевидна. Наоборот,

если gx(t, x0(t) ) ф 0 при

всех

t<=[tQ,t i],

то функция

\/gx(t, xo(t) ) непрерывна

по условию и

какова бы

ни

была функция ф ) е С ( [ ( 0,(|]),

V O ) z ( - ) ] ( 0 = = z ( 0 ,

т. е. производная G'(x0(-))

отображает

C([ta, ^])

на

С ([^о, М) •

подробно

и полно выпуклый анализ изучается в гла­

вах 3, 4.

Всюду в этом параграфе X — отделимое ло­

0.3.1. Выпуклые множества и

функции.

Отрезком,

соединяющим точки х х и х2 из X,

называется множество

[х,, х2] = {х е X \х = а*! + (1 — а) х2, 0 ^

а ^ 1}.

жество К а X

называется конусом, если из

л е К сле­

дует, что

при всяком %> 0. Конус К будет вы­

пуклым тогда и только тогда, когда из х^ е

К и х2^ К

§ 0.3.

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

57

следует,

что

Xi +

*2 ^

К.

Действительно,

если К — вы­

пуклый

конус, то

* 1 +

*2=72 (2 *i+ 2*2) с : К. Наоборот,

если конус

К содержит

суммы

своих

элементов,

то

a x i + 0 — a)x2e / ( , лишь

только

Х\^.К, х2 ^ К,

0 ^

1.

Важный пример выпуклого конуса в R" —

зывается собственной, если dom / ф 0 и f(x) > — 00 для

всех х.

Функции, не являющиеся собственными, назы­

ваются

несобственнымм.

Функция /

называется выпуклой, если множество

epi / выпукло

в пространстве R X X-

П р и м е р а м и

выпуклых функций являются:

аффинная

функция

/ (х) == (х*, х) + a

(х' е X '\ a e R ) ;

Роль субдиффереициалов в выпуклом анализе подобна роли про­

изводных в классическом анализе. Если функция f дифференцируема

по Гато

в некоторой точке, то легко показать (и это будет показано

в гл. 4),

что ее субдифференциал в этой точке содержит единствен­

<5II х Л— { x * g

X* |!|х’ ||= 1, (х*. х) = |х ||}.

Действительно,

если

(х\ х) =

||х||, ||х*||=1,

то

||г||^

^ (х*, г) для всякого

z <= X и,

значит,

II 2 II — ||Х||>(Х*, 2 — X),

т. е. х*ед||х||. Наоборот, если х*еЗ||х||, то

— IIJcII =

110II — ||х||Хх*,-0— .х> =

— (х\ х),

IIх||=

||2хII — ||х||Хх‘ , 2х — х} — (х*, х>,

откуда ||х||= (х*, х)

ц для

всяких

г е 1 ,

Я >

0

|Яг +

х||-||х||>(х*, Яг),

т. е.

2 +

I — ^ II х | (х , г ),

откуда при Я -> оо

следует,

что

II2 1|^

(х* г)

для всех 2 е Х ,

т .

е.

||х*||< 1 .

Но поскольку

{х*,х) =

— ||х||, необходимо,

чтобы ||х*|| =

Е

Субдифференциал индикаторной функции 6(х|Л) не

пуст в любой

точке

х е ф

ибо,

если

х е Л ,

то 0 е

ед 6 (х | Л ). Вообще же по определению

<56(х|Л) =

(х * е = Г | ( х \ г - х ) < 0 ,

У г е Л ) .

$ 0.3. ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

59

сом множества А в точке х

и обозначается N(x\A).

В частности, если А — L есть подпространство, то

d6(x\L) = N(x\L) =

Lt .

Субдифференциал функции (X =

R)

—

I — х2,

если

|х | 1,

/(*) =

оо,

если

|*|>1,

в точке х — 1 пуст. Однако,

если функция f непрерывна в точке х,

то ее субдифференциал в этой точке не пуст

(см. § 4.2).

x - * f ( x , у) и y - + f ( x , y ) .

и f2—

0.3.3. Теорема М оро— Рокафеллара. Пусть f i

выпуклые собственные функции на X. Тогда

д (fi + /2) (х) df{ (х) + <Э/2 (х).

(1)

д (f1 +

/2) (х) =

dh (х) + df2 (х)

(2)

для всех х.

что

d/Дх) и df2(x) суть множества в X*

Напомним,

и выражение

dfi (х) -)- df2(х)

означает алгебраическую

мы двух дифференцируемых функций.

(1) сразу

следует

Д о к а з а т е л ь с т в о . Включение

из определения субдифференциала.

Докажем

второе

суммы x* = xj + x*, где x , e d f , ( x ) ,

x'2^ d f 2(x).

Допустим для определенности, что функция Д непре­

рывна в точке х0, принадлежащей

dom /2. Тогда внут­

ренность множества e p i / i c R X ^ ,

очевидно, не пуста.

(В самом деле, по заданному е > 0

мы можем выбрать