книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

мальных задач огромна. Наш список не претендует на полноту."В нем собраны наиболее известные монографии, учебники и обзорные статьи, а также некоторые работы, непосредственно связанные с из­ лагаемыми в книге вопросами.

Упомянем сначала несколько работ, посвященных осмысливанию с общих позиций принципа максимума Понтрягина, в которых раз­ виваются общие концепции теории экстремальных задач и которые в наибольшей степени повлияли на отбор и характер материала в книге: Гамкрелидзе и Харатишвили [1]—[3], Гирсанов [1], Дубовицкий и Милютин [1]—[4], Нойштадт [2], Пшеничный [4], Рокафеллар [5], [6], [9], [14], Халкин [4], Хестенс [3].

Для ознакомления с темами, оставшимися за пределами книги, отсылаем читателя к монографиям Варги [4], Экланда и Темама [1] (расширения и скользящие режимы), Габасова и Кирилловой [1] (особые режимы), Моисеева [1], Пшеничного и Данилина [1], Сеа [1] (численные методы).

К § 0.1. Материал параграфа изложен во многих учебниках и монографиях: Данфорд и Шварц [1], Колмогоров и Фомин [1], Лю-

стерник и Соболев [1] и др.

К § 0.2. Более подробно о дифференциальном исчислении см. в книгах: Дьедонне [1], Картан [1], Люстерник и Соболев [1], Шварц [1]. Обзор современного состояния предмета см. в статье Авербуха и Смолянова [1]. Теорема Люстерника доказана в работе Люстерника [1]. Наше доказательство — обработка доказательства, изложен­ ного в книге Люстерника и Соболева [1]. О сжимающих многознач­ ных отображениях см. Надлер [1].

К§ 0.3. Выпуклый анализ комментируется в конце гл. 4.

К§ 0.4. Подробнее о дифференциальных уравнениях см. в кни­ гах: Картан [1], Коддингтон и Левинсон [1], Сансоне [1] и в статье

Филиппова [2].

Г л а в а 1

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА

§§ 0.2 и 0.3.

§1.1. Постановки задач и формулировки основных теорем

Л 1.1.1. Гладкие задачи с ограничениями типа равенств. Правило множителей Лагранжа. Пусть X и У— банаховы пространства, f — функция на X и F: X —►Y — отображение X в У. Рассмотрим задачу

равенств. Задачи вида (1), (2) мы будем называть

гладкими задачами с ограничениями типа равенств,

если функция f и отображение F удовлетворяют неко­ торым требованиям гладкости.

Пусть функция f и отображение F дифференцируемы по

найдутся такие не равные одновременно нулю множите­ ли Лагранжа Яо и у*, что

74 ГЛ. 1. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА

Если же отображение F принадлежит классу Сi в точ­ ке х* и является регулярным отображением в этой точ­ ке, то Ко Ф 0 и можно считать, что Ко — 1.

Уравнение (3) будем называть уравнением Эйле­

димое условие локального экстремума в задаче (1),

(2) при некотором выборе множителей Лагранжа сов­ падает с необходимым условием безусловного миниму­ ма по х функции Лагранжа. Итак, для задачи (1), (2) верен принцип Лагранжа.

Пусть имеет место регулярный случай. Условие (2)

иуравнение (3) означают тогда, что решение задачи х»

имножитель Лагранжа у* удовлетворяют следующей

системе уравнений:

Таким образом, здесь правило множителей Лагранжа утверждает, что выполнено условие стационарности функции Лагранжа по совокупности переменных (х,у*), ибо в регулярном случае множитель Лагранжа Ко ра­ вен единице. Если оба пространства X и У конечно­ мерны, скажем, X = Rm, Y — Rn, то написанная выше система есть система m + п уравнений с m + п неизве­ стными. Такая система имеет, вообще говоря, лишь изо­ лированные решения. Это последнее обстоятельство и составляет алгоритмическую суть правила множителей

Лагранжа.

Отметим два специальных случая задачи (1), (2). Пусть пространство У конечномерно. Тогда, как легко понять, задача может быть записана в такой форме:

лежат классу С1 в точке х*, удовлетворяющей усло­

но следует из теоремы, поскольку всякое подпростран­ ство конечномерного пространства замкнуто и, как уже

линейную независимость функционалов f\, . . . , . Другой специальный случай возникает, когда ото­

бражение F распадается на регулярное отображение в

бражение F принадлежат классу Ci в точке х*, удов­ летворяющей равенствам (7), (8). Предположим, кро­ ме того, что отображение F регулярно в точке х„. Тогда, если точка х* есть точка локального минимума в задаче

(6) — (8), то найдутся такие не равные одновременно нулю числа Ко, . . . , Кп и вектор у*, что

Vo (д) + ••• + К К (Д) + F' (д) У*= °-

Следствие 2 тоже немедленно вытекает из теоремы 1, если принять во внимание, что всякое подпространство банахова пространства, имеющее конечную коразмер­ ность, замкнуто.

неравенств. (Соотношение (11) не имеет функциональ­ ного характера, хотя и может быть записано в функ­

ограничения (11), мы можем по-разному составлять функцию Лагранжа задачи (9) — (11). Главным обра­ зом, мы будем иметь дело с функцией Лагранжа, в ко­

Условия экстремума в задачах выпуклого програм­ мирования можно записывать в двух почти эквивалент­ ных формах: в нелокальной форме (см. ниже теорему Куна — Таккера) и в локальной форме, с помощью субдифференциалов. Это связано с тем фактом, что в таких задачах всякий локальный экстремум является и

задач выпуклого программирования принцип Лагранжа справедлив даже в усиленной форме: функция Лагран­ жа достигает в точке х* абсолютного минимума при ог­ раничениях, не включенных в эту функцию. Смысл ус­ ловий дополняющей нежесткости в том, что отличны от нуля лишь те множители Лагранжа, которые соот­ ветствуют ограничениям, существенным в данной точке

X — отделимое локально выпуклое пространство и все функции U, •••> fn непрерывны в некоторой точке мно­ жества А (хотя они могут и не быть всюду конечными). Пусть далее точка х* удовлетворяет условиям (10) — (11). Если х * — решение задачи (9) — (11), то найдут­ ся такие не равные одновременно нулю множители Ла­

где ЛГ(х,|Л) = д6(х,|Л) — нормальный конус к множе­ ству А в точке х *. Если, кроме того, выполнено условие Слейтера, то КоФО и можно считать, что Ко= 1. В по­ следнем случае написанные соотношения не только не­ обходимы, но и достаточны для того, чтобы вектор х , был решением задачи.

дифференцируемы, X — Rm и выполнено условие Слей­ тера, уравнение Эйлера — Лагранжа совместно с усло­ виями дополняющей нежесткости образуют систему из ш -j- п уравнений с т + п неизвестными, т. е. мы снова приходим к замкнутой системе, где число уравнений совпадает с числом неизвестных. Этот факт отражает алгоритмическую сущность теоремы Куна — Таккера.

В конце параграфа мы снова вернемся к задачам выпуклого программирования и сформулируем теорему Куна — Таккера в форме теоремы о седловой точке, ко­

пуклости по и, точно формулируемым ниже.

Нас будут интересовать необходимые условия ло­ кального минимума в задаче (14) — (17). Однако в данном случае содержание термина «локальный мини­ мум» требует уточнения, поскольку множество U не предполагается топологизированным. Мы скажем, что