книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

ь (0 = J q (т) dx + р (t) = J Lx \х (т)dx + L* L VY

Переходим к третьему этапу вывода уравнения Эйлера.

Л е м м а Л а г р а н ж а . Пусть функция a(t) непре­ рывна на отрезке [to, t\\. Предположим, что для любой непрерывно дифференцируемой функции x(t), обра­ щающейся в нуль на концах отрезка {to, ti], выполнено равенство

| a(t)x(t)dt = 0.

и

Тогда a(t) = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу непрерывности функ­ ции a(t) достаточно проверить, что a ( t ) = 0 во внутрен­ них точках отрезка [4, Д|. Предположим, что в некото­

положительного числа а. Возьмем теперь любую неот­ рицательную, но не тождественно равную нулю финит­

Применив теорему о среднем из интегрального исчисле ния, получим:

Мы пришли к противоречию. Лемма доказана.

положении) представима в виде (4). Сопоставив эти два факта с леммой Лагранжа, приходим к выводу, что

гранжа.

Отметим, что при выводе использовались вариации

для любой непрерывной функции v(t), в среднем рав­ ной нулю, выполнено равенство

%2, лежащие внутри отрезка [f0, fi], для которых Ь(х\)ф ф Ь ( тг), скажем, < т2 и & ( t i ) > 6 ( t 2 ) . Выберем

Это соотношение называют уравнением Эйлера в форме Дюбуа-Раймона.

Первое слагаемое в последнем соотношении можно продифференцировать, откуда вытекает, что и второе слагаемое является непрерывно дифференцируемым.

ный минимум в задаче (1), необходимо, чтобы было выполнено уравнение Эйлера в форме Лагранжа:

— -jf Lx (t. х, (t), xt (t)) + Lx (t, xt (t), x. (/)) = 0. (6)

Функции л:* (t), вдоль которых выполнено уравнение Эйлера, называются экстремалями.

Приведем несколько частных случаев, когда у урав­

уравнение Эйлера допускает интеграл энергии:

H(t) = p (t) xt (/) — L (x, (t), xt (0) =

= Ex (x, (t), xt (/)) i . (0 — L (xt (t), xt (t)) = H0 = const.

Следствия 1 и 2 непосредственно вытекают из (6). Для доказательства следствия 3 надо взять производную

нулю.

циальное уравнение (6) второго порядка. Общее ре­ шение этого уравнения зависит от двух произвольных

где, в отличие от задачи (1), нет краевых условий, но функционал имеет терминальные слагаемые.

Этапы доказательства те же. В предположении о не­ прерывной дифференцируемости всех входящих в (8) функций, легко проверить, что для функции x*(t), ле­ жащей в области дифференцируемости ф0, г|ц и L, у функ­ ционала 33 существует первая вариация и она равна

6Я (*.( •),*(•)) =

= Фо (*. (to)) X (to) + ф1 (х , (*,)) X (t{) + М (х , (• ), X (• )) =

Если хт(t) есть решение задачи (8), то очевидно, что

На подпространстве L0, введенном нами ранее, первые вариации и Ы7 совпадают и, следовательно, в силу предложения 1, Lk | (t) = р (/) есть непрерывно диффе­

ренцируемая функция и выполнено уравнение Эйлера

(6). Интегрируя по частям выражение (9) для первой вариации функционала 6&(xt (-), *(•)) по Лагранжу и

воспользовавшись уравнением Эйлера, мы приходим к тому, что

слабый локальный минимум в задаче (8), необходимо,

скраевыми условиями

РОо) — Lx \Xt (U) — оФ' {Х. 0о))>

то мы придем к уравнению Эйлера, имеющему в век­ торной записи вид (6). На самом деле это — система п уравнений второго порядка:

где i — 1, . . . . п. Общее решение этого уравнения за­ висит от 2п параметров, которые «тратятся» на удов­ летворение краевых условий.

Аналогично дело обстоит и с простейшей векторной задачей Больца, когда в (8) х (•) е С? ([/0, ^]), -ф0: R" -* R, -ф): R "-> R , L: R X R” X Rra—►R. Здесь снова уравне­ ние Эйлера имеет в векторной записи тот же вид (11)

даче (1), г ( - ) е Д Совершенно аналогично тому, как это было проде­

лано нами в примере 8 из § 0.2, показывается, что функционал / в (13) дифференцируем по Фреше в про­

Уравнение Ферма f'(0) — 0 равнозначно тому, что

Проинтегрировав первое слагаемое в (14) по ДюбуаРаймону и воспользовавшись тем, что в качестве функ­ ции y ( t ) = х (/), х ( - ) е L0, можно взять любую непре­ рывную функцию, в среднем равную нулю, мы полу­ чим, что линейный функционал в пространстве С ([/о, ti\), равный

Jt, q (т) dr + р (t) = l 0, t

аэто и есть уравнение Эйлера.

Всилу отмеченного обстоятельства простейшая за­ дача вариационного исчисления есть бесконечномерный аналог задач на отыскание безусловного экстремума функций нескольких переменных. Но вместе с тем в за­

дачах вариационного исчисления возникают дополни­ тельные в сравнении с классическим анализом эффек­ ты, связанные со спецификой этих проблем. Переходим к иллюстрациям.

Пр и м ер 1. Решение уравнения Эйлера сущест­ вует, единственно и доставляет абсолютный экстремум в поставленной задаче-.

мум в поставленной задаче.

П р и м е р 2. Решение уравнения Эйлера существует, единственно, дает слабый экстремум, но не дает силь­

120 ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ '

Здесь уравнение Эйлера таково: ~ (Зх2) = 0. Един­

ственное решение, удовлетворяющее граничным усло­ виям: x * ( t ) = t . Пусть функция x(t) принадлежит про­ странству Ci([0, 1]) и х(0) = х(\) — 0. Тогда функция x*(f) + * (0 является допустимой. Мы получаем:

доставляет слабый локальный минимум в поставленной

Остается заметить, что функции hn(t) сколь угодно близки к нулю в метрике С([0, 1]), если п -> оо . Полу­ чилось, что сильного экстремума здесь нет и inf = г = — оо. Причина первого явления — невыполнение уело-