книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

Для уравнения

X = ф (t, X, 1>)

разрешима в окрестности точки (т, лс*{т)), вектор-функ­ ция xk(t) определена и на отрезке [т — X, т], если X до­ статочно мало.

Коль скоро управление ы*(0 непрерывно в точке т, оно непрерывно и в некоторой ее ^-окрестности. Поэто­

Точно так же

xk( x ) = x t (т — X) + Яф(т — X, Х ' ( т — Х), v) +о(А).

Отсюда следует, что предел

Х 1 (т) — А, (т)

у(т) == lim

л^ о

существует и равен

На отрезке [т, t\)I иих*(. (-•), , ииххлгх(-()-) удовлетворяют урав­ нению

х = q>(t, х, н,(0)-

Из теоремы о непрерывности и дифференцируемости решения дифференциального уравнения по начальным данным следует, что при достаточно малых X > 0 век­ тор-функции xk(t) определены на [т, Л], сходятся равно­ мерно к х*(/) и предел

152 ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ

Переходя к пределу при А | 0, получаем

t

y(t) = У (т) + J Ф* (s, х. (s), и. ($)) у (s) ds. X

(Переход к пределу под знаком интеграла возможен, поскольку ф непрерывно дифференцируема по х, а u„(t)— ограниченная вектор-функция.) Таким образом,

у{1) есть на [т, решение уравнения

У= ф*0> *„(0» и * ( ( ) ) У

сначальными условиями (18).

Имеем при t ^ т

торых мы ранее не упоминали. Ограничимся простейшей вариационной задачей. Читатель при желании может проделать соответствующие выкладки для задач более общего вида.

Итак, рассмотрим простейшую задачу

и предположим, что функция х*(/) (непрерывно диффе­ ренцируемая) доставляет сильный минимум в этой за­ даче. Можно переписать задачу в форме задачи

Сопряженное уравнение имеет вид

Р = А0Аа. (/, xt {t), X' (/)),

а из принципа максимума следует (поскольку ограни­ чения на и отсутствуют), что

но, написанное соотношение должно выполняться при

Далее, из принципа максимума следует, что почти при всех t

т а x(p (t)u — L(t, xjt), и)) = р (t) ujt) — L (t, x jt), ujt)). U

Это равенство, очевидно, выполняется во всех точках непрерывности функции н*(0> т. е. при всех t. Прини­ мая во внимание формулу (20), получаем

L(t, xjt), u) — L(t, xjt), xjt)) —

— (и — i (t)) Lx (t, x. (t), x, (0) > 0

при всех t и и. Мы пришли к условию Вейерштрасса. Эти рассуждения позволяют, в частности, сделать

вывод о том, что обычно используемое в вариационном

исчислении требование непрерывной дифференцируемо­ сти экстремальной функции является излишним. Те же соотношения выполняются (но уже не при всех, а только почти при всех t), когда экстремальная функция абсо­ лютно непрерывна, а ее производная ограничена.

В частности, с помощью условия принципа максиму­ ма легко получаются необходимые условия Вейерштрасса — Эрдмана для так называемых ломаных экс­ тремалей. Действительно, если сильная минималь х*(/) имеет кусочно-непрерывную производную, то уравнение

ная терпит разрыв первого рода). Во всех точках не­ прерывности i* (0 верна формула

Согласно принципу максимума, гамильтониан непреры­ вен, отсюда следует, что

i . (т — 0) Lk(т, х, (т), х, (т — 0)) — L (т, х, (т), х, (т — 0)) =

будучи решением сопряженного уравнения, непрерывна,

U (т, лг. (т), X, (т — 0)) = Lk (т, х, (т), X, (т + 0)).

Эти два соотношения называются условиями Вейер­ штрасса — Эрдмана. Они характеризуют возможные значения разрывов производных у ломаных экстрема* лей. Для простейшей векторной задачи условия Вейер­ штрасса— Эрдмана пишутся совершенно аналогично.

В заключение скажем несколько слов о канониче­ ских уравнениях. Мы уже отмечали, что в задаче опти­ мального управления фазовая траектория и решение сопряженного уравнения удовлетворяют системе урав­ нений

Предположим теперь, что лагранжиан L простейшей задачи вариационного исчисления дважды непрерывно дифференцируем и удовлетворяет усиленному условию Лежандра: Lkk > 0, т. е., в частности, — это выпуклая функция по последнему аргументу. Тогда по теореме о неявной функции в окрестности каждой точки

(/, x*(t), i * ( / ) ) уравнение

p = Li(t, х, и)

однозначно разрешимо относительно и, т. е. суще­ ствует такая непрерывно дифференцируемая функция u(t, х, р), что

p = Lk {t, х, u(t, х, р)),

II {t, х, a(t, х, р), р) =

= ри (I, х, р) — L (t, х, и (t, х, р)) = Ж (t, х, р).

Последнее соотношение определяет так называемое

преобразование Лежандра функции L по последнему ар­

р(-) являются решениями такой системы уравнений:

дЖ . дЖ

Х==Т ^ ' Р = - ~ д 7 -

Полученная система уравнений первого порядка, оче­ видно, эквивалентная уравнению Эйлера, называется

мального управления с помощью принципа максимума можно встретиться с самыми различными ситуациями. Для линейных задач с ограниченным множеством управлений типична ситуация, когда существует един­ ственный допустимый управляемый процесс, удовлет­ воряющий принципу максимума, и этот процесс

и максимум функции Н достигается при ц = — 1. Вообще же, в задачах оптимального управления

можно столкнуться с теми же ситуациями, что и в вариационном исчислении: отсутствие решения, суще­ ствование множества допустимых процессов, удовлетво­ ряющих принципу максимума и являющихся или не являющихся оптимальными и т. д. Тот факт, что в за­ дачах оптимального управления часто рассматривают ог­ раниченные множества допустимых управлений, может породить (и порой порождает) иллюзию, будто реше­ ния в таких задачах непременно существуют и всегда могут быть найдены с помощью принципа максимума. Эго, конечно, неверно. Для иллюстрации рассмотрим пример, который позволит нам заодно обратить внима­ ние на весьма важное явление — скользящие режимы.

к чему не сходится. Такие последовательности назы­ ваются скользящими режимами.

Итак, задача не имеет решения. Предлагаем чита­ телю проверить, что ни один управляемый процесс не

Мы не можем воспользоваться здесь правилом множи­ телей Лагранжа из-за ограничений, наложенных на уп­ равления, и из-за невозможности дифференцирования