книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

§

5.1. ЛОКАЛЬНО

ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ

241

Из (10) и (13) сразу следует,

что taj + а/ (0 > 0

при

всех t <= (0, *],

так что

Ф(х,

ta-\- а (t)) — F(х, v (х,

ta +

а (/))),

откуда,

полагая

x(t) = X' +

tx +

x (/),

й (/) =

v(x (t),

ta + а (/)),

получаем в силу

(9)

F(x(t),u(t)) =

0.

(16)

С другой

стороны,

из

второго

неравенства в усло­

вии б г )

следует,

что

при 1 е [ 0 ,

/]

и всех

1 — 0,

п

Й (0 Х Ы *(0 . «0 +

т

+

2

+

а у ( 0 ) (fi {х( 0 , « ; )

—

ft ( * ( 0 ,

« . ) ) +

/= 1

+

б

(||

+

х

( 0 1| +

2

( / а / +

а ,

( / ) ) ) .

(1 7 )

Согласно (10)

и (13)

*-1 ||л:(/) 11<сг. Поэтому

в силу

(12)

при 0 < t ^ min (t,

а )

ft(■х (t),

и ) <

f, (*..

м.) + * (ft(х

*) + с).

(18)

2 (ta{ +

a, (t)) (ft (х (t), й/) —ft (х (t), и,)) =

т

= t 2 а

j(ft(x„

« ; ) — fl(X„

« . ) ) +

J = 1

т

+

2 « /

(0 (/< (*.,

й,) — ft (х„

и.)) +

т

/=1

+

2

(taj + ajitytfiixit), йj) ft (х„ й,) —

/=!

§ 5.1. ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ

243

Далее,

коль скоро 0 е

int В, как

и

в

§

1.4, можно

выбрать

векторы х х<= X

и у х, . . . ,

yt

из

сот F (xt, U)

Fx(*., и.) х, + ух+ . . .

+ г/, = 0.

Тогда для каждого

номера

s = l ,

. . . .

I найдутся числа

ysI >

0, . . . .

ysms >

0,

в сумме

равные единице, и точки

us.......... usms

из и

такие, что

ms

iJs='%i VsiF(x.,

us]).

Поэтому линейная

оболочка множества

Д) U iF (*..

usj) l-s = 0,

. . . .

/;

/ =

1.........ms)

совпадает

с

У и

I

m s

Fx (*.. «.) ^ 1 + 2

2 YsjF (х„

usj) = 0.

(25)

S=1

/= 1

Наконец, воспользовавшись соотношением (24) и

не­

прерывностью функций х -* -/'(х >(

м ; х), можно выбрать

такое

число е >

0,

что

при

всех

/ = 0, 1, . . . ,

k

т 0

f'i (*.>

h

+ ex,) +

2

То/ (fi (*.>

ti0j) — fi (*„ «.)) +

l

m s

+

e 2

2

Уsi (fi (*„> «*/) — fi (*,-

«.)) <

o.

S=1

/= 1

При этом

в силу (23) и (25)

т о

Fx (х,,

и,) (х0+ ех,) +

2

Уо1 (F (х.,

u0J) — F (х„ «,)) +

г

+

е 2

2 ySi( F( x„ Usj) — F(x„

и . )) =

0.

s=l

/=1

Таким

образом,

набор,

образованный

вектором

Xo +

exi, точками

«оь •••, Щт,

из

U и числами у01, . . .

•••>

Yom9'

еУц’ •••>

8Y/OT/i

Обладает

требуемыми свой­

ствами (5) — (7).

Теорема полностью доказана.

244

ГЛ. 5. ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ

ч

3

(х (•), и (•)) =

J / (t, х,

и) dt - » inf;

(1)

х = ф(/,

х, и),

(2)

и е

U,

(3)

М *('о)) =

М *(М ) =

0,

(4)

gi(t,

x(t))*^ 0, / е

[/„,/,],

fe.

(5)

/: R X R" X Rr —> R,

gr R X R " - > R

и отображения

Ф: R X R rtX R r - > R n, hp

R“ -*R*i ( / = 1 , 2)

множества U.

2,

сформулируем

принцип

максимума

Как и в

гл.

Понтрягина

в двух

эквивалентных

формах — гамильто­

новой и лагранжевой. Введем снова функцию

Понтря­

гина

H(t, х, и, р,

А,0) = (р|ф(*,

*. u))— k0f(t,

X,

и)

и гамильтониан

2#(/,

х,

р,

А,0) = sup

H(t,

х, и, р, ко).

u^U

§ 5.2. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

245

Т е о р е м а

1

(принцип

максимума

в

гамильтоновой

форме). Пусть (**(•).

«*(•))— оптимальный управляе­

мый процесс

в задаче

(1)

— (5).

Тогда

существуют не

равные

одновременно

нулю

число

К0 ^

0,

векторы

10«= Rs\ U е

вектор-функция

р( - ): [/<,, /i]-*

Rn

и

неотрицательные регулярные меры р{,

i =

1,

k, на

[f0, ti], сосредоточенные

соответственно

на

множествах

Ti

[*0| f,] |gi (t, xt (/)) =

0},

такие, что

р(-)

является

решением

инте­

а) вектор-функция

грального уравнения

p(t) = - h i ' ( x j t l))h +

ft

*i

11

+ [ Пх(х, x,{x),u,(x),p{x),‘k0)dx~

J

gix (t, xt (т)) й?рг (6)

t

<=i t

и

(7)

p{to) =

h ? (x ,№ lo ,

б) почти при

всех

t

из [/0, ^i]

выполняется

равен­

ство

H (t,

х, (*), и, (t), р (0, Л„) =

Ж (t,

{t), р (t),

А0).

(8)

Уравнение

(6), как и в задаче без фазовых ограниче­

шений (6)

и (7),

lim

p (t)

=

-

hi* (х, (/,)) h +

S gix (tu x, (/,)) ji, ({*,]);

(9)

t < t \

i = 1

lim

P (0 =

Л6* (x, (t0)) to +

2

(/o,

*. (*o)) M’i ({^o))i

(Ю )

t - * t „

i =

i

т. e. p(0 может

иметь

разрыв в

точке

t0.

Если

же

gi(ti,

x,(ti)) <

0

и

gi (t0, х, (tQ)) <

0,

то точки

t0 и

tx не

принадлежат

ни

одному из множеств Tt, рЛ{^о)) =

= Hr((М) = 0, p(t)

непрерывна в точках

/0.

U и выпол­

нено

условие

трансверсальности

р (to) =

ho (х, (to)) to,

p{ti) = — hi(x,(U)) l\.

представляет

собой

Сформулированная теорема

еще одну реализацию принципа Лагранжа.

Если запи­

сать функцию Лагранжа

задачи

(1) —

(5)

в виде

2

= do I ho (X(to))) +

(/, 1A, (x (*,))) +

fL

+

j

[(p (t) I * (0 — Ф (*, * (0. u № + hfi {t, X (t), и (/))] dt +

и

k

t x

+ У)

J gi(t, X (t)) dpt,

анализируя

доказательство

теоремы

1

в

следующем

параграфе.

Поэтому теорема

1 допускает такую эквива­

лентную формулировку.

максимума

в

лагранжевой

Т е о р е м а

1' (принцип

форме).

Пусть

(дс,(•),«*(•)) — оптимальный управляе­

мый процесс в задаче (1) —

(5). Тогда существуют та­

кие не равные

одновременно нулю число Ко ^ 0, векто­

ры /0 е

Rso,

Zie=Rs‘, вектор-функция

ограниченной ва­

■ ^ - = 0 .

-ff- =

uqp

(11)

Если

(*(т), у {т ))— некоторое

решение

этой

системы,

соответствующее

управлению

(и(т),

w {т)),

и при

этом

о ( т ) > 0 ,

то

^(т)— строго

возрастающая

непрерывная

функция. Обратная ей функция, обозначим ее

т (t),

тоже непрерывна и возрастает.

В этом

случае x(t) =

— y ( i ( t ) ) — решение

уравнения

(2'),

соответствующее

управлению u(t) =

w (x(t) ) , и при этом

<ш

1

J

f ( t , x (t),

и (t)) dt =

J v (т) / (t (т),

у (т),

w (т)) dx.

(12)

t (0)

о

Так как о(т)

всюду больше нуля, эти утверждения три­

виальны.

Наоборот,

если x (t) — определенное

на отрез­

ке [г'о, ^i] решение

уравнения

(2'),

соответствующее

управлению u.(t),

то

(ti — t0)x,

t(x) =

t0 +

y(x) =

x(t(x))

— решение системы

(11), соответствующее управлениям

v ( x ) = t i — to,

w(x) =

u(t(x)),

и при

этом

справедливо

равенство

(12).

Поэтому

t. (т) =

tQ, +

(ti* — to*) т,

г/, (т) =

(t, (г)),

Vt (х) = о, =

tu — to*,

w, (т) =

ut (tt (т))

— оптимальный управляемый

процесс в задаче

J

1

(1")

vf(t,

у,

w)dx->\ni\

О

=

и,

=

шр (t, у,

w) ,

(2")

у >

0,

w e

и,

(3")

Ло(*(0),

У (0)) =

h, (t (1), у (1)) =

0,

(4")

gi(t{x), y{ т ))< 0 ,

t e [ 0 ,

1],

i = \ .........k.

(5")

§ 5.2. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

249

Н (/, х, и,

v, р,

q, А0) =

=

(р Iиф (t, х, и)) +

q v — l avf (t,

х, и) =

— v(H(t,

х, и,

р, А0) -|- q),

(13)

где H — функция Понтрягина в задаче (1') — (5'). Поло­

жим далее

А( = | т е [ 0 ,

Ш & М т),

У.(т)) =

0},

г = 1 , . . . ,

k.

Р (т)== — h\x {t, (1), y A i ) ) h

+

+ Ji Н,(/,(£),

у, (|), w, (|), »„ p(l), q (|), Ao)dg —

J Six (t*

yM))dfii,

1=1 T

9(t) = — {h\t(K (1).

y , ( l ) ) \ h ) +

i

+ / Н/ (/. (|),

y, (|).........A0) di -

P(0) =

Л5, (/. (0),

У. (0)) /о,

q (0) =

(hot (t, (0), y, (0)) |/0),

H (t. ( т ) ,

y„ ( t ) , w, ( t ), v„ p ( t ) ,

q ( t ),

A3) =

=

шах H (tt (т), у, ( t), u, v, p{x), q (t), A0).

250

ГЛ. 5. ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ

Пусть

т. (0 — функция, обратная /, (т), т.

е.

t - t n

\ (0

*0*

h* ~ Ч*

Тогда,

если

обозначить

p ( t ) = p (т. (t)), q(t) =

q (т. (0),

= [t е [*о*> 1и\ |Si {t, х, (/)) =

0} =

f.(A <),

i = 1, . . . , k,

и определить меры рг формулами

h*

Ф (0

1

V4>(•) S

С ([/0*, /и])

J

= JФ (*.(*)) 4+

*1*

р (t) =

-

h\x (/,„

х, (/u)) /i+ |

Нх (1, х. (|), и. (£), р (|), ho) d l -

t

k

^ы

’ S

I

Sixit,

x,{D)d\ii',

(14)

q(t) =

— (hu(h*,

x* (/i«)) 11\) +

< = i

t

ft

t[ф

+ J

(£>■*■* (l)>

•••» h o ) d ^

J

S i / (£> x t (£)) d p i,

(1 5 )

t

p (to*) =

г=1 <

box (to*,

x* (+)) /о,

(16)

q (to*) =

(hot (to*,

X, (to*)) |to),

(17)

vt (H (t,

x, (/), u, (t), p (t),

ho) + q (0) =

=

max v (H (t,

x, (/),

u,

p (/),

hQ) + q (/)).

(18)

ue= С/

v > 0

Из (18) следует, что

Я (t,

х, (t), и, (t),

p (t), h0) =

max Я (/, x, (t),

u, p (t), h0),

(19)

net/