книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

Субдифференциал функции / мы вычислили в предыду­ щем пункте. Он образован всеми регулярными неотри­ цательными мерами на Т, имеющими единичную норму и сосредоточенными на множестве Тх. Осталось вычис­ лить оператор, сопряженный с G'. По определению для всяких z ( - ) ^ C n(T), р , е ( С ( Г ) )*

<*(•), О7’ (*(•)) Ц> = < 0 ' ( * ( - ) ) 2 ( - ) , р) =

= / (gx(t, x{t))\z{t))d[i,

т

откуда и следует требуемый результат.

Комментарий к гл. 3 и 4. Теория выпуклых множеств ведет свое начало с работ Минковского [1], [2]. Эта теория изложена в моно­ графиях Боннезена и Фенхеля [1], Валентайна [1], Рокафеллара [14] (гл. 1 и 2), Эгглстона [1].

Теория сопряженных функций началась с работ Фенхеля [1], [2], хотя преобразование Лежандра было определено еще в XVIII веке. Окончательное оформление выпуклого анализа произошло в 60-е годы после работ Бронстеда [1], Моро [1]—[5], Рокафеллара [1] и др. Наиболее полное изложение конечномерной теории содержится в монографии Рокафеллара [14], где имеются богатая библиография и подробные сведения исторического характера. Обзоры бесконечно­ мерных результатов содержатся в лекциях Моро [9], Асплунда [1] и статье Иоффе и Тихомирова [3].

За пределами перечисленных работ находится теорема об очист­ ке из § 4.2. Такого рода теоремы возникли в теории приближений, причем первый намек на подобный результат содержится в статье Чебышева [1]. Варианты теоремы об очистке, близкие по форме к на­ шей, содержатся в работах Гольштейна [2], [4] и Пшеничного [4]. О дальнейших обобщениях см. работу Иоффе и Левина 111 где имеются дополнительные ссылки на литературу.

Г л а в а 5

ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ И ПРИНЦИП МАКСИМУМА

ДЛЯ ЗАДАЧ С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

В этой главе мы продолжаем изучение необходимых условий экстремума, начатое в первой и второй главах. Задачи, рассмотрен­ ные в § 5.1, удовлетворяют более слабым условиям гладкости и вы­ пуклости по сравнению с гладко-выпуклыми задачами из § 1.1. Тео­ рема, доказанная в § 5.1, распространяет на эти задачи экстремаль­ ный принцип для гладко-выпуклых задач. С помощью этой теоремы в §§ 5.2, 5.3 доказывается принцип максимума Понтрягина для задач оптимального управления с фазовыми ограничениями. При первом чтении эту главу можно пропустить.

§5.1. Локально выпуклые задачи

5.1.1.Постановка задачи и формулировка основной теоремы. Пусть X и У — банаховы пространства, U —

А" X U в Y- В этом параграфе мы будем рассматривать задачи, по форме совпадающие с гладко-выпуклой за­

В гл. 1 предполагалось, что участвующие в фор­ мулировке задачи функции и отображения удовлетво­ ряют в окрестности экстремальной точки определенным условиям гладкости и выпуклости. Однако, сопоставляя доказательство экстремального принципа для гладко­ выпуклых задач с результатами, полученными в § 4.4, нетрудно заметить, что это доказательство останется без изменений и в случае, когда функции x -* ft(x ,u ) предполагаются не гладкими, а только регулярно ло­ кально выпуклыми. Более внимательный анализ дока-

что и условие выпуклости в формулировке экстремаль­ ного принципа тоже может быть ослаблено. В этом параграфе доказывается теорема, обобщающая экстре­ мальный принцип для гладко-выпуклых задач в указан­ ных направлениях, а в §§ 5.2—5.3 извлекаются следст­ вия из этой теоремы, относящиеся к задачам оптималь­ ного управления. Оказывается, что замена условия гладкости функций x - * fi(x , и) условием их регулярной локальной выпуклости позволяет распространить прин­ цип максимума Понтрягина на задачи оптимального управления с ограничениями на фазовые координаты, а ослабление условия выпуклости позволяет дать дока­ зательство принципа максимума, не использующее ис­ кусственных приемов типа замены времени.

Как обычно, нас будут интересовать необходимые условия локального минимума в задаче (1) — (4). Тер­ мин «локальный минимум» понимается здесь в том же

жение х —* F (х, и) дифференцируемо, то и функция Ла­ гранжа локально выпукла по х. Через dxfi и дх3? обоз­

лению z в точке х. Символом 2 ,п в этом параграфе обоз­ начается такой m-мерный симплекс в Rm:

гп

—2 (af — a;) (F (х„ и,) — F (х., и,)) |<

принцип Лагранжа, т. е. найдутся не равные одновре­

(Проверим, что эта теорема действительно обобщает теорему 3 из § 1.1. Условия в) в обеих теоремах одина­ ковы. При выполнении условия а) теоремы 3 из § 1.1 условия а) и а'), очевидно, выполняются. Наконец, условие б) теоремы 3 из § 1.1 влечет условие б): чтобы удостовериться в этом, достаточно выбрать v(x, а) так, чтобы выполнялись соотношения

т

F (х , v (х, a)) = F (х, и.) + S сс7 (F (х, Uj) — F (х, и,)),

т

ft (X, V (х, а)) < fi (х, и,) + 2 а, (/,• (х, u,) — fi (х, иJ),

и воспользоваться условием а).)

Доказательство теоремы строится по той же схеме, что и доказательство экстремального принципа для

Обозначим, наконец, через Л линейный оператор из X X Rm в У> определенный следующим образом:

т

А (х, а) = Fx (xt, и,) х + 2 cty (F (*., fy) — F (*„ «,)).

В силу условия б) для всяких (х, а) и (х', а') из об­ ласти определения отображения Ф справедливо нера­ венство

|Ф (х, а) — Ф {х', а') — А (лг, а) + Л (х', а') |=

==||F (х, v (х, а+)) — F (x't v {х', а' +)) — Fx (*,, и,) (х — х')-~

- 2 («,+ - О ( Г ( * . , « , ) - f (* .. «.)) II <

< 6 I U - * ' I I + 2 | а + - а ; + | <

Ф и оператор Л удовлетворяют условиям обобщенной

240 ГЛ. 5. ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ

Такое б заведомо существует, так как по условию ау > 0, j = 1.........т .