книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

Уравнение (22), т. е. уравнение Эйлера второй ва­ риации функционала ЗД х)-)), называется уравнением Якоби задачи (1). Уравнение Якоби — линейное диффе­ ренциальное уравнение второго порядка. Предположим, что выполнено следующее строгое неравенство:

A(t) = Lu (t, xt (t), xt (t)) > 0.

Это неравенство называется усиленным условием Ле­ жандра. Пусть это условие выполнено. Уравнение (22) можно переписать так (предположения относительно L

нх* позволяют это сделать):

—А (0 х — A (/) х + (В (t) — С (0) х = 0,

или

Для таких уравнений имеет место теорема существова­ ния и единственности для задачи Коши. В частности, решение Ф(^Д0) уравнения Якоби с краевыми усло­

виями Q>(t0, t0) = 0, Ф (/0Дс) = 1 существует и един­ ственно.

Нули этого решения, отличные от точки to, называют

точками, сопряженными с точкой t0.

П р е д л о ж е н и е 5. Для того чтобы функция х*(/) доставляла слабый минимум в задаче (1) (при предпо­ ложениях относительно гладкости L и х*(-), при кото­ рых было выведено предложение 4, и при выполнении усиленного условия Лежандра), необходимо, чтобы на интервале (to, ^i) не было точек, сопряженных с точ­ кой t0.

Это условие называется необходимым условием Якоби,

134 ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ

при этом по теореме о среднем из дифференциального исчисления

Значит, существуют такие Ха и е0, что Ж (h (•; Аэ, т, еи))<0. Остается «сгладить» h (t, Х0, т, е0). Предложение 5 до­ казано.

§2.3. Задача Лагранжа. Уравнение Эйлера — Лагранжа

Вэтом параграфе выводятся уравнения Эйлера — Лагранжа для задач классического вариационного ис­ числения с ограничениями. В основе вывода лежит пра­ вило множителей Лагранжа, доказанное в гл. 1. Отрезок [*о, t\] в этом параграфе предполагается фиксированным.

2.3.1.Задача Лагранжа в разрешенной форме без фазовых ограничений. Рассмотрим следующую экстре­ мальную проблему:

3 (х ( •), и (• )) = | / (t, х, и) dt -> inf;

Мы видим, что здесь дифференциальные ограничения имеют разрешенную форму и фазовые ограничения от­ сутствуют. Будем считать, что выполнены стандартные для классического вариационного исчисления требова-

нпя гладкости, а именно, предположим, что отображения

f: R X R " X R ' - > R . q>: R X R" X Rr R"

непрерывно дифференцируемы по совокупности перемен­

содержащих точки х, (/,), г' = 0, 1. При этом (х, (t), ut (t))

L: R X R" X Rn X Rr X R" X R -> R.

Эту функцию будем называть лагранжианом задачи (1).

Функцию % = 2 (х ( • ) . « ( • ) . Р ( •). /о. Л. Ю-

Совокупность уравнений (2) и (4) называется урав­ нением Эйлера — Лагранжа задачи (1). Приведем раз­ вернутое выражение полученных уравнений. Уравнение

(2) в развернутом виде имеет форму дифференциаль­ ного уравнения в векторной форме:

(На самом деле это система п уравнений.) Его назы­ вают сопряженным уравнением. Соотношения (3) суть краевые условия для уравнения (2'):

Они называются обычно условиями трансверсальности.

Наконец, уравнение (4) имеет вид

В теореме 1 снова находит свое подтверждение принцип Ла­ гранжа. Составив функцию Лагранжа 9?, мы пишем затем необхо­ димые условия экстремума для задачи без ограничений:

9S-> inf.

Если в этой последней задаче зафиксировать «»(/), то полу­ чается простейшая векторная задача Вольца и соотношения (2),

(3) находятся в полном соответствии с предложением 2 предыду­ щего параграфа, где мы вывели необходимое условие для простей­ шей задачи Больна. Далее, если в функции Лагранжа зафиксиро­ вать x*(t), то мы получим по и простейшую векторную задачу, где лагранжиан не зависит от й. Уравнение (4) написано в полном соответствии со следствием 1 из предложения 1 предыдущего пара­ графа.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1. Задача (1) от­ носится к числу гладких задач, к которым применимо правило множителей Лагранжа (теорема 1 из § 1.1). Покажем это.

В силу того, что в теореме речь идет о слабом экс­ тремуме, мы нашу задачу должны рассматривать в про­

§ 1.1. Все функции и отображения, входящие в форму­ лировку задачи (1'), являются непрерывно дифферен­

дифференцируемость которого была доказана в при­ мере 6 из § 0.2, и линейного непрерывного функционала:

t,

З 2 (Е) = / С(0 dt, Sfr С ([/0, /,])-> R,

дифференцируемость которого была установлена в при­ мере 1 из § 0.2. Приведем формулу для производной функции /о(2):

дифференцируемость которого была доказана в при­ мере 6 из § 0.2. Таким образом, F (z) является диффе­ ренцируемым отображением и его производная равна:

[F' (г.) г] (/) = х (t) — А (() х (t) — В (/) и (t),

А (t) = <рх (/, * (0, и. (/)), В (/) = ф„ (t, х. (0, и, (0).

Наконец, отображения Л, (г), i — 0, 1, являются диф­ ференцируемыми в силу доказанного в примере 4 из § 0.2, и их производная равна

в г*. По определению понятия регулярности это озна­

Ф(t,x,u), и в силу того, что (х*(0> м+( / ) ) е С" X Сг, по­ лучаем, что матрицы A(t) и В(() непрерывны. Восполь­ зовавшись теоремой 1 из § 0.4 о разрешимости системы линейных уравнений, мы получим регулярность отобра­ жения F.

Теперь применим правило множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа задачи (Г):

& = l 0f0(2) + (у\ F (2)> + (/„ |Я0 (г)) + (/, |Я, (г)). (8)

В соответствии с правилом множителей Лагранжа най­ дутся такие множители Лагранжа у*, /0, /[, Я.о, что в точке 2, выполнены соотношения

Соотношение (10) можно переписать по-другому:

п/,

tc,

Проинтегрируем по частям слагаемые, содержащие под знаком интеграла x{t):

J (Aua (t) |.v (0) dt =