книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

Г л а в а 2

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА В ЗАДАЧАХ КЛАССИЧЕСКОГО ВАРИАЦИОННОГО

ИСЧИСЛЕНИЯ И ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

сического вариационного исчисления и принципа максимума Понтрягина для задач оптимального управления; § 2.2 и п. 2.4.2 посвя­ щены независимому от гл. 1 элементарному выводу важнейших необходимых условий минимума для простейших классов задач вариационного исчисления и оптимального управления.

§2.1. Постановки задач

2.1.1.Функционалы, ограничения, граничные усло­ вия. Мы будем рассматривать лишь одномерные задачи, когда независимое переменное t, называемое иногда

где ф: R X Rn X R X Rrt -> R, называются терминальными.

Наконец, встречаются функционалы смешанного вида

З'з(*(•). и(-)) = 5гЛх(-), М - )) + З Д ( - ) ) , (3)

где 3\ — интегральное, а — терминальное слагаемое. Ограничения, с которыми мы столкнемся, будут дво­ якого рода. Это — либо функциональные соотношения,

выражаемые равенствами и неравенствами:

G, (/, х (t), х (0, и (0) = 0,1

где Gp R X ^ 'X ^ X R " -> R ft', t == 1> 2, либо нефунк­ циональные соотношения, например:

становится обыкновенным дифференциальным уравне­ нием относительно х. Всякое его решение, соответствую­ щее управлению «(■ ), называется фазовой траекторией, а пара (х(-), и( - )), связанная уравнением (7), назы­ вается управляемым процессом.

Граничные условия задаются выделением в прост­ ранстве R X Rn X R X Rn некоторого множества Г, ко­

и мы получим, что

^2 = ф (<1, *(/,))

Особенности задач классического вариационного ис­ числения состоят в следующем. Во-первых, в задачах классического вариационного исчисления все функции, входящие в описание задачи, предполагаются гладкими,

по меньшей мере — непрерывно дифференцируемыми.

С другой стороны, там отсутствуют нефункциональные ограничения вида (10). (Эти обстоятельства позволяют относить задачи вариационного исчисления к числу гладких задач, о которых речь шла в п. 1.1.1.) В зада­ чах же оптимального управления нефункциональные ограничения играют весьма существенную роль. Само по себе множество U(t), задающее ограничение (10), может иметь самую разнообразную природу, например, оно может быть дискретным множеством. Это делает не­ естественным рассмотрение в задачах оптимального управления гладких и даже непрерывных управлений,

авместе с этим и допущение о гладкости отображений G\, G2 в (9) и т. д. по управлениям и. Так что стандарт­ ные допущения в задачах вариационного исчисления —

непрерывная дифференцируемость по всем переменным,

ав. задачах оптимального управления— непрерывность по совокупности переменных и гладкость по перемен­ ным t u x . Задачи оптимального управления будут реду­ цированы к гладко-выпуклым задачам, о которых речь

шла в п. 1.1.3.

Приведем несколько примеров частных задач, ук­ ладывающихся в общую схему.

сического вариационного исчисления. Поставленные выше задачи обладают все еще неопределенностью, ибо не описан класс допустимых элементов. Задача Ла­ гранжа (13) — (16) с фиксированным временем в рам­ ках классического вариационного исчисления будет ис­

||-Hi, норму же в пространстве С, если мы хотим сопо­ ставить ее с нормой в пространстве Си иногда обозна­ чаем II-Но-) Исследование простейших задач проводится

в банаховых пространствах С\ ([^0, / t]).

Локальный минимум в пространстве С" X Сг в слу­ чае задачи Лагранжа (или в пространстве С" в случае

если она удовлетворяет ограничениям (14) и (15) и граничным условиям (16).

Совершенно аналогично определяется слабый мини­

II * ( ' ) — * .(• ) 11о < е»

выполняется неравенство

Д ( * ( - ) , д ( - ) ) > Д ( х . ( . ),«. (•)) .

Аналогичным образом определяется сильный мини­ мум для простейшей векторной задачи (12).

Но мы будем в термин «сильный экстремум» вкла­ дывать несколько расширенное толкование, которое свойственно этому понятию в задачах оптимального управления. Об этом речь пойдет в следующем пункте.

2.1.4. Допустимые управления и управляемые про­ цессы в задачах оптимального управления. Оптималь­ ные процессы. Уже упоминалось, что требование непре­ рывности управлений во многих случаях не является естественным. Нередко из самой постановки задачи вы­ текает необходимость рассматривать более широкий класс допустимых управлений. Иногда в качестве тако­ вого берут класс кусочно-непрерывных управлений. Мы же будем обычно рассматривать в качестве допустимых

произвольные ограниченные измеримые управления, принимающие значения из множества U(t).

При таком выборе допустимых управлений требуется уточнить понятие управляемого процесса. Процесс (x(t),u(t)) называется управляемым на отрезке |Y0, t\], если на этом отрезке функция u(t) — допустимое управ­ ление, х (t) — абсолютно непрерывная вектор-функция, удовлетворяющая почти всюду уравнению (14):

X(t) = 4>(t, x(t), u{t)).

В понятие допустимого управляемого процесса вклю­ чается и отрезок времени, на котором этот процесс рас­ сматривается. Таким образом, управляемый процесс,

(Vfe=[f„, *,]П[*о., ti,]) имеет место неравенство

2 ( x ( - ) , u ( - ) ) ^ V ( x t ( •), « .(О ).

ского вариационного исчисления), в расширенное по­ нимание сильного минимума вкладывается следующий смысл. Проиллюстрируем его на векторной задаче клас­ сического вариационного исчисления.

Мы говорим, что вектор-функция x„{t) доставляет сильный минимум в задаче (12), если существует е > 0 такое, что для всякой функции x(t)<= WS.,i([^o, *ij)> удов­ летворяющей граничным условиям и неравенству

||*(-)— М- ) 1 1 о < е ,

имеет место неравенство

§ 2.2. Элементарный вывод необходимых условий экстремума для простейших задач классического вариационного исчисления

В этом параграфе мы даем вывод необходимых ус­ ловий Эйлера, Вейерштрасса, Лежандра и Якоби, ис­ пользуя самые элементарные средства. Наши рассуж­ дения всюду основаны на непосредственном примене­ нии метода вариаций.

2.2.1.Элементарный вывод уравнения Эйлера. Нач­

нем с простейшей задачи с закрепленными концами:

Предположим, что функция L(t,x,y) непрерывно дифференцируема в некоторой области U пространства R3. Задачу (1) будем исследовать на слабый экстремум, т. е. — в пространстве Ci([/o,^]).