Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

15.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 497 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

60	0. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
такую	окрестность U точки х0,	что	\|/i(z) — fi(x0) \|< е
для всякого z ^ U . Но тогда множество
	{(a, z ) e R X I \| c i > ) :i (£о) +		в, z е= U}
открыто и содержится в epi/i.)		Рассмотрим в R X ^
два множества (рис. 1)
С,	={{ а, z ) € E R X X [ a ^ f l (x + z ) - f l (*)},

С2= {(а, г) е= R X X |а < (х\ z) — f2 (х + г) + f2(*)}.

Множество Ci есть сдвиг надграфика функции fu имен

но,

Ci = epi/, — (f (л;), х).

Поэтому С] выпукло и int Ci = 0 .			Выпуклость второго
множества тоже непосредственно			следует из выпукло
		сти функции /2- Наконец,
		множества		Ci	и	С2	не
		пересекаются,			ибо	ина
		че в некоторой точке z
		выполнялось бы неравен
		ство
		(х\ z) — f2(x + z) +
		+ f2 ( x ) > f i ( * + z ) — fi (х),
		противоречащее			предпо
Рис.	1.	ложению		о	том,		что
По теореме	отделимости	х* <=d(/i +		/2) (*)•		можно
		множества С, и			С2

разделить ненулевым линейным непрерывным функцио

налом,	т. е. существуют такие р е				R и	е	X*, что либо
Р=Х=0,	либо х\ ф 0 и
	sup	(Ра +	(х\, z}) <	inf	(ра +		(х*, z)).	(3)
	( a .z ) e C i			(a, z)(=C 2
Очевидно, P ^		0, так как при p >			0 верхняя грань в (3)
равнялась бы		+ ° о ,	а нижняя грань равнялась бы — оо.
Кроме того, р ф 0,			ибо при р = 0		неравенство (3)			при
нимает вид
		sup	(xl, z) ^	inf		(*ь	г).
	zsdomft—х			zedomfj-*

5 0.3. ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

Последнее соотношение, однако, противоречит условиям

теоремы. В самом деле, х* ф 0, так как р =						0. Поэтому
	<ЛгТ, ЛГо— х) <		sup	(xi, z ) <	sup	{x\, z)
			z i = U ~ x		2 f=domf,-*
и, следовательно,
	inf	(r[, z) ^ (л:*, x0— x) <			sup	(a:*, z).
z e dom f2—X					z e dom f,—x
Итак,	p < 0	и без	ограничения общности			можно	счи
тать,	что р =	— 1.	Таким	образом, доказано, что			мно

жества Сх и С2 отделены гиперплоскостью a — {x*,z) = = 0 (см. рис. 1). Тогда из (3) следует неравенство

sup [(*;, z) — /, (х + z) — /, (x)] <

< inf [(*; — х*, z) + /2 (х + z) — f2(x)l

При z = 0 выражения в квадратных скобках как в ле вой, так и в правой частях неравенства обращаются в нуль. Поэтому

fi (x + z) — /, (х) > (х\, г)

для всех z <= X и, если обозначить х\ = х >— х\, то f2 (x + z) — f2 (х) > (х*, z)

для всех	2 G I Первое соотношение означает, что
x * e d /j(x ),	второе — что x\^.df2(х). Теорема доказана.

Теорема Моро — Рокафеллара по индукции распро страняется на любое конечное число слагаемых. Имен но, если fu . . . , fn — выпуклые собственные функции на

X, то

д (f1 + . . . + fn) (х) =>dfl ( x ) + . . . - f dfn (x)

для всякой точки х. Если же в некоторой точке, принад лежащей пересечению эффективных множеств всех функций f ь ... , все они, за исключением, быть мо• жет, одной, непрерывны, то

d ( h + . . . +fn)(x) = d f i ( x ) + . . . + d f n(x)

для всех х.

62 0. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§ 0.4. Дифференциальные уравнения

Нам придется иметь дело с обыкновенными дифференциальными

уравнениями вида	ср (t, х),	(1)
* =	ср (t, х),	(1)
где ср — отображение некоторой	области V c R X R "	в простран

ство Rn. Как правило, мы не будем предполагать отображение ф не прерывным по совокупности переменных, как это обычно делается в большинстве руководств по теории дифференциальных уравнений. Поэтому все утверждения в. этом параграфе сопровождаются пол ными доказательствами.

Решением уравнения (1) мы будем называть всякую определен ную и абсолютно непрерывную на некотором интервале Т векторфункцию x(t), если ее график принадлежит области определения К отображения ф и если почти при всех t выполняется соотношение

х(0 = ф (t, x(t)).

0.4.1.Линейные уравнения. Начнем с изучения линейных

уравнений	(2)
х — A (t) х + a (t),

где <->А (t) — отображение отрезка [<0, ^i] в пространство 3? (Rre, Rre)

линейных операторов из R" в					Rre,	a	a (t): [?0, U\			R” — вектор-
функция.	Отображение			t-> A (t)	называется измеримым, если для
всякого	i e R "		вектор-функция		t^ -A (t)x измерима,					и суммируе
мым, если,		кроме того, суммируема действительная								функция t ->
—> \|\|Л(ОН1, где через \|•\|обозначена норма в пространстве 3S (R”, R”),
(Для суммируемости отображения						t -> Л (t) необходимо и доста.
точно, чтобы были суммируемы действительные функции (Л (t)											\|еД
i, j = 1,	...,	п,	где {еи .. . , еп) — некоторый базис						в Rre.)
Л е м м а		1.	Предположим, что отображение t^ -A (t) и вектор-
функция a(t)		суммируемы на отрезке						Тогда	для всякой		век
тор-функции г( ■) е Сп([^о. ^i]) и					всякого т е			[fo.^i]	существует одна
и только одна вектор-функция х(-) е						Cn([fo,^i]) такая,				что для всех
t е= [t0, ti]				t
			x V ) = z	(t) + J [A (s) x (s) +				a (s)] ds.			(3)
				x
Д о к а з а т е л ь с т в о . Оператор						Q:
						t
x ( - ) - > [ Q x ( - ) ] ( t ) = z ( t )					+	\|	[A (s) x (s) +		a (s)] ds
					x
отображает пространство Cn ( [rfo, ^i])							в себя. Положим
с (0 =		\|\|A (Oil.		C (t) = Jt	c (s) ds,			c 0 = C (/,) - C (<0).

§ 0.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

Име'ем

|[q*i (-)h o - [ q*2(-)] (o k

| с (s) I Х\(s) — х2(s) I ds

<\ С (01 Щх,

(• ) - х 2 (- )||_ ;

(ОНО-№***(ОНО К

[Qx2(•)] (01

J С (s) |[Q : {•)] (s) —

< I U l ( 0 — лг2 ( 0 IIc • J c(s)C (s)

= 'hc2 (0 их, ( 0

- *2 ( Ollc;

I [Qm2fi (•)] ( 0

— lQmx2(•)] (01 <1

Ic (ОГ *1 (0-

(•)llc < cm Идс, (■)-**(•)llc.

t . e.

\\Qmxl ( - ) - Q mx2 (.)\\c < - ± - \ \ X i { - ) - x 2(-)\\c .

Ho c™jm\ < 1

при

достаточно большом

m, т. e. m-я степень ото

бражения

Q — сжимающая. Требуемый

результат следует теперь

из принципа сжимающих отображений.

и вектор-функция

Т е о р е м а

Пусть

отображение

a(t) удовлетворяют условиям,

указанным в формулировке леммы 1.

Тогда для

всяких

z e R” ,

т е

[t0, 0]

на

отрезке

[0 ,0]

существует

единственное решение x(t)

уравнения

(2)

такое,

что х(т) = г.

Д о к а з а т е л ь с т в о

следует

из леммы

если

положить

z(i)s=z.

С л е д с т в и е .

Рассмотрим отображение

( [^о>М) ->

-> L” ( [/0, 0 ]) .

определенное формулой

\Рх (•)] (0 =х (0 —Ф(/, х (/))•

Лредположим, что в некоторой окрестности графика вектор-функции

ха(•) <= Wfi ( [?0, 0 ])	отображение	(t, х)-*- ср(/, х)	удовлетворяет
условиям, указанным в	примере 9 из	§ 0.2. Тогда	отображение Р.

регулярно в точке Хо(•).

Д о к а з а т е л ь с т в о . В примере 9 из § 0.2 было показано, что отображение F дифференцируемо по Фреше в точке Хо(-) и что его

производная в этой точке есть линейный оператор из №[*] в L lt дей ствующий по формуле

IF' (*o(-))*(‘)HO=iW-A(0*(0.

64	0. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

где Л (0 = фх(*. *о(0)- По теореме 1 уравнение

х — A(t) х — y{t)

имеет решение (принадлежащее по определению IF" J при всяком

[/0. 0] )> а это и означает регулярность отображения F.

Решение уравнения

(2), удовлетворяющее в

точке

условию

х(х) = z ,

будет в дальнейшем обозначаться через

x(i\x,z).

Из

оп

ределения и из теоремы 1 сразу следует равенство

х (Р, х, х (т; s, z)) =

х (t\

s, z),

(4)

справедливое для всех t, х, s из [О, 0],

z s R".

что а(/) =

Предположим, что уравнение (2)

однородно, т. е.

Тогда, очевидно, для всех z, zlt г2 из Rn, A e R ,

x (/;

т,

Xz) — Xx (t\ t, z),

x (t; t, Z\ + z 2) = x

(t\ x, zi) +

x (t; r, z2).

Другими словами, отображение z -> x{t\X,z)

линейно, т. e. для каж

дых t, х из [<о, ti] существует однозначно определенный линейный

оператор R(t,x): Rn -*-R" такой, что

x(t\x,z)— R{t,x)z. При этом

R(t,t) = 1

(тождественный

оператор)

для

всякого t е

[tQ, /,]. Ото

бражение

(t, т) ->-R(t, т)

называется

резольвентой

однородного

уравнения

x =

A (t)x .

(5)

П р е д л о ж е н и е

Пусть R(t,x) — резольвента уравнения (5).

Тогда

отображение

t~+R(t, т)

является решением

дифференциаль

а)

ного матричного уравнения

(6)

с начальными условиями R(т) =

б) для всяких t, т, s

из IU, ti] справедливо равенство

R (/, х) R (т, а) =

R (t, s).

В частности, R(t,x) R(т, t) =

/, т. е.

R~l (t,x) =

R (x,t);

в) если Q (t, т) — резольвента однородного уравнения

г/ =—

л* (/)гл

(О

то

R~l (0 т) = Q' (t, т).

Уравнение (7) называется обычно сопряженным с уравне нием (5).

	§ 0.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ						65
Д о к а з а т е л ь с т в о ,			а)	По определению	для	всякого z e R ”
R(t, т) z = z +		J Л (s) R (s, т) 2 ds = \|^7 + J			Л (s) R (s, t) dsj		г,
откуда	следует,	что		t
				t
		R(t, т) =	7 + J Л (s) R (s, t) ds.
				X
б)	Согласно	равенству	(4)	для всякого z e R *
R (7, s) z = x (7; s, z) — x (7;			т, x (t; s , z )) =
откуда			=	R (7, t) a (t; s , z ) =		R (7, t) R (t,	s ) z
откуда		R (7, s) =		R (7, t ) R (t, s).
		R (7, s) =		R (7, t ) R (t, s).

в) Пусть Q (7, t ) — резольвента уравнения (7). Тогда по дока занному Q (7, т) удовлетворяет дифференциальному уравнению

1 Q - - A - W Q

и начальным условиям Q (т, т) = 7. Имеем

4t (QtR) = ( w Q1 R + Q * ( w R) = -

Q ' A R + Q ' A R ■= °'

t. e.

Q’ (7, x) 7? (7, t ) =

const

для

всех

7 ^

[70. ^i].

Q*(t, t) R (t, t) = 7.

Следовательно,

Q* (7, r) R (7, t)

t. e.

R~l (7, t) = Q* (7, т).

Предложение доказано.

Вернемся к неоднородному уравнению (2).

леммы 1

и R(t,x)

Т е о р е м а

2. Пусть

выполнены

условия

резольвента однородного уравнения (5). Тогда

х (7;

т, z) =

R (7,

т) z +

7? (7,

т)

R (т,

s) a (s) ds.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Будем искать х (7;

т,

z) в виде

х (7; т, z) =

R (7,

т) у (7),

(8)

где y{t)

абсолютно непрерывна и у ( х )= г . Имеем в силу предло

жения 1

х (7; т, г) =

{^ -7 ?

(7, x)j у (7) + 7? (7, т) у (7) =

= A (t)R (t,

x )y (t )+ R (t ,

т) у (7)

3 А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров

66	0.	ВВЕДЕНИЕ.	ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
откуда			R (/, т)у (t) = a(0,
т, е.			R (/, т)у (t) = a(0,
т, е.		г+ J* R~X(s, т) a (s) ds = z + tJR (т, s) a (s) ds.
у (i)	=	г+ J* R~X(s, т) a (s) ds = z + tJR (т, s) a (s) ds.
		T	T

Подставляя полученные выражения в (8), получаем требуемый ре зультат.

0.4.2. Существование решений и их зависимость от начальных условий. Обратимся к уравнению (1). Пусть ф — отображение неко торой области V в пространстве R X R " в R". Скажем, что отобра жение ф ограничено на множестве Q c V функцией r(t), если

\|ф (/,	х) \|< г (/) при (/,		х) е Q.
Если для каждой точки	(т, х ) е	V найдется интервал Г, т е		Г,	такой,
что Г X W с V и отображение		t-+<p(t,x)	измеримо на	Т,	то мы
скажем, что отображение ф измеримо по L

Говорят, что отображение ф удовлетворяет условию Липшица по х на множестве Й с Г, если для всех t, х, х' таких, что (/,

и (t,x') е £3, справедливо неравенство

|ф (/, х) — ф {t, х') |^ k |х — х' |, k > 0.

Отображение ф называется локально липшицевым по х, если каждая точка области V может быть окружена окрестностью, в которой ото бражение ф ограничено суммируемой функцией и удовлетворяет усло вию Липшица по х.

Предположим теперь, что измеримое множество Д с R и об ласть l / c R n таковы, что произведение Д X U принадлежит области определения V отображения ф. Говорят, что ф удовлетворяет усло

вию Каратеодори на		Д X	U, если			при	каждом ( е А	отображение
х-»-ф(<,х)	непрерывно на		U,	а	при		каждом	отображение
х)	измеримо	на Д.	В	гл.	9	будет показано, что		при выпол

нении условия Каратеодори отображение ф суперпозиционно изме


римо, т. е.	всякая вектор-функция /-»-ф(<, x(t)) измерима на									Д,
если только	t^>-x{t) — измеримое отображение множества Д в									R'*.
Если отображение ф измеримо по ( и локально липшицево по х,
то, очевидно, для каждой			точки ((,j ) e F можно указать интер
вал Г, содержащий t и окрестность U точки						х таким		образом,		что
Т X V с V 1 отображение			ф удовлетворяет			условиям		Каратеодори
на Ту, U. Поэтому, если вектор-функция x(t)							непрерывна и ее гра
фик лежит в области V, то			вектор-функция /-■ ф(<, (/))						измерима.
Т е о р е м а		3 (локальная теорема		существования				и	непрерыв
ности). Пусть в области			V a R X	R"	определено			отбрскжение
ФН, х): V	Rn, измеримое по t и локально липшицево по х. Тогда
для всякой	точки (<0,х о )е		Г можно указать отрезок То, содержа
щий внутри себя t0, и окрестность Ua точки х0							такие, что: То X U0с
с : V и для	всякого z e U о на отрезке				То существует			ровно одно
решение xz(t) уравнения (1) с начальными							условиями		xt(to)— z.
При этом,	если	z е Vo и	Zh-+z при k-+oo,				то xzа (t)		- » хг	{t)

равномерно на Го.

§ 0.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Выберем

интервал Г

и открытое

множе

ство

U a R" так,

чтобы Г X

U а

V, г0 е

Г,

отображение ср

было

ограничено

на

Г X

суммируемой

функцией

r(t)

удовле

творяло условию Липшица по х (с некоторой константой

k >

0).

Пусть число 6 таково, что

замкнутый

шар радиуса

центром

в точке Хо принадлежит множеству U\ обозначим через

U0 шар

ра

диуса б с центром в точке

хо.

Выберем

число

е >

так,

чтобы

t 0 +

ek<\,

г (/) dt <

б,

г (0 dt<&

<о-е

и положим Т0 — |tt, t2\, где ta— е ^

t\<

ta< t2^

t0+ е, [fi. t2] с : Г.

Множества То и

t/0 — искомые. Действительно,

рассмотрим в

пространстве СП(Г0) множество

X = {х (•) s

Сп (Г0) 1 * (/) -

х, |< 26,

yt <=Г0).

Э то— замкнутое

подмножество пространства СП(Г0),

т. е. оно само

является полным метрическим пространством относительно расстоя

ния р ( х ( ) , {/(• ))=		II *(• ) — «/(•)Нс-					отображение Я2, ставящее
Зафиксируем z <= U0				и	рассмотрим
в соответствие каждому элементу х ( - ) ^ Х							вектор-функцию
	У (0 =	[ДгХ ( •)] (0 =				2 + \| ф (т, А-(т))			dx.
Тогда	при <s Та			J ф (т,		t,		J г (х) dx<6.

\[РгХ ( •)] «) -		2 \|=				х (т)) dx =<
т. е. Р2 отображает		множество X в себя. Далее,							если х, (• ) е X
и г2( ' ) е Х, то					J (ф (т, A i
Р(Дг1 (•), Р22( ‘ )) =			тах				(t )) — ф (t , x 2(t ))) dx
			/ €= Го
			f
	max		Г	k \|Aj (т) — x2 (т) \|rfr				efep (ai (•), x2(•)),
	( е Г ,		J
			*0
т. e.	отображение Pz — сжимающее. Согласно							принципу сжимаю
щих	отображений		существует			единственная			вектор-функция
хг (•) е X такая, что			Ргхг ( ’ ) =			хг (* )•

т. е. такая, что

Xz ( t ) = z + J Ф (т, хг (т)) dx.

Первое утверждение теоремы доказано.

68	0.		ВВЕДЕНИЕ.		ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Предположим				теперь,	что Zi е Uo и гг е		£/0. Тогда по доказан
ному xZi{t)		и xZi (t) определены на Т0 и принимают значения в U.
Имеем
Р (* * ,(').		(•)) =		Р (PzXZl (•). Pz xZi (•)) =
=	шах	о	г1_	z2 + {	(Ф (Т> «г, (т)) -	Ч>(т-		г2())) dt	<
	t^T	о
т. е.					<\| г, - z	2 \|+		е*р (xZi{ .),	xZi( ‘ )),
т. е.								■г2\|.
			р К ( - ) .		* * (• ))< ■ 1 - ek I		‘	■г2\|.

Поскольку ей < 1, отсюда следует второе утверждение. Теорема

доказана.	Пусть выполнены условия теоремы и xt(t),
С л е д с т в и е .	Пусть выполнены условия теоремы и xt(t),
Хг(t) — два решения	уравнения (1), определенные на одном и том

же отрезке [/о, ti}. Тогда, если хотя бы в одной точке этого отрезка

X\(t)

— хг((), то Х\(t) = x2(t)

во

всех точках отрезка [/о, fi].

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно проверить,

что

множество А

тех

точек

из [<о, И],

в которых

x i(t)= X 2 (t),

открыто

замкнуто

в Uo, И]. Замкнутость

множества

очевидна. Если

же

т е 4 ,

то в

силу

теоремы Xi(t)— X2 (t)

некоторой окрестности точки

т,

т. е. Д

открыто в [fo, fi], что и завершает доказательство.

множество

всех

Зафиксируем

точку (т, г)

и рассмотрим

пар

(Д, *(•)), где

Д — некоторый

интервал, содержащий

точку т,

a x(t) — решение

уравнения

(1),

определенное

на

Д и такое, что

x (x )= z .

В силу

теоремы

3 множество таких

пар

не

пусто

(если,

конечно, отображение <р удовлетворяет наложенным в теореме ус

ловиям), а согласно следствию всякие				две такие	пары	обладают
тем свойством,	что	Xi(l) = Хг(1) на	пересечении		П Дг	(которое
содержит точку	т	и, следовательно,	не	пусто).	Обозначим через

Т(т, г) объединение интервалов Д, входящих во все такие пары. Тогда на Т(г, г) определена вектор-функция t-*- x(t\x,z), обладаю

щая тем свойством, что для всякой пары			(Д, д:(-)) ограничение век
тор-функции х (-;х ,z) на Д	совпадает	с	*(•).	Поскольку	какдая
точка te T (x ,z ) содержится	хотя бы	в	одном	таком Д,	вектор-

функция t-+x(t-,x,z) есть решение уравнения (1). Она называется максимальным решением уравнения (1) с начальным условием

х(х) = 2 .

Для максимальных решений, как и в линейном случае, спра

ведлива очевидная формула
х (t; х, х (т; S, г)) = х (/; s, г).	(9)
Зафиксируем некоторый отрезок [?о, ti\ и положим
А = [г е= R" \|[/0, <j] с. Т (t0, z)}.

Тогда на множестве А (если оно не ние F: А -*■ Cn([to,ti\), ставящее в ограничение максимального решения

пусто) определено отображе соответствие каждому г е Л x(-\to,z) на [<o,/i].

§ 0.4.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	69
Т е о р е м а 4	(глобальная теорема существования	и непрерыв

ности). Пусть выполнены условия теоремы 3 и множество А не пусто. Тогда оно открыто и отображение F непрерывно на А.

Д о к а з а т е л ь с т во.

Пусть

г е

и последовательность {г8}

сходится

к г.

Для

доказательства

теоремы

нужно

проверить,

что,

с одной стороны, отрезок [to.ti] принадлежит множеству

T(to,zs),

если s достаточно велико, и с другой, что при s

оо

последова

тельность вектор-функций x(t\to,zs)

равномерно

сходится

x(t\ta,z)

на

[/о, <i].

Обозначим

через

верхнюю

грань

тех

t e R ,

для

каждого

из

которых

существует

такой

номер

s (t), что

Ро, т] с: Т(t0, zs)

при

s ^

s(x)

x(t\ to, zs)-+ x(t; to, z)

равномерно

на Но, т]. В силу теоремы_ 3

т >

to.

Для

доказательства

теоремы

достаточно проверить, что т >

Ц.

содержится

Предположим,

что

Тогда точка (т, х (v, t0, г))

в V.

По

теореме 3

существует такое

е > 0, что

[т — е, т + е] с:

с. Т (т, у)

при всех т и у,

удовлетворяющих неравенству |т — т |

и [ у — х (т; t0, z) |<

е. По

определению

числа т найдется такое т,

что

т — е < т г ^ т ,

р 0, т] с

Т (t0, zs)

при всех

больших

некото

рого s (т),

и х (t; tо,

zs) -> х (t; t0, z)

равномерно на [t0, т].

Поэтому

можно

указать номер So такой,

чтобы неравенство

I х (t,

t0. zs) — х (t;

t0. z) |< e

выполнялось

для всех s > s 0

и t e

[t,

т].

Но в этом случае в силу

выбора т,

ти е решения х (t\ т,

х (т;

<0, zs))

определены

на отрезке

[т — е, т +

в]

при s ^ sо и сходятся

на этом отрезке равномерно к

х (t;

т,

х (т; to, z)).

Однако в силу

(9)

х (t; т, х (т;

t0, zs)) =

x (t; t0, zs).

Мы получили таким образом, что при s ^

So максимальные решения

x(t;to,z„)

определены,

по

крайней

мере,_ на

Ро, т + е ]

(т. е.

(to, т +

в] с: T(t0, гв))

сходятся

на

[/о .т + е ]

равномерно

x(t;

to,z).

Полученный результат, однако,

противоречит

определе

нию т,

Теорема доказана.

выполнены

условия теоремы

и г0 е Л .

Т е о р е м а

Пусть

Обозначим

через

Xo(t)

ограничение

максимального

решения

x {t\to,Zo)

на

[<„, U]

и предположим,

что

отображение

х->-ф (t,x)

непрерывно дифференцируемо во всех точках некоторой окрестно

сти графика вектор-функции X o (t ) .					Тогда отображение F					дифферен
цируемо по Фреше в точке г0(-)					и	для	всякого z e R "				вектор-
функция [F'(zo)z](t)= y(i;to,z)				есть решение				линейного		дифферен
циального уравнения			У = Фх (t.		(0) У

с начальными условиями
			У (to) — г.
Докажем сначала один вспомогательный результат.									и	отображе
Л е м м а 2.		Пусть	V — область			в	R X R"
ние ф:	V -*■Rn	удовлетворяет		условиям,			указанным		в	теореме 3.
Пусть далее вектор-функция x(t) определена и								непрерывна на неко
тором	отрезке	Т и ее	график	принадлежит				области V.			Тогда в

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 497 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ