книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

Наконец, если /(*,,„)-»■ со для некоторого номера г, то,

Предложение 2 доказано.

Г л а в а 4

ЛОКАЛЬНЫЙ ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

Эта глава посвящена систематическому изучению субдиффереициалов. Субдифференциалы характеризуют локальное поведение выпуклых функций и функций, локально устроенных как выпуклые, подобно тому, как производные определяют локальное поведение гладких функций. И на самом деле, между «субдифференциальным исчислением», с одной стороны, и дифференциальным исчислением гладких функции, с другой, существует глубокая связь, хотя некото­ рые результаты о субдифференциалах и не имеют аналогов в диффе­ ренциальном исчислении. Практически все результаты этой главы существенно используются в дальнейшем; отметим важнейшие из них — теорему Моро — Рокафеллара и теорему об очистке (§ 4.2). Всюду в этой главе, как и в предыдущей, предполагается, что X, У, ... — отделимые локально выпуклые линейные топологические пространства.

§ 4.1. Однородные функции и производные по направлениям

f(kx) = kaf(x)

для всех х е ! Д > 0 . У нас в книге будут встречаться, главным образом, положительно однородные функции степени единица, для краткости будем называть их про­ сто однородными. Очевидно, надграфик однородной функции — конус. Поэтому однородная функция вполне определяется своими значениями в сколь угодно малой окрестности нуля. Вспоминая условие выпуклости ко­ нуса (§ 0.3), немедленно получаем, что однородная соб­ ственная функция / выпукла тогда и только тогда, когда

f{x) + f {У) > f ( x + у)

для всех х, у е Хк

опорная функция и функция Минковского. Их однород­ ность проверяется непосредственно. Более существенно то обстоятельство, что всякая собственная замкнутая выпуклая однородная функция есть опорная функция некоторого непустого множества.

А = [х9е= X* |/ (х) > (х\ х>, Vx е= X]

ипокажем, что

/(х) = sup (х*, х') = s (х |А).

ность между собственными замкнутыми выпуклыми од­ нородными функциями на X и непустыми замкнутыми выпуклыми подмножествами пространства X*. Именно, это соответствие относит каждому непустому замкну­ тому выпуклому множеству Л cr X* его опорную функ­ цию, а каждой собственной замкнутой выпуклой одно­ родной функции — эффективное множество функции, сопряженной с ней.

Отметим еще одно полезное свойство однородных функций.

П р е д л о ж е н и е 2. Пусть f — однородная функ­ ция на X. Если f непрерывна во всех точках множества U czX, то она непрерывна и во всех точках конуса Ки,

2Т4 ГЛ, 4. ЛОКАЛЬНЫЙ ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

порожденного множеством U, за исключением, возмож­ но, нуля. В частности, если f непрерывна в некоторой окрестности нуля, то f непрерывна на X.

точки Хх0, во всех точках которой выполнено неравен­ ство | /(х )^ f(Xx0) |< Хг. Тогда ( 1 Д) Е— окрестность точки х0 и при лге(1Д ) V

I f { x ) — f {х0) |= Я-1 1/ (Хх) — f (XxQ) I < е.

Отсюда следует, что / непрерывна в точке х$. Если же / непрерывна в окрестности начала, то по доказанному f непрерывна всюду, за исключением, возможно, нуля. Но в нуле / непрерывна по условию. Предложение доказано.

4.1.2.Производные по направлениям. Пусть f —

функция на X и | f(x)| < oo . Если существует конечный или бесконечный предел

ЗьФП Л

то он называется производной функции f по направле­ нию у в точке х. Если в точке х функция f имеет произ­ водные по каждому направлению, то простая выкладка

функция называется производной функции f по направ­ лениям.

Отличительной особенностью выпуклых функций яв­ ляется существование производных по направлениям во всех точках их эффективных множеств. Мы покажем сначала это для выпуклых функций на прямой, а затем

Отсюда следуют два соотношения:

ф (У — Ф {h) < т}^77 [*Р (*з) — Ф (*,)].

А

при убывании Я к нулю не возрастает (если t—крайняя

тивному множеству. Поэтому правая производная ф^ (0) существует. Однако по определению ф^ (0) = /'(х ; у). Предложение доказано.

Мы уже отмечали, что производная по направле­ ниям — однородная функция. Если f выпукла, то про­ стая выкладка

показывает, что ее производная по направлениям тоже

f'(x\ •) непрерывна во всех точках конуса Ки-х, порож­ денного множеством U — х, за исключением, возможно, начала координат. Если же f непрерывна в точке х, то производная по направлениям f'(x; •) конечна и непре­ рывна на X.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу предложения 2 нам нужно проверить, что функция f ' ( x ; •) непрерывна во

жит множеству dom f. По неравенству Иенсена для вся­ кого X > О

в противоречии с условием. (Заметим, что f'(x-,x2) < оо, поскольку x + x2e d o m f . ) Таким образом, наше пред­ положение было ошибочным и f'(x\ •) — собственная функция,

Если Xi ^ lU — х, то f ограничена сверху некоторым числом с в достаточно малой окрестности V точки х-\-х\. Поэтому для всякого у е У — х выполнено неравенство

/ ' ( * ; l / X f ( x + y ) — f ( x ) ^ c — f(x),

т. е. f'(x\ •) конечна и ограничена на V — х и, следова­ тельно, по теореме 1 из § 3.2 непрерывна в точке хц Этим завершается доказательство первой части пред­ ложения.

Для доказательства второй части достаточно заме­ тить, что, если f непрерывна в нуле, то (из-за выпукло­ сти) она непрерывна в некоторой окрестности нуля, и применить снова предложение 2.

§4.2. Субдифференциал. Основные теоремы

4.2.1.Определения и элементарные свойства. В § 0.3

субдифференциал выпуклой функции f в точке х опре­ делялся следующим образом:

df (х) = (х* <= X* |/ (г) — / (х) ^ (х*, z — х), V z e l ) .

Этот параграф мы начнем с другого определения, при­ годного не только для выпуклых функций, но совпадаю­ щего с первоначальным в случае, когда функция вы­ пукла.

Пусть / — однородная функция на X. Субдифферен~ циалом функции f в нуле называется эффективное мно­ жество сопряженной функции /*. Оно обозначается df(0). В силу предложения 1 из § 4.1

называют иногда опорным функционалом однородной функции f(x). Таким образом, д[(0) — множество всех функционалов х*, опорных к однородной функции f{x).

Точно так же, если g — однородная функция на X*, то множество

называется субдифференциалом функции g в нуле.

Пусть теперь f — функция на X, имеющая производную по направлениям в точке х. Множество

df(x) = df'(x; 0)

называется субдифференциалом функции f в точке х. Элементы этого множества называются субградиентами функции f в точке х. Говорят, что функция / субдиф­ ференцируема в точке х, если д Ц х ) Ф 0 .

Как следует из доказываемого ниже утверждения, для выпуклых функций это определение субдифферен­ циала совпадает с тем, которое было приведено в § 0.3.

Пр е д л о ж е н и е 1. Пусть f — выпуклая функция на X. Тогда следующие условия эквивалентны-.

и, следовательно,

/'(х ; z ) > ( x ‘ , z).

Предложение доказано.

П р и м е р ы ф у н к ц и й и их с у б д и ф ф е р е н ­ ци ало в .

1. Аффинная функция f(x) — (х*, х) -f- а субдиффе­ ренцируема в любой точке х и д /(х )= {х * }. Вообще, субдифференциал функции, дифференцируемой по Гато в данной точке, содержит единственный элемент — про­ изводную Гато в этой точке.

Верно и обратное: если f — выпуклая функция, не­ прерывная в точке * и субдифференциал df(x) содер­ жит единственный элемент х*, то / дифференцируема по Гато в точке х и /^ (*) = **. В самом деле, в силу пред­ ложения 4 из § 4.1 функция /'(* ; •) непрерывна и, сле­ довательно, замкнута. Поэтому

Г (*; г) = (/' {х; •))** (г) = sup {(г*, г) \z' е= df (*)} = (**, г),

что по определению означает, что /^ (*) = **.

2.Субдифференциал индикаторной функции б(-|Л)

вточке х мы вычислили в § 0.3, он оказался равным конусу опорных функционалов множества А в этой точке:

4. Субдифференциал нормы в банаховом простран­

В§ 4.5 мы вычислим субдифференциалы и других_ функций.

Вэтом параграфе мы основное внимание уделяем субдифференциалам выпуклых функций. Аналогичные

результаты для невыпуклых, но субдифференцируемых функций будут получены в § 4.4.

Из определения прямо следует, что функция f мо­ жет быть субдифференцируема только в точках множе­ ства dom /. При этом, если f выпукла и субдифференци­ руема в некоторой точке *, то f — собственная функция, /* — тоже собственная функция и <?/(*) с dom /*. Далее, поскольку индикаторная функция субдифференциала сопряжена с производной по направлениям, субдиффе­

ренциал — выпуклое и слабо* замкнутое множество в силу предложения 2 из § 3.3. Заметим еще, что в силу теоремы Фенхеля — Моро выпуклая однородная функ­ ция субдифференцируема в нуле тогда и только тогда, когда она полунепрерывна снизу в нуле. Действительно, в этом случае замыкание функции / в нуле равно нулю. Поэтому f (из-за однородности) не может принимать значения — оо ни в одной точке, а это, в свою очередь, означает, что f*{x*) — собственная функция и dom f* Ф

^0 . Отсюда следует

П р е д л о ж е н и е 2. Выпуклая собственная функция f субдифференцируема в точке х е dom f тогда и только

субдифференциал df(x0) не пуст и ограничен в слабой*

щего предложения следует, что <Э/(хо)¥=0. Далее для всякого х е X

sup {(.v‘ , х) \х* е df (х0)} = /' (jf0, х) < оо,

что по определению означает ограниченность множест­ ва df(xo) в слабой* топологии пространства X*.

З а м е ч а н и е . На самом деле, в условиях предло­ жения 3 множество df(x0) слабо* компактно, но мы не будем этим пользоваться.

Отметим в заключение три очевидных формулы, ко­ торые полезно иметь в виду:

если Ф (х) = / (х + х0), то

дФ (x) = df (х + х0);

если ф (х) = Я/ (х), где Я > 0, то

<Эф{х) = Я<Эf(x);

если Ф (* )= = /(Я*), где Я > 0, то

<Эф{х) = Я df (Ях).