книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

182

ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА

окрестности

этой точки, т. е. из б) следует а).

Пусть /

ограничена сверху в окрестности U точки хо, т. е. для

всех

х е U

f (х)

с </ оо, с > 0. Заменяя, если

нужно,

U на

U — х0 и f(x)

на /(х + х0) — /(хо),

можем

считать,

что Хо = 0 и /(0) =

0. Выберем 0 < е <

с и положим

Тогда Ve есть окрестность

нуля. Покажем, что из х е У ,

следует |/(х )| < е , а это

в силу произвольности е и

тельно, пусть г е У , . Тогда

x<=(e/c)U, т. е.

( с /е ) х е £ /

и из-за выпуклости функции /

по неравенству Иенсена. G другой стороны, х

-

ш

и ,

т. е. — (с/е)х <= U п из

0 =

1

е/с1

1 + е/с

1+ в/£

следует, что

е/с

/(0) < - + е/с

f(x)

0 =

1 + е/с f ( - H

т. е. }{ х) ^

—е. Таким

образом, из а) следует

б).

Бо­

которой она ограничена сверху.

а)

следует в),

Импликация г)=^б) тривиальна; из

поскольку если а0 ^ / ( х ) для всех х е

£/,

то

очевидно: если (а, х ) е

int (epi/), то

необходимо

x q

ei nt ( domf )

и а > / (х).

Наоборот, если функция /

не­

прерывна на

int (dom/),

х е int (dom/)

и а > / ( х ) ,

то

184

ГЛ.

3.

ЭЛЕМЕНТЫ

ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА

2 .

П у с Ат сь г Х и

/

( д г )

=

б

( j e

|

Л ) .

Т о г д а

Г

( * * )

=

s u p

{ { л : * , А)х =)

s| (хх *е А| ),

т .

е .

с о п р я ж е н н о й

с

и н д и к а т о р н о й

ф Ау н к бц уи де ей т

о п о р н а я

ф у н к ц и я

э т о г о

м н о ж е с т в а .

М н о ж е с т в о

А° =

2

V

А)( •= |

{ х *

е

X * \А|) s < ( х *1 }

н

а

з

ы

в

а е

тполяройс

м

н о

ж

е с

Ат .в

а Е с л Ки

—

к

о н

у

с ,

тКо°

— и

к о н

у с

:

К ° =

{ х *

е =

X * х|) (<х *0 , ,у х е = К)-

К

о

н у Кс *

= —К 0

н а з ы

в

а сопряженнымю т

с

к о

н у

с

о

Км .

Е

с

л Lи

—

п о д п р о с т р а н с т в о ,

т о

L° =

{х* е

X * |(х*. х> =

0,

у *

е= Z.} =

— а н н у л я т о р

п о д п р о сLт. р Па рн ос тв ве ар к а

э т о г о

н е

п р е д

т

р

у

д

а .

П у с Лт ь с

Х

Ф.

у н к ц и я

'

3 .

/ (х) = ц (х |А) -

О ,

е

с л

и

х

i n f

{ А , >

0

| Я _А],1 х

е с л и

х =

^

0 ,

н

а

з

ы

в

а е

т функциейс я

Минковского

м

н

о

ж е

с Ат

.в

а

Н

а й

д

е

м

с

с о п р я ж е н н у ю :

/

’

( х * )

=

s u p x

{ )( х-

\f

(

x

)

| = x

e

l

)

=

s u p

{ ( х * ,

х )

—

i n f

{ Л

>

0

| Я _

! х

е

Л )

| х

=

s u p

{ ( х * ,

х )Я

>— 0 Я,Я |-

1

х

е

Л )

=

=

s u p

{ s u p

{ ( х * ,

ХАх )] —| х Яs

| Я

> 0

}

=

=

s u p

( Я

(

s u p

( х * ,

х )

—

1 ) )

=

я. > о

х

А

Условимся писать / 1 ^

/ 2,

если

(х)

f2(*) при всех х.

Тогда из f 1 ^ /2 следует, что

П р е д л о ж е н и е

1.

Для

всякой

функции

f спра­

ведливо неравенство

f > r .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По

неравенству

Юнга—■

Фенхеля

§ 3.3. СОПРЯЖЕННЫЕ ФУНКЦИИ

185

П р е д л о ж е н и е 2. Пусть f — функция на X.

Тогда

и непрерывных

в слабой *

топологии функций х* -*

- *{ х*, х) — f(x)

( x e d o m f ) .

Поэтому /* выпукла и сла­

бо * замкнута.

ствия

2 из второй теоремы отделимости

(теорема 2 из

§ 3.1)

замкнутость эквивалентна слабой

замкнутости.

выпуклая функция.

Пусть / — собственная выпук­

П р е д л о ж е н и е 3.

лая замкнутая функция

на X.

Тогда

/ * — собственная

функция.

Если

jtoedom f, то

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Г ОО > (х*, х0) — / (*о) > — оо

для всех х*. С другой стороны,

точка

(f(x0) — 1, х0) ф

^ e p i /.

По второй теореме отделимости существует пара

(Р0, Уо)

такая, что

SUP

(Роа “Ь ( # 0* ХУ) ^

Р о ( /(*о)

0 “Ь (Уо’ Х0)•

(а , х ) е ер i г

Ясно, что

р0 Ф 0. С другой

стороны,

Ро не может быть

sup

(<й! ft,г , *) - гw) -

г о; |р„г') <

X ев d o m f

< 1 -

/ (*0) + (Уо |Ро |

х0)

<

оо.

*)

Напомним,

что

базу

окрестностей нуля в

слабой *

тополо­

гии

пространства

X*

образуют

всевозможные

множества

вида

{х* е

X* \I

(х*, хд

1 <

е, i =

1.........k},

где е > 0,

xt е

X, . . . ,

,

е Х ,

k <

оо; пространство

линейных

непрерывных функционалов

186

ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА

Г (X') =

Kg' (к~1А -1* (х* — А-;)) -

(х* -

х*. А ~'у0) — Yo-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеем

Г (х*) -> sup ((**,

х) -

Kg {Ах + у0) -

(х'0,

х) -

Y0) =

X

*

(полагая у — Ах + у0)

=

Кsup (А-1 (А -1* (х* — х*), у) — g (у)) —

-

<х* -

х{,

А -'у 0) -

Y0 = Ag’ ( Л - А - 1* (х* -

xj)) -

— < x * -x j, A "V o) - Y 0.

Из

этого

предложения

следует,

в частности, что

/ (х) =

g (х

Хо )

=ф f (х ) =

g

(х )

(х , х„>,

f (х) =

g (х) +

(х0, х) =^> f (х ) == g

(х

х0),

f (x) =

Kg(x),

К >

0 =Ф f’ (х') =

Kg' {К V );

f (х) =

A,g(A,-1x),

К > 0=$f'(x') =

Kg'(x')\

f(x) =

g {Кх),

K > 0 ^ f ' (х*) =

g* (A_1x*).

3.3.3. Теорема Фенхеля — Моро.

Т е о р е м а

1 (Фенхель — Моро). Пусть f — функция

на X,

всюду большая — оо. Тогда f =

f** в том и только

том случае, когда f выпукла и замкнута.

f выпукла

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

/

=

[**, то

и замкнута

(см. предложение 2). Далее, если f(x) =

== -j-oo, то равенство

f — {** очевидно. Значит, в силу

ных функций.

По

теореме

Фенхеля — Моро

Д о к а з а т е л ь с т в о .

f(x) есть верхняя грань

семейства

аффинных функ­

ций вида

(x 'e d o m /* )

х —>(х*,х) — f* (Х1

аффинных функций.

____

С л е д с т в и е

2.

Если conv/ — собственная

функ­

ция,

то

____

/** = conv /.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Надграфик

epi/**— выпуклое

замкнутое

множество,

содержащее

ерi /

(поскольку

Поэтому

epi / cz conv(epi f) cz epi /**.

Это

зна­

чит,

что /

conv/ ^

/**. Из левого неравенства следует,

что

/* sg: (conv/)*

и,

следовательно,

/** ^ (conv/)** =

= conv/,

поскольку

conv/ — выпуклая

замкнутая

функция.

Т е о р е м а

1.

Пусть / ь

... ,

/„ — функции на X.

Тогда

(/,ф /2®

...

© /„ ) * = /;

+

/ ; + ••• + / ; ,