Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

15.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 495 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

40	0.	ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Поскольку		отображение x-+F 'T(х) непрерывно, для

всякого е > 0 найдется б > 0 такое, что из

II*— *011<6

следует, что

||F'r ( x ) - / ^ ( x 0) f < e .

Поэтому

I! F (xQ+ h ) — F (х0) — F' (х0) А |= о ( |А ||),

а это н означает дифференцируемость отображения F по Фреше. Наконец, заключительная формула следует

из предложения		1.
С последним утверждением близко связан следую*
щий известный результат.				Х и Х2,	Y — банаховы
Т е о р е м а	Ш в а р ц а. Яусть
пространства	и	F — отображение открытого множества
U cz Х хX Х2 в Y. Предположим,				что F дифференцируемо
по обеим координатам в множестве U и что отобра
жения
{х\, х2) -> FXl (хи х2),			{хи х2) -> FXl(xi, х2)
множества U	в 3 ( Х и У) и S ’ (Х2, Y) соответственно не
прерывны. Тогда F непрерывно дифференцируемо по
Фреше на U.	о	н е я в н о й	ф у н к ц и и .
Т е о р е м а					Пусть	X, Y,
Z — банаховы	пространства,			U — окрестность		точки
(х0,уо) в декартовом произведении Х Х У					и F: U —* Z —

отображение класса Сь Предположим далее, что


F(xo,yo) — 0		и	частная производная			Fy(x0, y 0): Y-+Z
есть	линейный		гомеоморфизм.		Тогда	найдутся		числа
е > 0, 6 > 0		и отображение х - * у ( х )				шара	U(x0,8)cr.X
в шар U (у0, е) с:			Y такие, что
а)	на множестве			U(x0, б) X	У(Уо, е)		соотношения
F(x,y) — 0 и у — у(х)				равносильны;		Ct и
б) у(х)		есть	отображение класса				для	всякого
J t e ( / (дг0, б)

у' (х) = — [Fy (х, у (х))]-1 о Fx (х, у (х)).

0.2.4.Теорема Люстерника. Пусть М — подмноже

ство банахова пространства X. Вектор х ^ Х	называют
касательным к множеству М в точке Хо е М,	если суще

	§ 0.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ				41
ствуют	е > 0	и отображение / —>/•(/)		отрезка [0, е]	в X
такие,	что
	х:0- f fe	+ r ( ( ) e M	при всех	^ е [0 , е],
	\|г (t) \|\|//->0		при /-> 0 .

Нетрудно проверить, что совокупность векторов, каса тельных к множеству М в некоторой точке, есть зам кнутый конус (непустой, ибо он содержит нуль), назы ваемый обычно касательным конусом к множеству М в точке х0. Если этот конус является подпространством, то он называется касательным пространством к множеству

М в точке х0 и обозначается ТМ(х0).

Т е о р е м а Л ю с т е р н и к а .	Пусть X и	Y — бана
ховы пространства, U — окрестность точки х0^ Х и F —
дифференцируемое по Фреше отображение		множества
U в Y. Предположим, что отображение F регулярно в
точке х0, т. е.	Y,
Im F' (х0) =

и его производная непрерывна в этой точке (в равно мерной операторной топологии пространства 3?(Х , У)). Тогда касательное пространство к множеству

M = {x<=U\F{x) = F(x0)}

в точке х0 совпадает с ядром оператора F'(х0):

ТМ (*0) = Ker F' (х0).

Более того, при выполнении условий теоремы существу ют окрестность U' a U точки х0, число К > 0 и отобра жение £ —>х(|) множества U' в X такие, что

F& + x(l)) = F(x0),

при всех \| е	IU(\|) I K W	( i ) - / r(*0)ll
при всех \| е	U'.	теорему Люстерника, от
Прежде	чем доказывать	теорему Люстерника, от

метим, что первое ее утверждение является очевидным следствием второго утверждения и определений. В са мом деле, в условиях теоремы всякий касательный век тор к множеству М в точке х0 принадлежит ядру опера тора F'(xo), т. е.

ТМ (х0) <= Ker F '(х0).

42 0. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Это сразу вытекает из определения касательного век тора. С другой стороны, если второе утверждение тео


ремы		верно и \| <= Ker F'(xu), то				при достаточно малых
t >	0,	очевидно,		х0+	t%е U',	\\F(x0 +	t%)— F (xо) II = .
,z=o{t),			F(x0 + tl +		r(t)) = F(xo),		где	r ( t ) = .
=	x(xo +		tl) и	Ik (O I K K\\F(xo + tl) - F ( x 0) \|= o(t).
	Второе		утверждение		теоремы	Люстерника		выведем

из несколько более общей теоремы, которой, в свою очередь, предпошлем три вспомогательные леммы. Пер вая из этих лемм представляет собой «многозначное» обобщение принципа сжимающих отображений и имеет вполне самостоятельное значение.

Пусть X и У — некоторые множества. Через 2¥ обо

значается	совокупность		всех	подмножеств			множества
У. Всякое	отображение		Ф: X —>2Г		называется				много
значным отображением, из X в У.						с	расстоянием
Пусть	Z — метрическое пространство
р. Если Ai cz Z		и Л2 с: Z,	то уклонением			множества				A t
О т множества Аг называется величина
6(ЛЬ А2) — sup р (г, А2) = sup					inf	р (z,		w).
		z s Ai		z s	ш 6 Ai
Хаусдорфовым		расстоянием между			множествами				A i	и
Аг называется		максимальное		из уклонений				6 (Ль Л2)
б (А2, AF) :

h(Au Л2) = max {б (Л,, Л2), б(Л2, Л,)}.


Из	определения сразу следует,						что	в	случае,		когда
Л-(Ль Л2) <;		а,	для	всякого		2i е Л [		найдется			такое
гг е	Л2, что р (гь z2) < а.					отображение			пространства
z в	Пусть Ф — многозначное
	себя. Мы назовем его сжимающим								на	множестве
Л с	Z, если найдется такое число 0,							0 <	0 <	1,	что не
равенство			h (Ф (2ч), Ф (г2))< 0 р ( г 1,					г2)

выполняется для любых zi					и г2 из Л.
	Л е м м а	1	(принцип сжимающих многозначных ото
бражений).		Пусть		Z — полное			метрическое			простран
ство с расстоянием				р и в	некотором			шаре		U (г0, г) = .
=	{г\|р(д, Zo)<- г}			(г > 0)		определено			многозначное
отображение				Ф: U(z0, r) - +2z ,

§ 0.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

причем множества Ф (г) не пусты и замкнуты для вся кого z ^ U ( z 0,r). Предположим далее, что существует число 0, 0 < 0 < 1, такое, что

а) /г(Ф (2 !), Ф (22) ) ^ 0р (zu z2) для любых z uz2^ U (z0, г),

б) p(z„, Ф(2о)) < (1 — 0) г.

Тогда для всякого числа ги удовлетворяющего неравен ству

р(г0. Ф(20) ) < г 1< ( 1 — 0)г,

существует такой элемент z ^ B ^z0,	w \|p (w,z0X
< - r h r } ' что	(U
г е Ф ( г ) .	(U

Более того, среди точек z, удовлетворяющих этим усло виям, найдется такая, что

	р (z, 20) <	р (г0, Ф (г„)).			(2)
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Начнем	с	построения	после
довательности zo, z1, . . .		такой, что
z„ <=	(z0, г)	при	п =	0, 1, . . . ,
2„ е Ф ( 2„_,)		при	п =	1 , 2 , . . . , .
Р(2п+1,	*„) < 0V,	при	я =	0, 1, . . .

Эту последовательность будем строить индуктивно. Эле мент z0— тот же, что и в условии леммы, a z\ — произ вольный элемент из Ф (г0) такой, что р(^о, г 5) < /*]. До пустим, что мы уже выбрали первые n + 1 элементов последовательности Zo, . . . , z„. Тогда

	h (Ф (zn),	Ф (Zn^)) <	0р (zn, Zrt_j) <		0V,.
Отсюда следует		существование		такого	гп+1 Е Ф (г я),
что	p(z„+i, 2„) <	епг,.			если k~-\-m ^
Далее, по неравенству треугольника,
r< n + l ,
Р {%!{>	*-k+m) ^ Р (Zk> %k+l) “Ь		••• +	Р (Zk+m—1> Zk+m) <Z.
	<	(0й + . . .	+ 0ft+m_I) Г, <		П. (3)

44	0. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Отсюда	следует, что
	Р (г0, гя+1) <	< г,

т. е. zn+1 е U (z0, г). Элемент zn+1 построен, индукция закончена.

Из (3) следует, что последовательность z0, zlt ...

фундаментальна, и, поскольку пространство Z полно, она сходится к некоторому элементу z е Z. Переходя к пределу в неравенстве

Р (z0i z«) j _Q ,

мы получаем, что z е B(z0, r j ( l — 0)) cz U(z0, г ) . С дру гой стороны,

P(z„+i,	Ф (г ))< б (Ф (г я), Ф (г ))<
		< h (Ф (z„),	Ф (z)) <	0р (zn, z) -* 0.
Отсюда	следует	существование	последовательности
Wo,	элементов множества Ф (г), которая схо
дится к z. Поэтому		г е Ф ( г ) , поскольку		по условию

множество Ф (г) замкнуто. Соотношение (1) доказано.

Если р(г0, Ф (г0)) =	0,	то 20 е Ф ( г 0) и (2)	очевидно.
Если же р(г0, Ф (г0) ) >	0,	то мы выберем	так, чтобы

Ц - < р (z0, Ф (Zo)) < г, < (1 — 6) г,

и для этого ri найдем точку z e B(z0, г4/(1 — 0)), удов летворяющую соотношению (1). Тогда

Р (z0, z) < Р (z0, Ф (Zq)).

Лемма доказана.

Л е м м а 2. Пусть X — банахово пространство и Afj, М2— линейные многообразия в X, являющиеся сдвигами одного и того же подпространства L. Тогда

h (М „ М2) = б (М „ М2) =	б {М2, Mi) =
=	inf {И*! — jc2\|\|\|Xi <= М ь х2е М2).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно проверить, что

Р (*i, Щ = Р (х2,

; § 0.2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	45
для всяких Х\ е М 1з х2^ М 2. Пусть ^ е М,, х2е	М2;

положим ai = p(xi, ЛГ2), а2 = р(х2, Af,). Если х% — произ

вольный элемент многообразия М2 и x'i =				x2-\-(xi— х2),
то, очевидно, x\ ^ M i. Имеем
а2 < II х2 — х[ \|=	II XI — Х2 \|\|.
Это неравенство справедливо	для		всякого х2е М2. По
этому
a2< a i .
Так же проверяется, что ai ^	а2.		Лемма	доказана.
Л е м м а 3. Пусть X и У — банаховы пространства и
A е Si? (X, У). Положим
С (А) = sup (\|[ у I f 1■inf { \|х \|\|\х€= X, Ах = у}).
У е У
Тогда, если 1шА = У, то С { А )< .		оо.		У, то по тео
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если		Im А =		У, то по тео

реме Банаха об открытом отображении образ единич ного шара пространства X при отображении А содер

жит окрестность нуля в У, т.

е. существует такое б > О,

что для всякого у е

У,

||i/||

б, найдется

J t e l

такой,

что ||х|К 1

Ах =

у.

Поэтому

для

любого

у е У,

У Ф О,

inf { |х ||х е

Ах =

у] =

= б '1II у |•inf { II А- IIIX е X, Ах = б|| у Г 1у) <

в"' |у |

и, значит, С ( А )^

б-1.

Лемма доказана./

ю с т е р н и к а.

О б о б щ е н н а я

т е о р е м а

Пусть X и

У— банаховы пространства,

А <= 3? (X, У) и

F — отображение некоторой окрестности

U точки х0е А

в У. Предположим,

что

1 т А = У

и существует

число

б >

0 такое,

что, во-первых,

и, во-вторых,

6С (А) < '/2

| | /4 x )-/7( j O - A ( * - * 0 l l < e | | j c - x , |

(4)

для

всех х,

х'

из

Тогда

существуют

окрестность

U' a

U точки х0, число

К >

0 и отображение l - * x ( Q ,

0. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ

СВЕДЕНИЯ

окрестности U' в X такие, что

F(l +

x(l)) =

F(x0),

для всех | е

ll*(i) I

/ ^

)

U'.

Выберем г >» 0

так,

чтобы

Д о к а з а т е л ь с т в о .

шар

U (х0, 2г)

принадлежал окрестности U. Из

(4)

сле

дует, что отображение F непрерывно в точке

Хо.

По

этому можно указать такую окрестность

U' с= U (хо, г)

точки Хо, что

С (A)

s u p | | F (g )-f(* o )IK y

(5)

Ее!/'

(С (А) < оо в силу леммы 3).

[/' и рассмотрим много

Зафиксируем некоторое | е

значное отображение х —►Д’Дх)

шара

U (0, г)

в X, опре

деленное

формулой

(X) =

Л -1(F (g +

х) -

F (х0)),

где

через

Л~’ (//)

обозначен

полный

прообраз

точки

при отображении Л. В силу выбора

и V ,

g + х е

при

всяких

g е £/',

x<=U(0,r),

так,

что

множества

Д'Дх) не пусты при всех х е

0(0, г). Для всякого у е

множество Л-1 (у)

есть

линейное

многообразие,

парал

лельное подпространству КегЛ, таковы же и множества Д’Дх). В частности, все они замкнуты. Имеем в силу лемм 2 и 3

h (Т 6 (,), WE(2)) = inf {\|\| z, -			z21\|\|z, e Wi (*,), / = 1 , 2 }							=
=	inf {II	z21\|Az* = Лх:г — F(l +			Xi) +	F(x0), i =			1,2}==
=	inf {II г HI Az = A (xy— x2) — F (g +				Xy) + F (g +			x2)} <
		< C (A) \|F (g +	Xy) -	F (g +		x2) -	A (jc, -		x2) \|\|.
Отсюда, используя неравенство (4)					и полагая 0 = б С (А )
(0 < 1/2 по условию), получаем
		h CF6 (Ху), ¥ 6 (х2)) <		01\|х, -		х21\|.				(6)
Далее, в силу (5)
Р (О, ¥ 6 (0)) =		inf { \|z HI Az =	— F (g) + F M				<
	< C (A) \|F(l) — F (x0) « <				V* r < (1 -			6) r.		(7)

§ 0.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Соотношения (6), (7) показывают, что отображение ЧМХ) удовлетворяет всем условиям леммы 1. Поэтому существует такой вектор х = х ( 1 ) , что, с одной стороны,

* ( £ ) е ¥*(*(&)),

O e A - , (F(g + * ( £ ) ) - ^ ( * 0))

и, следовательно,

а, с другой, в силу промежуточного неравенства в (7) —

< 4^ТГИР ® - F (*°>W= K \\F (l) -F (х0) II.

Теорема доказана.

Теорема Люстерника, точнее, ее второе утвержде ние, является очевидным следствием только что дока занной обобщенной теоремы. В самом деле, пусть вы полнены условия теоремы Люстерника. Положим Л = = F'(xо). Поскольку по условию отображение x - + F ' ( x ) непрерывно, мы можем указать такую выпуклую окре стность Ui cz U точки х0, что для всех х е Ui

II F' (х) - Л II= sup(II 2 1Г1(F' (X) 2 - Л2)) < .

Тогда по теореме о среднем значении для всяких х, х'

из 17]

|7^ (jc) — /=■(х0 — Л (jc— дсО IK

< sup (II F' (2 ) — Л II •II х — х'\\) < 2т4лг1х — *' II*

откуда все и следует. Теорема Люстерника полностью

доказана.

0.2.5. Дифференцируемость некоторых функционалов и отображений. П р и м е р 1. А ф ф и н н ы е о т о б р а ж е н и я . Отображение А: X —> У одного линейного про странства в другое называется аффинным, если

А (х) — Ах + а,

48	0. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
где в е	F, а Л — линейное отображение из X в У. Если

X и У — банаховы пространства и А — линейное непре рывное отображение, то отображение А всюду диффе ренцируемо по Фреше и

А'(х) = А,

авторая и последующие производные отображения А равны нулю. Это следует прямо из определений. В ча

стности, для аффинной функции								,
			а (х) — (х*, х) + а
производная Фреше в любой точке х равна х*.
П р и м е р		2.	К в а д р а т и ч н ы е ф у н к ц и и . Пусть
X — банахово		пространство,				В( хь дг2) — непрерывная
билинейная функция на Х Х %						и Q (х) =		В (х, х ) — со
ответствующая		квадратичная			форма.		По	определению
Q (х +	/г) = В {х, х) +			В (х, /г) +	В (h, х) +		В (h,, ft) —
			=	Q(x) + В(х, ft) +			B(h, x) + о (\|\| ft \|\|).
Таким	образом,		функция		Q	дифференцируема по
Фреше и

Q' {х) /г = В (х, /г) + В (ft, л:).

В частности, если X — гильбертово пространство, то всякая квадратичная форма имеет вид

Q(je) = i-(Ajc|x), A e S ’ tX, tf), A* = A

Q' (*) = Алд

Квадратичной функцией в гильбертовом простран стве называется сумма квадратичной формы и аффин ной функции:

ft (*) = у (Ал: |ж) + (х |а) + а.

Очевидно,

k' (х) = Ах + а.

Вторая производная функции k{x) равна, конечно, А:

k"{x) = A,

§ 0.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

а остальные производные равны нулю. В частности, если

£ (*) = V2 II х |2 = V2 (х |х),

то	е"(х) = 1, е ' " ( х ) = . . . = 0 .
е'(х) — х,
Отметим следующее соотношение для квадратичных
форм:	х) = Q {х0) - f Q' (х0) х + Q(x).
Q (*о +

П р и м е р 3. Н о р м а в г и л ь б е р т о в о м п р о с т р а н с т в е . Функция

/ (*)=||*||

дифференцируема по Фреше в любой точке х, отличной от нуля, а ее производная равна

Г(х) = \\x\fl x.

Это сразу следует из формулы дифференцируемости сложной функции, если учесть, что

f = g ° h,

где h (х) = (х\х), a g(t) = Vt.

Переходим к получению формул для производных конкретных функционалов и отображений, которые по надобятся нам при выводе необходимых условий экс тремума в вариационном исчислении и теории опти мального управления.

П р и м е р 4. Пусть отображение h: Rn -> R m:

h(x) = (hi (x), . . . . hm(x))

определено и непрерывно дифференцируемо в окрест ности U точки х0е Rn. Рассмотрим отображение

	Ях((•)): C"([<0, f 1] ) - R “ i
определенное соотношением
		Hx(x(-)) = h(x( т)),
где	т — некоторая	фиксированная точка		отрезка	[f0, ?i].
Это	отображение	определено	на множёстве		таких
х ( - ) е Cn{[t0, ^i]),		что x(x)^.U.	Покажем,	что если при,

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 495 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ