книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

Покажем, что всякий линейный непрерывный функ­ ционал х* на пространстве С"([^0, ^i]) можно единствен­

тор d линеен и непрерывен, а множество его значений совпадает со всем пространством С" (Im d — Cn), т. е. он удовлетворяет условиям леммы об аннуляторе. На­ конец, ядро оператора d совпадает со множеством тож­

дественно постоянных вектор-функций. Пусть х* е (С”)\ Обозначим через а* значение функционала х* на век­ тор-функции, i-я компонента которой тождественно рав­ на единице, а остальные тождественно равны нулю. Рассмотрим функционал х*, определенный формулой

нне F: X —*Y назовем регулярным в точке х, если оно дифференцируемо по Фреше в этой точке и

Im F' (х) = Y.

Г

Напомним: если X и У— банаховы пространства, то

равномерной операторной топологией в пространстве

3? {X, У) линейных непрерывных отображений из X в У называется топология, порождаемая нормой

номерной операторной топологии пространства i? (А, У) в U (в точке X o ^ U ) , то говорят, что F непрерывно дифференцируемо в (J (в точке х0), или еще, что F есть отображение класса С] в U (в точке х0).

Производная функционала f(x) есть элемент сопря­ женного пространства. При этом

f(x + h ) - f ( x ) = (f'(x), А) + о (IIAll).

Точка х, где f ' ( x ) ~ 0, называется стационарной^ Если X — гильбертово пространство, то X* можно

отождествить с X. В этом случае производные функцио­ налов, заданных на X, оказываются элементами самого пространства А и их называют градиентами. Иногда градиент функции / в точке х обозначают символом gradf(x).

П р е д л о ж е н и е 1. Справедливы следующие утвер­ ждения:

а) операторы F'v (х) и F'f (х) определены однозначно; б) если отображение F окрестности точки х бана­ хова пространства X в банахово пространство У диф­ ференцируемо по Фреше в точке х, то оно непрерывно в этой точке, дифференцируемо в этой точке по Гато и

F'T {х) = F'f (х);

в) если отображение F окрестности точки х линей­ ного топологического пространства X в линейное топо-

Будем говорить, что отображение F сильно дифференци­ руемо по первой (соответственно по второй) координате

в точке (х и х2), если отображение F\ (соответственно F2) дифференцируемо по Фреше в точке Х\ (соответ­ ственно х2). Производные отображений Ft и F2 обозна­

Если же отображение F дифференцируемо по Фреше, то

F' (хи х2) (хи х2) = FXl(xh х2) xi + FXl(хь x i х2

не понадобится, и мы его не приводим. Определение старших производных по Фреше строится индуктивно. Пусть X и Y — банаховы пространства и F: X -* Y. Пер­ вую производную мы уже определили. Допустим, что отображение F дифференцируемо по Фреше в некоторой окрестности точки х. Тогда x - +F' (x) есть отображение этой окрестности в пространство &{Х, У). Если оно дифференцируемо по Фреше в точке х (при условии, что пространство 2 ( X , Y ) рассматривается вместе с силь­ ной операторной^топологией), то его производную назы­ вают второй производной отображения F в точке х и обозначают F"(x) и т. д.

z2~* B(zx,z2) линейны при всяких z2^ Z 2, Z j e Z j . Если пространства Z b Z2 и У— банаховы, то отображение В непрерывно в том и только том случае, когда при неко­ тором с > 0 неравенство

l|5(Zi. ZaHKdlz, НУz2|

выполняется при всех 2 i e Z b z2geZ2. Множество всех непрерывных билинейных отображений из ZxX Z2 в У есть линейное пространство, являющееся банаховым от­ носительно нормы

|В ||- sup {|| В (2 „ z2)\\\\\zx|К 1, ||z2||<l}.

Это пространство будем в дальнейшем обозначать сим­

=B(z2, z x).

Пусть теперь F — непрерывно дифференцируемое по

Фреше отображение открытого множества U банахова пространства X в банахово пространство У. Мы скажем,

что отображение F дважды дифференцируемо по Фреше

в точке x ^ U , если существует такое симметричное би­

F " (х) (h,h). Нетрудно понять, что оба введенных опреде­ ления действительно равносильны. Таким же образом при помощи полилинейных отображений можно ввести определения производных более высокого порядка, од­ нако в книге эти производные не встречаются, и мы опускаем эти определения.

Если в рассмотренной выше ситуации отображение F дважды дифференцируемо по Фреше в каждой точке множества U и при этом отображение x - * F " ( x ) непре­ рывно, то говорят, что отображение F дважды непре­ рывно дифференцируемо в U, или еще, что F есть ото­ бражение класса С2.

определена и вторая вариация отображения F. При этом

б2F(x, h) = F" (х) (h, h).