книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы

в системе равна нулю. Никакие сигналы не могут распро­ страняться через такую систему. Действительно, мы имеем дело не с волнами, а скорее с колебаниями.

2. ич Ф 0. В этом случае к — функция фазовой скоро­ сти и определяется соотношением

(2.23)

Поскольку из комплексности фазовой скорости следует комплексность частоты, а комплексность частоты означает экспоненциальное затухание или усиление рассматривае­ мой моды колебаний, интересно понять, при каких усло­ виях уравнение (2.23) имеет комплексные решения.

Уравнение (2.23) является полиномом порядка 2N относительно ир. Поэтому оно имеет 2N решений для ир. Эти решения могут быть как действительными, так и ком­ плексными, причем последние всегда попарно сопряжен­ ные.

В дальнейшем, изучая число действительных решений, можно сделать выводы о числе комплексных решений. Рассмотрим функцию G (ир) для действительных значений ир. Заметим, что при ир оо функция G (ир) стремится к нулю, в то время как при приближении ир к одному из N различных значений uv она стремится к бесконечности. Поскольку функция G (ир) является положительно опре­ деленной, между этими значениями uv она имеет (N — 1)

Поскольку комплексные решения попарно сопряженные, наша система будет всегда неустойчива, если среди корней kl и к% имеются комплексные решения.

144 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы

Однопучковая система

Для однопучковой системы N = 1 , v = 1 и, следова­ тельно, zc = 0, т. е. дисперсионное уравнение не имеет комплексных корней во всем интервале значений /с„ — к%. Поэтому такая система является устойчивой. Дисперси­ онное соотношение имеет вид

Это соотношение можно истолковать так, что в системе существуют плазменные колебания с допплеровским сдви­ гом частоты. Групповая скорость при этом не зависит от к и равна скорости пучка:

Полученный результат можно интерпретировать также следующим образом: частицы пучка в системе коорди­ нат, движущейся вместе с пучком, совершают обычные плазменные колебания, как и в рассмотренном случае (1) для uv = 0. Трансляционное движение с групповой ско­ ростью ug = приводит при этом к допплеровскому сдви­ гу частоты.

Двухпучковая или многопучковая система

Для N ^ 2 всегда имеется по крайней мере два комп­ лексных решения в интервале значений kh-2 < к2 < к%^.

Таким образом, система из двух или более пучков, про­ никающих один через другой, всегда неустойчива. Число комплексных мод колебаний уменьшается с увеличением к. Для очень больших значений к (т. е. малых длин волн) имеются только действительные решения, которые при­ ближенно записываются в виде

Как видно, решения (2.28) для очень малых длин волн расцепляются. Это означает, как и в случае однопучковой системы, независимое существование плазменных колеба­ ний пучка, на которые накладывается соответствующий допплеровский сдвиг.

Система из пучков электронов и ионов

В качестве следующего примера, представляющего практический интерес, рассмотрим систему, состоящую из пучка электронов и пучка ионов и характеризующуюся следующими соотношениями:

2/3

(2.29)

Первое условие всегда выполняется благодаря малости отношения массы электрона к массе иона. Из второго же условия следует, что направленная скорость ионов долж­ на быть значительно меньше скорости электронов: такое положение имеет место во многих практических случаях. Дисперсионное соотношение для рассматриваемой систе­ мы записывается в виде

Для того чтобы найти критическое значение волнового вектора &кр, продифференцируем уравнение (2.30) по ир:

Подставим это значение ир в (2.30) и вновь используем

Система из электронно-ионных пучков устойчива для зна­ чений волнового вектора к > * к кр и неустойчива для к • <

< С к Кр .

1 0 - 0 1 2 9 1

функцию для системы пучков, за исключением поведения ее в окрестности каждой средней скорости (u)v внутри

области ulv ^ и ^ w2v, где характеристическая функция принимает отрицательные значения, в то время как для отдельных пучков частиц она является всюду положитель­ но определенной. На фиг. И приведен схематически гра-

Ф и г. 11. Характеристическая функция для распределения, пред­ ставленного на фиг. 10.

фик характеристической функции для функции распреде­ ления F (и), показанной на фиг. 10.

Из анализа, аналогичного тому, который был проведен для многопучковой системы, видно, что распределение в виде неперекрывающихся пакетов всегда неустойчиво, если число пакетов больше, чем один,

Если этот ряд оборвать при р = т, то получим неявное уравнение порядка (т -f- 2), связывающее со и к.

Чтобы прийти к результату Ленгмюра, который справедлив при up ^> um, оборвем ряд при р — 2. Используя соотношения

Условие (2.56) может быть всегда удовлетворено соответ­ ствующим выбором системы координат.

Поскольку в (2.56) мы пренебрегли членами четвертого порядка, то в правой части соотношения (2.57) следует положить со — сороТогда

Очевидно, что соотношение (2.58) дает дисперсию, зави­ сящую от квадрата средней скорости. Групповая скорость, согласно (2.58), определяется как

При этом учтено, что наше рассмотрение является после­ довательным для значений к, которые удовлетворяют условию

(2-60)

ит

Ионно-звуковые волны

Рассмотрим систему, состоящую из холодных ионов и горячих электронов. Распределение ионов описывается функцией Дирака:

152 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы

При этом провал в распределении ионов простирается от нуля до бесконечности. Электроны же описываются функ­ цией распределения

где с — нормировочная постоянная. Провал в электронной

I U | > U

(2.63)

Разложим теперь величину (1 — ир!и)~г в ряд по степеням

ир/и.

На данном этапе выберем й в интервале

(2-64)

Это означает, с одной стороны, что большинство электро­ нов участвует в нашем распределении, а с другой, что выполняется условие й ир. Поскольку функция распре­ деления F _ (и) является четной, из (2.63) находим

Для очень больших значений (kkD_) мы получаем несвя­ занные колебания на ионной плазменной частоте сор+. Интересным является случай, когда (kkD_) 1. Диспер-