книги из ГПНТБ / Верещагин, И. К. Электролюминесценция кристаллов

В тех же условиях, но при б Ф О, коэффициент умножения будет меньше на величину 6[ехр (a W ) — 1]:

Если коэффициенты ионизации для электронов и ды­ рок мало отличаются и можно принять, что а = |3, то (7.5) и (7.6) заменяются следующим:

В этом случае, разумеется, не существенно, какие именно носители создают первые ионизации и в выражение (7.10) величина б не входит.

Таким образом, при умножении в неоднородных полях коэффициенты М ш а входят в интегральные уравнения и подсчет а по найденным из измерений М достаточно сложен. В работе [18] отмечено, что из пары уравнений

одних и тех же образцах проведены измерения как Мп, так и Мр.

Поскольку темновые токи могут расти с напряжением не только вследствие умножения (например, из-за зави­ симости от $ входящего в барьер тока), коэффициент умножения находится обычно путем наблюдения зависи­ мости от напряжения добавочного тока, созданного све­ том или радиоактивным излучением. При этом количество генерируемых носителей при всех напряжениях одинаково и число носителей, попадающих в область сильного поля, постоянно (или почти постоянно, так как коэффициент собирания носителей может несколько увеличиваться с ростом поля). В идеальном случае кривая фототока /ф (F) имеет при малых V горизонтальный участок, который сменяется затем быстрым ростом тока, связанным с ум­ ножением. Коэффициент умножения при этих V полу­ чается как отношение 1ф к току /ф0 при малых V. При освещении р —и-перехода электронно-дырочные пары мо­ гут создаваться как в р-, так и га-области, т. е. в слой с

50

сильным полем могут попадать как электроны, так и дырки. Если а-—р, то, как ранее отмечалось, получается более простое соотношение (7.10), связывающее М и а. Часто, однако, а и р существенно различаются и при инжекции зарядов обоих знаков связь М и а определя­ ется достаточно сложным общим уравнением (7.4). Но если одна из сторон р —n-перехода освещается сильно поглощающимся светом, то генерация носителей идет преимущественно по одну сторону от перехода, прилегаю­ щую к освещаемой поверхности, и в переход попадают носители одного знака. В этом случае удается восполь­ зоваться менее сложными соотношениями (7.5) и (7.6). Облучение перехода более проникающим излучением поз­ воляет создавать пары по обе стороны от перехода и вво­ дить в него и электроны, и дырки. При этом, если а р, то наблюдаемые значения М (У) должны измениться.

Обычно р — «-переходы могут быть расположены достаточно близко только к одной грани образца, осве­ щение возможно также только с одной стороны и описан­ ная выше процедура (применение света различных длин волн) является единственно возможной для разделения носителей, входящих в переход. Таким путем определя­ лось, например, различие а и р в кремнии [18]. Другой возможностью является освещение торца р —«-перехода узким пучком света, который может перемещаться в нап­ равлении, перпендикулярном к плоскости перехода [25].

Реальные р —«-переходы всегда оказываются в той или иной мере неоднородными вследствие случайных колебаний в концентрации примесей или наличия какихлибо дефектов решетки. Соответственно величина поля может изменяться от точки к точке в плоскости перехода. Присутствие мест с более высокой напряженностью поля (т. е. более низким напряжением пробоя У#) приводит к тому, что измеряемый М будет отражать как умножение фотоносителей во всем слое, так и умножение в этих местах. Роль областей с различным Ув зависит как от соотношения площадей, занимаемых этими областями, так и от степени различия Ув [26, 27]. В настоящее время удается получить достаточно однородные переходы в крем­ нии, для которых Ув очень мало (на несколько десятых

51

можно измерить только М и V, поэтому для определения $ нужны данные о ширине области сильного поля W (V). Последние находятся из измерений емкости переходов при различных напряжениях. Так как а зависит от координаты вследствие изменения поля Ш(х), для вы­ числения по известным М значений а (или, наоборот, по принятой зависимости а (ё) значений М) необходимо знать форму зависимости а (ё) и каким образом поле из­ меняется с расстоянием, т. е. вид функции ё (х).

§ 8. Зависимость коэффициента ударной ионизации от напряженности поля

Теория ударной ионизации развивалась в связи с изучением электрического пробоя полупроводников. Тео­ ретическому рассмотрению этого вопроса посвящены работы многих авторов [26, 29—38]. Вид выражения для а (ё) зависит от того, каким путем электрон приобретает энергию в электрическом поле. Возможны два крайних случая;

1.Электрон получает энергию Ei, необходимую для ионизации атомов решетки, пройдя без столкновений случайно большой путь lt. До этого пробега электрон обладал энергией, значительно меньшей Ei. Подобный механизм ускорения электронов рассматривался ранее в связи с явлениями в газовом разряде (Таунсенд) и был использован для описания ионизации в твердом теле Чуенковым, Шокли и другими авторами.

2.Электрон набирает энергию Ei постепенно, после многих столкновений с фононами. При этом, конечно, за время между столкновениями он должен приобретать энергию большую, чем теряемая им при очередном столк­ новении. Энергия электрона возрастает в этом случае постепенно, происходит диффузия по энергии. Диффу­ зионный механизм ускорения электронов рассматривался Вольфом [31], Чуенковым [32], Келдышем [33] и рядом других авторов [29, 35]. Далее кратко рассматриваются основные выводы теорий этих двух типов, причем для дальнейшего представляет интерес прежде всего следую­ щий из них общий вид зависимости а (со).

Впервом случае, когда электрон приобретает всю энергию Ei на одном пробеге Z*, средняя энергия электро­ нов далека от Ei, но небольшая часть электронов на хвосте распределения может достичь этой энергии. Поте­

52

ряв после Предыдущего столкновения почти всю полу­ ченную от поля энергию, электрон достигнет Ei, если пройдет затем путь Е, при котором e£lt = Ei (е — заряд электрона). Вероятность пройти этот путь lt при среднем пробеге I будет пропорциональна ехр (—IJI), т. е. и вероят­

Так как в валентных полупроводниках при рассеянии на колебаниях решетки I не зависит от скорости электрона, то зависимость а ($) будет иметь следующий вид;

Подобное выражение, полученное Шокли [26] для области слабых полей, имеет вид

h и I здесь подразумеваются средние пробеги между ак­ тами ионизации и рассеяния на оптических колебаниях решетки соответственно. Ситуация соответствует слу­ чаю, когда средняя энергия носителей по порядку вели­ чины сравнима с /гю, а после рассеяния носитель имеет энергию, меньшую /гсо. Потери при акустическом рассея­ нии не учитываются.

Выражение (8.2) содержит три подбираемых параметра: Ei, I и р. Если сравнивать (8.2) с опытными данными для кремния [39J, то в области слабых полей ($<2 4-10ьв!см) достаточно хорошее согласие теории и опыта получается

ными по квантовому выходу фотоионизации в германии [40] необходимо предположить, что Ei > АЕ. В более поздних расчетах [33, 34] было показано, что зависимость вида (8.1) для области слабых полей может быть получена и из решения кинетического уравнения.

Вольф [31] проделал расчет коэффициента ударной ионизации а, который сходен с аналогичным расчетом для газового разряда. Метод состоял в решении уравнения Больцмана с учетом влияния на функцию распределения электронов по энергиям соударений с фононами и ато­ мами решетки, при которых создаются пары новых но­ сителей. Это решение в общем случае достаточно сложно,

53

поэтому отдельно рассматриваются области низких и вы­ соких энергий электронов (ниже и выше порога иониза­ ции). Для второй области удается получить решение уравнения Больцмана для энергий, превышающих порог на несколько десятых электрон-вольта. В этом случае её1 tUо и функцию распределения электронов по энер­ гиям можно разложить в ряд по полиномам Лежандра, ограничившись двумя членами, первый из которых не зависит от угла ф между векторами скорости электронов и поля и значительно больше второго, который зависит от ф, т. е. изотропная часть функции распределения пре­ обладает. Решение для промежуточной области энергий требует использования вычислительной техники, но воз­ можна экстраполяция решений для низких и высоких энергий в промежуточную область.

Вольф получил достаточно хорошее согласие расчетных и опытных кривых а (ё) для кремния, особенно в об­ ласти высоких полей. В выражение для а входит пара­ метр Е 0 — энергия, соответствующая точке пересечения решений для областей высоких и низких энергий. Эту величину необходимо брать на несколько десятых элект­ рон-вольта выше порога образования пар, что создает некоторую неопределенность, но форма расчетных зави­ симостей а (ё) мало зависит от величины Е 0. Достаточно хорошее согласие опытных и теоретических кривых полу­

раметра (длины свободного пробега электронов) в пре­ делах 160 А <1 I < 260 А.

Подсчет а по выражениям Вольфа связан с числен­ ным интегрированием, поэтому удобнее пользоваться

фононов). Как было показано Неймарк [41], хорошая аппроксимация уравнения Вольфа достигается, если принять для а следующее выражение:

54

татов по умножению электронов в кристаллах обычно связаны с рядом упрощений, поэтому, сохраняя примерно одинаковую форму зависимости от поля, расчетные и экспериментальные значения а могут иногда различаться вдвое [41]. Учитывая значение Y, (8.4) можно записать в следующем виде :

(8.5)

в котором & — напряженность поля, а сг и с2 — постоян­ ные для данного материала величины. Как будет видно из дальнейшего, к сходным результатам приводят и рас­ четы других авторов.

В работе Чуенкова [32] путем решения кинетического уравнения, учитывающего рассеяние на тепловых коле­ баниях решетки, ионизацию электронным ударом, теп­ ловое возбуждение и рекомбинацию, получена функция распределения электронов (дырок) в сильном электричес­ ком поле для валентных полупроводников. Соответствую­ щее выражение для коэффициента ударной ионизации содержит, так же как и уравнение (8.5), экспонен­ циальный множитель, зависящий от квадрата напряжен­ ности поля. Если воспользоваться приближенным выра­ жением для функции Уиттекера [42], которая входит в выражение а ($), и ограничиться первым членом разло­ жения, то формула а может быть записана в следующем виде:

(8. 6)

Здесь с — постоянная, &0 — некоторое характеристи­ ческое поле, при котором средняя энергия электронов равна 0,647?г:

(8.7)

I — длина свободного пробега, а

( 8 . 8)

55

(Т — температура, а со — частота оптических колебаний). Энергия ионизации может быть найдена из соотношения

(6.2).

При данной температуре вид (8.6) аналогичен виду уравнения (8.5), приближенно описывающего результаты теории Вольфа. Самым существенным при этом является одинаковая зависимость а от поля, так как постоянные величины, входящие в эти уравнения, могут быть най­

Рис. 8Л. Зависимость коэффициента ударной ионизации а от напряженности поля в арсениде галлия (данные [43]). Стрелки указывают шкалы для каждой кривой,

измерений на р —n-переходах в арсениде галлия (43]. На рис. 8.1 эти данные приведены в координатах, соот­ ветствующих формулам (8.2) и (8.6). При подсчете а по измеренным значениям коэффициента умножения фото­ электронов предполагалось, что а = р и справедливо приближенное соотношение (9.4), в которое входит мак­

электронов ухудшаются. По Чуенкову [32] температур­ ная зависимость а определяется температурной зависи­

56

йойиЗаЦий примет Тогда следующий вид:

Основные изменения а с температурой будут, естественно, определяться множителем ст в показателе экспоненты, поэтому с увеличением температуры а уменьшается. Если интервал изменения температуры достаточно велик, не­ обходимо учитывать, кроме того, температурные измене­ ния энергии ионизации, т. е.

ширины запрещенной зоны материала.

С точки зрения вида функ­ ции распределения электро­ нов в пространстве импуль­ сов две области полей, соот­ ветствующие законам (8.6) и (8.2), различаются тем, что

впервом случае функция рас­ пределения обладает сфери­ ческой симметрией, а во вто­ ром — имеет острый выступ

внаправлении поля. Оба случая являются крайними

ется поэтому приближение, которое не зависит от этих двух простых форм угловой зависимости распределения. Кривые al в зависимости от напряженности электриче­ ского поля получены численным интегрированием кине­ тического уравнения в предположении параболичности зон энергии и постоянства длины пробега электронов I (рис. 8.2). Каждая кривая соответствует определенному отно­ шению энергии фонона /гео к энергии ионизации Ех- Кри­ вые на рис. 8.2 относятся к случаю, когда отношение г3 поперечного сечения столкновения, ведущего к иониза­ ции, к полному сечению рассеяния резко возрастает до значения 0,5 при энергии электронов Е > Ех- Изменение гв довольно слабо влияет на величину al, особенно в

57

области высоких полей. Данными рис. 8.2 можно Поэ­ тому пользоваться для получения аI с достаточной точ­ ностью при изменении ra от 0,2 до 1,0, хотя значение rs (Е ) обычно вообще неизвестно.

Параллельные прямые линии в нижней части чертежа соответствуют по наклону зависимости типа (8.1), отве­ чающей теории Шокли, хотя абсолютные значения а получаются при тех же параметрах более высокими, чем подсчитанные по уравнению (8.2). Участки кривых в верхней части рисунка имеют форму, согласующуюся с теорией Вольфа и Чуенкова (зависимость типа (8.5)), но это согласие также не вполне точное. Критерием пе­ рехода от области слабых полей, когда оказывается спра­ ведливой зависимость вида (8.1), к области более сильных полей, для которых выполняется зависимость вида (8.5),

т. е. соответствуют области справедливости теории Вольфа. Это действительно наблюдается на опыте (см. рис. 8.1). Для кремния существующие, данные, по-види- мому, лучше соответствуют расчетам Бараффа, если гра­ ница двух областей поля с разной зависимостью а (ё)

определяется условием ^ ж З - ь 4 [43].

Результаты расчетов Бараффа сравнивались с опыт­ ными зависимостями а (ё), полученными на р —га-пере- ходах в арсениде галлия [43] и кремния [18]. Теорети­ ческие кривые а (ё) зависят от трех параметров: I, Ei и 1т. Последняя величина обычно достаточно хорошо из­ вестна, в то время как I ш Ei могут быть оценены лишь приблизительно. При выбранной Ei изменение I позво­ ляет совместить опытные и вычисленные кривые а (ё). Так, для кремния (Йы = 0,06 эв [44]) хорошее согласие теоретических и измеренных зависимостей а (ё) для электронов получается при I = 50—70 А, а для дырок — при I = 30—45 А (меньшие цифры соответствуют Ei = = ЛЕ, а большие E t = 1,5ЛА). При E t > 1,5ДА опыт­ ные данные не удается вполне совместить с расчетными кривыми [18]. Если теоретические кривые а (ё) доста­ точно точны, то подобное сопоставление их с измеренными значениями а является способом нахождения среднего

58

свободного пробега носителей заряда. Результаты более ранних измерений а электронов [20, 39] в кремнии могут быть согласованы с кривыми Бараффа, если учесть зави­ симость г8 ($), так как эта величина, хотя и слабо, но влияет на значение а и наклон кривых зависимости In а от Ш~г.

Расчеты Бараффа выполнены для нескольких значений параметров и относятся к температурам, близким к нулю. В аналитической форме и для произвольных значений поля и температуры выражение для коэффициента удар­ ной ионизации в валентных полупроводниках было полу­ чено Келдышем [33]:

а(&, Т) =

m — эффективная масса, определяемая по плотности сос­ тояний, тп1 — эффективная масса для движения вдоль

массой носителей, не зависящей от направления. При наличии анизотропии

где А о = 1оп/1ак и определяет относительный вклад рас­ сеяния на оптических и акустических фононах в полную длину свободного пробега I :

В этом случае величина поля входит в знаменатель пока­ зателя экспоненты уравнения для а в квадрате, что со­

59