Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

Рис. 19. Зависимость положения аттрактора x от параметра в диапазоне от 0 до 1,25.

т.е., другими словами, x1 и x2 являются неподвижными точками отображения

f ( f (x)) f 2 (x) .

Конечно же, уравнению x f 2 (x) удовлетворяет и прежняя неподвижная точка x , определяемая по формуле (20). Однако при 0,75 , как уже говорилось ранее, такая неподвижная точка уже становится неустойчивой и поэтому не может являться аттрактором.

При дальнейшем увеличении параметра ситуация будет повторяться, т.е. будут обнаруживаться всё новые и новые точки бифуркации 1, 2 , 3 , , при переходе через которые будет происходить удвоение периода.

Так, при переходе через точку k цикл периода 2k 1 теряет устойчивость, но зато рождается новый устойчивый цикл периода 2k, и так до бесконечности. В результате, с ростом, бифуркационная диаграмма будет всё разветвляться и разветвляться (см. рис. 20).

Рис. 20. Зависимость положения аттрактора x от параметра в диапазоне от 0 до c .

переходе через c динамика системы существенно меняется. При c вместо регулярного периодического движения наблюдается хаотическое поведение системы, а аттрактор становится странным аттрактором.

Это видно и из бифуркационной диаграммы (см. рис. 2122), на которой при c наблюдаются области хаоса, чередующиеся «окнами устойчивости» – узкими зонами по параметру , в которых динамика системы вновь становится периодической.