Динамический хаос (ИПИС, ФКС)
.pdf
В более широком смысле вместо слова «площадь» употребляют термин «мера». Так, в случае одномерного фазового пространства мера – это длина, в случае двухмерного – площадь, в случае трёхмерного – объём и т.д.. Сохранение меры (площади) в нашем отображении пекаря отвечает тому, что наше тесто является несжимаемым.
Отображение «кот Арнольда»
Рассмотрим ещё одно двумерное отображение
p { p q} |
, |
(39) |
|
||
q { p 2q} |
|
|
которое называют отображением «кот Арнольда» (Arnold’s cat map). Причиной для такого названия послужило то, что предложивший это отображение математик В.И. Арнольд использовал для иллюстрации его действия изображение кота (см. рис. 40).
Рис. 40. Геометрическая иллюстрация действия классического отображения «кот Арнольда».
Геометрически первый шаг процедуры состоит в линейном преобразовании координат
p p qq p 2q
или в матричной форме
p |
1 |
1 |
p |
||
|
|
|
2 |
|
. |
q |
1 |
q |
|||
Второй шаг процедуры заключается в переносе элементов картинки, выходящих за рамки единичного квадрата, обратно в него. Последнее действие соответствует операции взятия дробной части, благодаря присутствию которой фазовое пространство можно считать периодическим по обеим динамическим переменным p и q и интерпретировать его как поверхность тора. Однако для более наглядного представления динамики нашей системы всё-таки гораздо удобнее использовать единичный квадрат.
Как и отображение пекаря, отображение «кот Арнольда» относится к классу консервативных динамических систем. Математически это выражается тем, что определитель матрицы
1 |
1 |
|
(40) |
M |
|
, |
|
1 |
2 |
|
|
задающей отображение, равен 1. Действительно,
J 11 12 1 .
Следовательно, это отображение сохраняет меру (площадь) любой области, например, изображения кота.
Ранее было сказано, что отображение «кот Арнольда» можно рассматривать как отображение на поверхности тора. Оказывается, что это отображение является лишь частным случаем более широкого класса линейных отображений на торе. Такие отображения задаются всевозможными матрицами 2 2 с целочисленными элементами и единичным определителем:
a |
b |
|
M |
, |
(41) |
c |
d |
|
p {a p bq} |
|
|
|
, |
(42) |
q {c p d q} |
|
|
J |
a |
b |
a d bc 1 . |
|
c |
d |
|
Свойства отображений (42) зависят от так называемых собственных значений матрицы M, которые находятся из уравнения:
M x x ,
a |
b p |
p |
||
|
|
|
|
, |
c |
d q |
q |
||
(a ) p b q 0 |
|
|
|
|
, |
(43) |
|
c p (d ) q 0 |
|||
|
|
(a ) |
b |
0 |
, |
c |
(d ) |
||
|
|
|
(a )(d ) bc 0 ,
2 (a d) (a d bc) 0 . (44)
В зависимости от значений корней 1 и 2 этого уравнения отображения вида (42) можно отнести к одному из трёх типов:
1) |
гиперболический, если |
1 |
1 , а 2 1; |
2) |
параболический, если |
1 |
2 1 ; |
3) эллиптический, если 1 и 2– комплексно-сопряжённые.
Отображение «кот Арнольда» задаётся матрицей (40), для которой уравнение (44) имеет вид
2 3 1 0 ,
D 9 4 5 .