Динамический хаос (ИПИС, ФКС)
.pdf
1 |
|
r |
1 |
|
x |
|
r |
|
|
r |
1 |
2 |
x2 |
|
, |
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
n 1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
r |
|
r |
|
|
r r |
2 |
|
|||
|
1 xn 1 |
|
2 |
1 |
|
2 |
1 |
xn2 |
, |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
xn 1 |
1 |
r |
r |
|
|
2 |
|
1 xn2 |
, |
||
|
|
2 |
|
|
Обозначив коэффициент, стоящий перед xn2 , за , в результате логистическое отображение, вместо формулы (3), примет более простой вид
x |
1 x2 |
, |
(8) |
n 1 |
n |
|
|
где также будем называть управляющим параметром, от величины которого будет зависеть характер динамики системы. На рис. 14 показан график отображения (8).
Рис. 14. Логистическое отображение при значении параметра 2 .
Рассмотрим сначала частный случай логистического отображения, соответствующий значению параметра2 . В этом случае отображение принимает вид
x |
1 2x2 . |
(9) |
n 1 |
n |
|
При этом переменная xn будет принимать значения из диапазона 1 xn 1 . Далее для дальнейшего анализа отображения (9) воспользуемся методом, предложенным Уламом и фон Нейманом. Суть их метода заключается в следующем. Сделаем замену переменной
xn cos(2 yn ) . |
(10) |
После подстановки (9) в отображение (9) получим |
|
cos(2 yn 1) 1 2cos2 (2 yn ) |
, |
cos(2 yn 1 ) cos(4 yn ) .
Это соотношение будет справедливо для всех n , если потребовать выполнение условия
yn 1 {2 yn} . |
(11) |
Действительно, проверим:
cos(2 yn 1 ) cos(2 {2 yn}) cos(2 2 yn ) cos(4 yn ) .
Таким образом, последовательность xn cos(2 yn ) будет подчиняться логистическому отображению (9), если переменная yn подчиняется условию (11), которое представляет собой не что иное, как отображение «зуб пилы».
Ранее мы установили, что в отображении «зуб пилы» хаос присутствует, значит, он будет наблюдаться и в нашем логистическом отображении. Действительно, для этого достаточно задать y0 двоичной дробью в виде случайной последовательности 0 и 1. Например,
y0 0,10010111011001 .
Тогда динамика переменной yn будет хаотической (сдвиг Бернулли). Следовательно, хаотической будет и динамика
переменной xn при старте из начальной точки x0 cos(2 y0 ) . Оказывается, что это хаотическое
решение можно записать в явном виде. Действительно, учтём, что отображение «зуб пилы» можно записать в отличной от (11) форме, а именно
y |
n |
{2n y } . |
(12) |
|
0 |
|
Тогда, подставляя (12) в (10), имеем
xn cos(2 yn ) cos(2 {2n y0}) cos(2n 1 y0 ) . (13)
Выразим теперь y0 через x0 , используя (10):
x cos(2 y |
) , |
|
|
0 |
0 |
|
|
2 y0 |
arccos(x0 ) . |
(14) |
|
Тогда, подставляя (14) в (13), получим для случая n 0
xn cos(2n 1 y0 ) cos 2n ( arccos(x0 )) cos(2n arccos(x0 )) .
Таким образом,
x |
cos(2n arccos(x )) |
(15) |
n |
0 |
|
является точным решением рекуррентного уравнения (9), соответствующего параметру 2 .
Используя выражение (15) можно проследить, как изменяется последовательность итераций x0 , x1, x2 , при изменении n .
Рис. 15. Последовательность итераций x0 , x1, x2 , для логистического отображения с 2 .
Используя (15), можно также исследовать зависимость итерации на n -м шаге от выбора начального значения x0 .
Рис. 16. Зависимость результата итерации xn ( n 1,2,3,4) от начального значения x0 .
Из рис. 16 видно, что с ростом n чувствительность системы к изменению начальных условий увеличивается, что является признаком того, что динамика рассматриваемой системы при 2 носит хаотический характер.
Аналогичный анализ можно провести и для логистического отображения (8)
x |
1 x2 |
n 1 |
n |
с произвольным параметром . Рассмотрим значения в диапазоне от 0 до 2.
Введём новое понятие.
Неподвижная точка отображения – это такой набор динамических переменных, который не изменяется при отображении, т.е.
ˆ |
(16) |
x F x . |
Если система обладает лишь одной динамической переменной – x , то в этом случае неподвижные точки могут быть найдены из уравнения
x f (x) , |
(17) |
или в нашем случае
x 1 x 2 . |
(18) |