Динамический хаос (ИПИС, ФКС)
.pdf
Рис. 42. Сокращение фазового объёма диссипативной динамические системы и появление аттрактора.
Под аттрактором мы понимаем множество точек в фазовом пространстве, посещаемых диссипативной системой в установившемся режиме движения, т.е. спустя достаточно длительное время. Аттракторы делятся на регулярные и странные.
К регулярным аттракторам относят: притягивающие неподвижные точки, притягивающие периодические траектории (предельные циклы) и другие подобные многообразия. Примеры таких аттракторов мы уже приводили ранее на рис. 4 и 5.
Рис. 4. Фазовые траектории затухающих колебаний, происходящих по закону x Aexp( t)cos( t ).
Рис. 5. Фазовые траектории автоколебательных систем.
Странными называют аттракторы, которые не относятся к регулярным. Обычно такие странные аттракторы представляют собой сложно устроенные фрактальные множества, притягивающие к себе все траектории из некоторой прилегающей области фазового пространства (бассейна аттрактора). Динамика на таких аттракторах обычно хаотична, в этом случае их ещё называют хаотическими аттракторами. Ранее уже говорилось, что ярким примером такого странного аттрактора является аттрактор Лоренца (см. рис. 7).
Рассмотрим более подробно возможность появления странных аттракторов в диссипативных динамических системах.
Рис. 7. Странный аттрактор Лоренца.
Странный аттрактор в обобщённом отображении пекаря
Ранее нами было рассмотрено отображение пекаря (37)
|
|
{2x} |
|
x |
|
||
|
|
y [2x] |
|
|
|
. |
|
y |
|
||
|
|
2 |
|
Для его реализации мы брали квадратный кусок теста, окрашивали его половину в серый цвет и выполняли следующие действия:
1)раскатывали тесто так, чтобы ширина серой и белой части увеличилась в 2 раза;
2)разрезали кусок теста пополам вдоль границы раздела;
3)перемещали его белую половинку к серой так, чтобы кусок теста принял свою первоначальную форму.
Процесс выполнения действий 1-3 был представлен ранее на рис. 38.
Рис. 38. Геометрическая интерпретация отображения пекаря (37).
В результате неоднократного выполнения таких действий мы получали картину, изображённую ранее на рис. 39.
Рис. 39. Несколько первых шагов итераций отображения пекаря (37). В верхней части рисунка показаны три шага последовательных итераций отображения, а внизу – состояние, возникшее после некоторого достаточно большого числа итераций.
Нами было установлено, что это отображение сохраняет меру (площадь), т.е. описывает консервативную систему. Теперь выполним некоторую модификацию этого отображения, так чтобы оно уже не сохраняло меру (площадь) и описывало бы диссипативную систему.
Для этого сначала окрасим обе половинки теста в серый цвет. Далее выполним следующие действия:
1)раскатаем тесто так, чтобы оно по ширине увеличилось бы в 2 раза, а по высоте – сжалось в три раза;
2)разрежем кусок теста пополам;
3)переместим его правую часть и разместим её внутри первоначального квадрата у верхнего его края.