Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

Рассмотренное отображение называется обобщённым отображением пекаря и в аналитической форме его можно записать в виде

Заметим, что суммарная площадь прямоугольников, образовавшихся после применения преобразования, уменьшилась и стала равна 2 3 . Таким образом, обобщённое отображение пекаря (50) уже не сохраняет меру (площадь), а следовательно оно описывает диссипативную динамическую систему с двумерным фазовым пространством.

На рис. 44 показано, что происходит при нескольких последовательных итерациях отображения (50). В результате таких итераций образуется система горизонтальных полос, суммарная ширина которых убывает с ростом числа итераций по закону (23)n .

Рис. 44. Геометрическая интерпретация действия обобщённого отображения пекаря (50) на нескольких шагах итерации. В результате формируется кантороподобная структура аттрактора.

Объект, возникающий в пределе бесконечно большого числа итераций, в сечении представляет собой так называемое канторово множество или пыль Кантора (см. рис. 45). Это множество можно получить, если взять единичный отрезок, разделить его на три равные части, а затем удалить среднюю часть и такую же процедуру проделать с каждым из оставшихся отрезков неограниченное число раз.

Рис. 45. Канторова пыль.

В результате с ростом числа итераций все точки исходного единичного квадрата неограниченно приближаются к вышеуказанному канторовому множеству, а, значит, это множество и является аттрактором обобщённого отображения пекаря. Ввиду фрактальности (самоподобности) полученного нами канторова множества наш аттрактор принадлежит к классу странных

Кроме того, в таком аттракторе наблюдается сочетание устойчивости и неустойчивости: соседние по горизонтали точки на аттракторе удаляются друг от друга при последовательных итерациях (неустойчивость), однако, соседние по вертикали точки с каждой итерацией всё ближе и ближе подходят к аттрактору (устойчивость). Такое сочетание устойчивости и неустойчивости связано с отмеченной ранее гиперболичностью отображения пекаря.

Странный аттрактор Плыкина

Рассмотрим другой пример двумерного отображения, имеющего хаотический аттрактор (Плыкин, 1980). Рассмотрим область R на плоскости (x, y) , показанную на рис. 46 а. Она состоит из квадрата и трёх полудисков с полукруглыми вырезами. Область покрыта штриховкой, показывающей заданное на ней поле направлений. Определим двумерное отображение так, чтобы результатом его действия на точки области R стала фигура, показанная на рис. 46 б.

Рис. 46. Исходная область с определённым на ней полем направлений (а) и результат её преобразования за один шаг отображения Плыкина (б).