Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

В отличие от примеров, рассмотренных ранее, мы получили двумерное отображение, описывающее динамику в переменных x и y , которые задают мгновенное состояние нашей системы. Именно задание двух величин – x и y – обеспечивает возможность нахождения последующего состояния нашей системы по известному начальному.

По самому своему построению наша система может демонстрировать хаотическую динамику: чтобы получить хаос нужно взять в качестве начальной последовательности битов

,b 3 ,b 2 ,b 1,b0 ;b1,b2 ,b3 ,

случайный набор символов 0 и 1. Помимо хаотических траекторий такая система обладает также бесконечным множеством периодических траекторий, т.е. циклов – им будут соответствовать периодические последовательности начальных битов (30).

Так, например, последовательности битов

,0,1,0,1,0,1;0,1,0,1,0,1,

Представим теперь, что наш квадрат – это кусок теста. Произведём с ним некоторые действия:

1)раскатаем тесто так, чтобы ширина серой и белой части увеличилась в 2 раза;

2)разрежем наш кусок теста пополам вдоль границы раздела;

3)переместим его белую половинку и поместим её рядом с серой так, чтобы кусок теста принял свою первоначальную форму.

Процесс выполнения действий 1-3 представлен на рис. 38.

При последующих итерациях отображения пекаря серая и белая части теста всё более и более перемешиваются. На рис. 39 показаны результаты нескольких первых итераций.

Рис. 39. Несколько первых шагов итераций отображения пекаря (37). В верхней части рисунка показаны три шага последовательных итераций отображения, а внизу – состояние, возникшее после некоторого достаточно большого числа итераций.

При большом числе итераций распределение цветов принимает вид набора тонких и длинных чередующихся тёмных и светлых полос. При многократном повторении процедуры итерации, в конце концов, получаем кусок теста, который выглядит однородным. Взяв для пробы небольшой кусочек теста, мы обнаружим в нём присутствующие в равных долях тёмную и светлую составляющие. Такое свойство отображения пекаря называется перемешиванием.

Отображение пекаря (37) относится к классу консервативных динамических систем, т.к. это отображение сохраняет неизменной площадь теста (фазовый объём системы). Если взять на плоскости (x, y) некоторую область и подвергнуть каждую её точку действию отображения пекаря, то она перейдёт в некоторую другую по форме область, но площадь этой новой области будет совпадать с первоначальным её значением.