Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

Как следует из вышесказанного, понятие «динамическая система» носит общий характер и может описывать различные по своей природе, происхождению и свойствам

т.е. те закономерности, которым она подчиняется. Так, для

тела, брошенного с некоторой высоты, оператор эволюции ˆ

F

определяется законами движения тела в поле тяжести Земли. Для биологической же системы, состоящей из различных популяций особей, оператор Fˆ задаёт, как внутренние законы поведения особей в популяции (процессы рождения и гибели), так и законы взаимоотношений между различными популяциями (отношения «хищник»-«жертва»).

Было бы естественно предположить, что детерминированное движение (описываемое, например, непрерывными дифференциальными уравнениями) должно быть достаточно регулярным и далёким от хаотичности, поскольку одно состояние системы последовательно и непрерывно сменяет другое состояние. Так раньше и думали, однако, математик Анри Пуанкаре (1854–1912) в 1880-х годах обнаружил, что в некоторых механических системах, эволюция которых во времени определяется уравнениями Гамильтона (например, в задаче трёх тел в небесной механике), помимо регулярных движений могут обнаруживаться и хаотические, т.е. нерегулярные движения. В то время этот результат был воспринят остальными учёными как курьёз и не принимался всерьёз. И только спустя длительное время результаты, полученные А. Пуанкаре, были оценены по достоинству и оказали большое влияние на дальнейшее развитие нелинейной динамики и исследований динамического хаоса.

1) Механика

•А. Пуанкаре (задача трёх тел в небесной механике)

•А.Н. Колмогоров, В.И. Арнольд, Ю. Мозер (КАМ-теория)

•А.М. Ляпунов (теория устойчивости)

2)Статистическая физики

•Энрико Ферми, Джордж Биркгоф, Джон фон Нейман, Пауль Эренфест (эргодическая теория, эргодическая гипотеза)

•Н.С. Крылов, В.И. Оселедец (неустойчивость фазовых траекторий, мультипликативная эргодическая теорема)

•А.Н. Колмогоров, Я.Г. Синай (динамическая энтропия, «бильярд Синая»)

3) Электротехника и электроника

•Б. Ван-дер-Поль, Ван-дер-Марк (осциллятор Ван-дер- Поля)

•Картрайт, Литтлвуд (автогенератор под периодическим внешним воздействием)

•Л.И. Мандельштам, А.А. Андронов, Понтрягин (теория нелинейных колебаний, автоколбания, бифуркация Андронова–Хопфа)

•А.В. Гапонов-Грехов, Ю.И. Неймарк, М.И. Рабинович, Л.П. Шильников (популяризация хаотической динамики в России)

4)Гидродинамика и турбулентность

•Осборн Рейнольдс, Л. Ричардсон, Л.Д. Ландау, Э. Хопф, Д. Рюэль, Ф. Такенс (природа турбулентности)

•Э. Лоренц (метеорология)

Э. Лоренц (1963 г.), изучая движение потоков воздуха в атмосфере Земли, обнаружил, что такое движение описывается простой системой из трёх связанных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, в которой также могут наблюдаться совершенно хаотические траектории. Систему этих трёх уравнений сейчас принято называть системой Лоренца. Лоренц понял, что причина появления хаотических траекторий заключается в чрезмерной чувствительности траекторий системы к начальным условиям. Такую чувствительность к начальным условиям Лоренц назвал «эффектом бабочки», т.к. на решение его уравнений, приближённо описывающих движение потоков воздуха в атмосфере, может повлиять даже взмах крыльев бабочки.

5) При исследовании дискретных отображений

•Томас Мальтус, Станислав Улам, Джон фон Нейман, Роберт Мэй (логистическое отображение)

•Ли, Йорк, А.Н. Шарковский (дискретные и непрерывные отображения)

•Митчелл Фейгенбаум (метод ренормализованной группы)

6)Математика

•Георг Кантор, Феликс Хаусдорф (теория множеств, теория размерности)

•Бенуа Мандельброт (теория фракталов)

•Стефан Смейл (исследование систем с нетривиальной динамикой)

•Д.В. Аносов (гиперболическая теория)

«Детерминированный хаос» и сегодня остаётся весьма активной областью исследования в физике и других науках. К настоящему времени разработаны методы классификации различных типов хаоса и обнаружено, что при изменении внешнего (управляющего) параметра многие системы могут переходить от порядка к хаосу, т.е. предсказуемое (регулярное) движение системы может переходить в непредсказуемое, хаотическое (нерегулярное) движение и наоборот.

Нелинейность – неотъемлемая черта хаотического движения! В линейных системах хаос не наблюдается! Однако нелинейность – это необходимое, но не достаточное условие возникновения хаотического движения.

Следует также отметить, что хаотические траектории могут появляться не только в системах с большим числом степеней свободы (например, в газах), но и в системах с малым числом степеней свободы. Так, например, в системе Лоренца их всего 3.

Для чего нужен хаос и зачем его исследовать?

1)Окружающий мир полон нелинейных явлений и процессов, правильное представление о которых немыслимо без понимания сути хаоса, а также связанных с этим принципиальных ограничений на предсказуемость поведения сложных систем.

2)Управление хаосом.

Благодаря динамической природе хаотических режимов и их чувствительности по отношению к малым возмущениям они допускают эффективное управление посредством внешнего контролируемого воздействия.

Успешные примеры управления хаосом к настоящему времени уже реализованы в механических системах, электронных устройствах, лазерах. Так, например, разработана методика управления хаосом для того, чтобы направить космический аппарат на Луну. Оказывается, что с помощью малых контролируемых воздействий эту задачу удаётся решить с очень существенной экономией топлива, правда, ценой увеличения продолжительности полёта.

3) Обработка сигналов.

Представим себе, что исследуется удалённый и недоступный объект, так что наши возможности ограничиваются лишь анализом поступившего от него сигнала. За последние годы были предложены методики, позволяющие выяснить, произведён ли сигнал динамической системой, а также получить информацию о свойствах и характеристиках этой системы.

4) Генераторы шумоподобных колебаний.

В радиотехнике и электронике известен целый ряд приложений, где необходимы генераторы шумоподобных колебаний, в роли которых могут выступать различные устройства, функционирующие в режиме динамического хаоса.