Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

Следовательно, собственные числа матрицы M будут равны

(1 1) p q 0 ,

Отсюда первый собственный вектор равен

Следовательно, второй собственный вектор равен

Нетрудно убедиться, что эти два собственных вектора перпендикулярны друг другу. Действительно, их скалярное произведение

Собственные вектора x1 и x2 определяют направления, в которых развивается динамика отображения «кот Арнольда». Действительно, при итерациях этого отображения закрашенная область (изображение кота) на каждом шаге будет вытягиваться в раз вдоль направления первого (неустойчивого) собственного1 вектора x1 и будет сжиматься в 2 раз вдоль второго (устойчивого) собственного вектора x2.

После достаточно большого числа итераций изображение кота превратится в чрезвычайно узкую полоску, вытянутую вдоль неустойчивого собственного направления x1 . Другими словами изображение кота превратится в линию, задаваемую уравнением (46)

Из-за того, что угловой коэффициент в этой формуле иррационален, эта линия будет плотно покрывать всю поверхность тора (единичного квадрата). Поэтому после большого числа итераций изображение кота будет выглядеть как набор большого числа узких чередующихся чёрных и белых полос, хорошо перемешанных друг с другом (см. рис. 41).

Рис. 41. Динамика отображения «кот Арнольда» с развивающимся процессом перемешивания.

Можно заметить, что свойство перемешивания, наблюдаемое в отображении «кот Арнольда», аналогично тому, которое наблюдалось в отображении пекаря. Это свойство напрямую связано с гиперболичностью отображения и указывает на хаотическую динамику такой системы.