Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

Механизм, лежащий в основе отображения «зуб пилы» и приводящий к детерминированному хаосу, достаточно универсален. Он содержит два основных элемента – растяжение и складывание. Эти элементы являются главными свойствами любого хаотического отображения. Другими словами любое отображение, приводящее к появлению хаоса, можно свести к комбинации операций растяжения и складывания (см. рис. 12).

Рис. 12. Растяжение и складывание единичного интервала под действием отображения «зуб пилы» xn 1 {2xn}.

Логистическое отображение

где r – управляющий (внешний) параметр. График этого отображения изображён на рис. 13.

Рис. 13. Логистическое отображение xn 1 r xn (1 xn ) на единичном интервале.

Другой пример использования логистического отображения даёт задача о банковских сбережениях при стабилизирующемся росте процентной ставки (Peitgen, Richter, 1984). Пусть z0 – денежный вклад, который растёт в соответствии с процентной ставкой следующим образом:

Из (4) видно, что в этом случае денежный вклад будет беспрепятственно возрастать с ростом n . Предположим, что некоторый политик, желая воспрепятствовать такому беспредельному обогащению, предложил уменьшать процентную ставку пропорционально zn , т.е.

Тогда счёт в банке будет изменяться по закону

Вводя обозначения

нетрудно показать, что отображение (5) в итоге примет форму логистического отображения (3). Действительно, из

(6) видно, что

тогда, подставив в (5), получим

xn 1 1 0 (1 0 )xn xn ,

xn 1 (1 0 )xn 1 xn ,

Окончательно, введя параметр r 1 0 , получим

xn 1 r xn (1 xn ) .

Из вида (3) логистического отображения

xn 1 r xn (1 xn )

можно было бы сделать вывод о том, что благодаря механизму обратной связи (характеризуемой квадратичным слагаемым) динамическая переменная x (численность популяции или величина банковского счёта) должна стремиться к некоторому среднему значению. Однако, как установили Гроссман и Томэ (Grossman, Thomae, 1977),

Фейгенбаум (Feigenbaum, 1978), Колле и Трейсер (Collet,

Исследуем более подробно логистическое отображение (3) и покажем, что в нём может наблюдаться хаос. Далее вместо традиционной формы представления логистического отображения по формуле (3)

xn 1 r xn (1 xn ) ,

перейдём к эквивалентной его записи, выполнив замены

Так, после замены xn , согласно (7), отображение (3) примет вид