Динамический хаос (ИПИС, ФКС)
.pdf
В итоге получили систему дифференциальных уравнений
|
|
( 2 2 ) X |
|
|
g |
|
|
||||
X |
|
2 |
|
|
2 Y |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
. |
(91) |
||||
|
|
T |
|
2 |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Y |
h |
X ( |
|
|
)Y |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упростим внешний вид этой системы, введя новые |
|||||
безразмерные переменные x , |
y и (здесь y |
имеет смысл |
|||
безразмерной температуры, а |
– безразмерного времени): |
|
|||
X A x , |
Y B y , |
t D , |
(92) |
||
где A, B и D – некоторые коэффициенты, которые подберём так, чтобы система (91) приняла простой вид. Подставляя (92) в
(91)и учитывая соотношения (83), получим
a a h ,
A |
|
2 |
(1 |
a2 ) A x |
g ha |
B y |
||||
|
|
x |
h2 |
(1 a2 ) |
||||||
D |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
B y a |
2T |
A x |
|
2 (1 |
a2 )B y |
||||
|
D |
h |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(1 a2 )D x |
|
g ha BD y |
|||
x |
|
|
|||||||
|
|
h2 |
|
|
|
|
(1 a2 ) A |
||
|
|
T AD |
|
2 |
|||||
|
|
x |
|||||||
|
y a |
|
h |
2 |
B |
|
h |
2 (1 a2 )Dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Удобно выбрать коэффициент D , равным
D |
|
h2 |
|
, |
(93) |
|
|
2 |
a |
2 |
|||
|
(1 |
|
) |
|
||
тогда система примет вид
|
|
|
|
3 |
a B y |
|
x x |
g h |
|||||
|
|
|
3 (1 a2 )2 A |
|||
|
|
T a |
A |
, |
||
|
|
x y |
||||
|
y |
|
2 |
) B |
||
|
|
(1 a |
|
|||
где 
– число Прандтля.
Выберем теперь отношение B
A так, чтобы
g h3a |
|
|
B |
|
, |
|
3 |
2 |
) |
2 |
A |
||
(1 |
a |
|
|
|
||
т.е.
A |
|
g h3a |
|
|
2 . |
(94) |
|
B |
3 |
a |
2 |
) |
|||
|
(1 |
|
|
|
|||
Подставим (94) в нашу систему и введём новый коэффициент
r |
T a A |
|
T a |
|
|
g h3a |
|
|
2 |
|||
(1 |
2 |
) B |
2 |
) |
3 |
a |
2 |
) |
||||
|
a |
|
(1 a |
|
(1 |
|
|
|||||
|
g h3 T |
a2 |
R |
. |
(95) |
|
|
|
4 (1 a2 )3 |
R |
|||
|
|
|||||
|
|
|
c |
|
|
Здесь
R |
g h3 T |
(96) |
|
|
|||
|
|
– число Рэлея, а
Rc |
|
4 (1 a2 )3 |
(97) |
|
a2 |
||||
|
|
|||
|
|
|
– так называемое критическое значение числа Рэлея.
В итоге система дифференциальных уравнений, описывающих конвекционное движение жидкости примет окончательный вид
|
|
|
x x y |
|
|
|
. |
(98) |
|
|
|
|
y r x y |
|
Таким образом, получили линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающих конвекционное движение жидкости в подогреваемом слое.
Значит, выбор в качестве функций и в виде (87):
X sin( x)sin( y) ,
Y cos( x)sin( y)
соответствует лишь линейному приближению в описании течения жидкости.
Система (98) может быть легко сведена к одному дифференциальному уравнению. Действительно, выразим из (98)
1 |
|
|
x r |
( y y) |
|
|
, |
(99) |
и подставим в первое уравнение (98). Тогда получим
1 |
|
|
|
|
r |
( y y) |
r |
( y y) y , |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y y ( y y) r y , |
|||
y ( 1) y (r 1) y 0 . (100)
Составляя характеристическое уравнение, имеем
2 ( 1) (r 1) y 0 , |
(101) |
D ( 1)2 4 (r 1) ,
1,2 |
|
1 |
( 1) |
( 1)2 4 (r 1) . |
(102) |
|
|
2 |
|
|
|
Тогда общее решение уравнения (99) можно записать в виде |
|||||
|
|
|
y(t) C1 exp( 1t) C2 exp( 2t) . |
(103) |
|