Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

Таким образом, при r rc система уравнений Лоренца вообще не имеет ни одной устойчивой точки. Найдём критическое значение параметра rc , при котором точки O и O теряют свою устойчивость. При r rc вещественная часть1 комплексно2 - сопряжённых корней уравнения (149) должна обращаться в

нуль, т.е. 2,3 i . Подставим значение i в уравнение (149), получим

3 ( b 1) 2 b( r) 2 b(r 1) 0 ,

i 3 ( b 1) 2 ib( r) 2 b(r 1) 0 .

Разделяя далее вещественную и мнимую части этого уравнения, получим

Из первого уравнения находим

2 2 b(r 1) ,

b 1

подставляя во второе уравнение, получаем

( r)( b 1) 2 (r 1) 0 ,

(b 1 )r ( b 3) ,

В частности, для «классического» набора параметров 10, b 83 расчёт по формуле (150) даёт значение

rc 47019 24,737 .

Как было установлено ранее, при r 1 система Лоренца имеет только одну устойчивую неподвижную точку – состояние равновесия O в начале координат. Эта точка O и представляет собой аттрактор системы Лоренца при r 1 . В рассмотренных ранее физических задачах, сводящихся к системе уравнений Лоренца, этому случаю соответствует состояние – жидкость в подогреваемом слое покоится, водяное колесо не вращается, лазер не излучает.

При r 1 состояние равновесия O становится неустойчивым, т.к. одно из трёх собственных значений становится положительным, тогда как два других остаются отрицательными. Если ввести малое начальное отклонение от положения равновесия, то изображающая точка, двигающаяся по фазовой траектории, теперь уже не будет стремиться к точке O , а наоборот, будет уходить от состояния равновесия вдоль некоторой траектории, которую называют неустойчивой сепаратрисой или неустойчивым многообразием. Это неустойчивое многообразие одномерное (некоторая кривая линия), поскольку только одно собственное значение из трёх положительно и, значит, ответственно за неустойчивость. Из свойства симметрии понятно, что должно существовать две симметричные ветви неустойчивой сепаратрисы – 1 и 2 , идущие от состояния равновесия O в разные стороны

(см. рис. 68).

Рис. 68. Неустойчивое и устойчивое многообразия системы Лоренца при r 1 . 1 и 2 – две ветви неустойчивой сепаратрисы, O, O1 и O2 – неподвижные точки.

Помимо неустойчивого многообразия точка O имеет также и устойчивое многообразие. Оно двумерное, поскольку два собственных значения отрицательны и соответствуют затуханию возмущений. Устойчивое многообразие представляет собой некоторую кривую поверхность, при старте с которой все траектории идут в состояние равновесия O .

Таким образом, при переходе через r 1 точка O перестаёт быть аттрактором, и аттрактором становятся вновь возникшие неподвижные точки O1 и O2. Согласно формуле (150), они остаются устойчивыми до значения rc 24,737 . В задачах о конвекции эти два аттрактора соответствуют состояниям с равномерным вращением жидкости, соответственно, против и по часовой стрелке, в задаче о водяном колесе – вращению колеса в ту или иную сторону с постоянной скоростью, в задаче о лазере – излучению лазером постоянного по амплитуде электромагнитного поля. Причём скорость циркуляции жидкости, скорость вращения колеса и амплитуда излучения возрастают с увеличением параметра r : x b(r 1) .

Присутствие двух аттракторов O1 и O2 означает наличие бистабильности в системе – система, эволюционируя с течением времени, может перейти в один из двух устойчивых режимов движения. В каком именно режиме будет двигаться система (каким аттрактором она захватится) зависит от её начального состояния, т.е. от начальных условий.