Динамический хаос (ИПИС, ФКС)
.pdf
Рис. 77. Карта динамических режимов на плоскости параметров (a,b) отображения Эно (165). Белая область сверху соответствует расходимости итераций отображения.
Нижняя часть диаграммы отвечает установлению стационарного состояния равновесия. В этом случае аттрактор системы состоит всего лишь из одной точки. Применительно к задаче о частице, движущейся под действием периодических толчков, это ситуация означает, что параметры a и b (а, значит, величины P(x) и T ) выбраны такими, что независимо от начальных значений координаты x и скорости v частицы , последовательность импульсов, действующих на частицу, обязательно приведёт к её остановке.
Действительно, состоянию равновесия соответствуют равенства
x |
x |
|
n 1 |
n . |
(167) |
yn 1 |
yn |
|
Тогда, подставляя в (167) соотношения (161)
x |
(x |
) b y |
n , |
|
|
|
n 1 |
n |
|
(168) |
|
|
|
yn 1 xn |
|
|
|
получим, что в состоянии равновесия
xn yn .
В модели Эно |
функция P(x) |
выбрана так, чтобы |
(x) 1 ax2 |
. Тогда, подставляя |
(x) в (169), получим |
1 axn2 (1 b) xn , axn2 (1 b) xn 1 0 , D (1 b)2 4a ,
xn |
1 |
(1 b) |
(1 b)2 4a . (170) |
|
2a |
|
|
Решения (170) соответствуют устойчивой (знак ) и неустойчивой (знак ) неподвижной точкам. Значит, в результате воздействия импульсов частица окажется обездвиженной в точке
xn |
1 |
(1 b) |
(1 b)2 4a . (171) |
|
2a |
|
|
Как видно из рис. 77, помимо состояния равновесия существуют и другие режимы движения системы. Так, с ростом параметра a будут реализовываться режимы, соответствующие периодическим колебаниям, сначала с периодом 2, затем 4, 8, 16 и т.д.. Другими словами, при увеличении параметра a будет наблюдаться последовательность бифуркаций удвоения периода, причём границы соседних областей будут играть роль бифуркационных линии. Последовательность этих бифуркационных линий при увеличении периода стремится к критической линии – границе между областью хаоса и областью регулярного движения.
Рис. 78. Кольцевой резонатор, возбуждаемый внешним источником когерентного излучения.