Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

Рис. 73. Сепаратрисы 1 и 2 при r 24,06 . В системе существует только один аттрактор – аттрактор Лоренца.

Изложенная картина опирается на результаты, полученные Шильниковым (1980) и Капланом и Йорком (1979). Эти результаты не исчерпывают всего многообразия феноменов, возможных в модели Лоренца. Оказывается, что при очень больших значениях r система может демонстрировать не только хаотическое, но и очень простое регулярное движение – регулярные автоколебания, которому в фазовом пространстве соответствует аттрактор в виде предельного цикла

(см. рис. 74).

Рис. 74. Фазовая траектория системы при r 100 . Наблюдаются автоколебания с выходом на предельный цикл.

При уменьшении параметра r можно наблюдать переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода. В определённых областях параметра r реализуется переход от периодических к хаотическим режимам через перемежаемость.

Хаос в реалистичных моделях физических систем

Ранее мы показали, что некоторые физические задачи – задача о конвекции жидкости, задача о водяном колесе, задача об излучении лазера – имеют в своей основе одну и

rту же модель, а именно – модель Лоренца. Однако не все существующие физические системы и происходящие в них процессы можно описать одной только моделью Лоренца. Существуют множество других физических систем, в основе которых лежат совершенно иные модели. Выясним, какие ещё модели, помимо модели Лоренца, могут описывать хаотические явления в физических системах.

Рис. 75. Частица, движущаяся под действием силы трения f и периодических импульсных толчков.

Импульсную силу, толкающую частицу, можно представить в виде

n

где n – номер толчка, (t) – дельта-функция Дирака.

Выясним смысл функции P(x) в формуле (151). Для этого рассмотрим интервал времени в течение которого происходит только один n -й толчок, т.е.

где 0 – бесконечно малая величина. На этом интервале силу F можно представить в виде

Определим на сколько изменится импульс частицы под действием силы F в течении рассматриваемого промежутка времени (152). Согласно уравнению движения