Динамический хаос (ИПИС, ФКС)
.pdf
Найдём якобиан отображения (188)
|
n 1 |
n 1 |
|
|
|
|
|
J |
n |
n |
|
1 k cos n |
d |
d . |
(189) |
|
n 1 |
n 1 |
|
k cos n |
d |
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
Это равенство |
означает, |
что при d 1 |
отображение |
||||
Заславского является диссипативным, а при |
d 1 – |
консер- |
|||||
вативным. Согласно формулам (187), в нашей задаче параметр |
|
d 1 , |
значит рассматриваемая нами система диссипативна |
и должна |
обладать аттрактором. |
Рис. 84. Портреты аттракторов диссипативного отображения |
||||
Заславского (188) при d 0,3 |
и 2 |
0, 22 |
на плоскости |
|
параметров (x |
2 , y |
2 ) : а,в |
– |
квазипериоди- |
ческие; б, г,д,е |
– периодические; ж, з |
– хаотические. |
||
|
|
|
|
|
Рис. 85. |
Карта |
динамических |
режимов отображения |
Заславского (188) |
на плоскости |
параметров ( 2 , k) при |
|
d 0,3. Цифрами указаны значения периода внутри языков |
|||
Арнольда. |
Белым цветом обозначены квазипериодические, а |
||
серым – хаотические режимы. |
|
||
|
|
|
|
Из карты видно, что периодическое движение реализуется в областях, имеющих сложную фрактальную структуру в виде характерных языков (языков Арнольда). Возникновение таких периодических режимов внутри языков Арнольда можно интерпретировать как синхронизацию автоколебательной системы периодическим внешним воздействием. Наличие большого числа языков говорит о том, что синхронизация может возникать на различных гармониках и субгармониках внешней силы.
На самом деле, на рисунке видны только самые широкие языки
Арнольда, полное же |
r |
их число |
бесконечно – в |
каждую |
|
рациональную точку |
|
на оси |
k 0 упирается |
остриём |
|
свой язык Арнольда. |
Пока параметр k мал, между языками |
||||
остаётся место для квазипериодических режимов. При больших же значениях параметра k внутри языков можно видеть сложную картину, содержащую «перекрёстки», точки сборки, линии складок и удвоений периода, подобную той, которую мы обсуждали для отображения Икеды. При движении внутри языка Арнольда в направлении увеличении k можно наблюдать возникновение хаоса через каскад удвоения периода.
Система уравнений (190) называется системой Рёсслера. При определённых значениях параметров её решением являются некоторые хаотические траектории, а сама система (190) обладает при этом странным аттрактором. На рис. 86 показан странный аттрактор системы Рёсслера при значении параметров a b 0,2 и r 5,7 . Его называют ленточным аттрактором Рёсслера (Rössler band).
Рис. 86. Аттрактор Рёсслера при a b 0,2 и r 5,7.
На рис. 87 в центре приведена карта динамических режимов на плоскости параметров (a, r) при фиксированном b 0,2 . По периферии рисунка показаны фазовые портреты аттрактора, соответствующие некоторым характерным точкам пространства параметров (a, r) .